Книга: Математические головоломки профессора Стюарта
Назад: Два коротких вопроса на квадраты
Дальше: RATS-последовательность
Дело о картонных коробках 
1. Размеры коробок составляли 6 × 6 × 1 и 9 × 2 × 2.
Пусть размеры коробок равны x, y, z и X, Y, Z. Тогда их объемы равны xyz и XYZ. Длина ленты равна 4 (x + y + z) и 4 (X + Y + Z). Исключив общий множитель 4, получим уравнения, которые необходимо решить:
xyz= XYZ
x + y + z = X + Y + Z
в ненулевых целых числах. То есть нужно найти две тройки чисел, произведение и сумма которых взаимно одинаковы. Наименьшее решение равно (x, y, z) = (6, 6, 1) и (X, Y, Z) = (9, 2, 2). Произведение равно 36, сумма равна 13.
2. Наименьшее решение для трех коробок равно (20, 15, 4), (24, 10, 5) и (25, 8, 6). Теперь произведение равно 1200, а сумма – 39.
По ходу дела мы можем ответить и на третий вопрос, который не фигурировал в расследовании Сомса.
3. Что, если коробки перевязаны лентами, как обычно (как на левом рисунке), где x – ширина, y – глубина, а z – высота? Тогда уравнения примут вид:
xyz = XYZ
x + y+ 2z = X + Y + 2Z.
Если мы заменим x, y, z на x, y, 2z и аналогично для X, Y, Z, то получится, что мы снова ищем тройки чисел с одинаковыми произведением (теперь это 2xyz = 2XYZ) и суммой. Однако при этом числа z и Z должны быть четными.
Это условие выполняется в решении (1), если мы расставим длины сторон в нужном порядке, что позволит нам получить наименьшее решение (6, 1, 3) и (9, 2, 1).
Мое внимание к этой задаче привлек Молой Де из Калькутты (Индия), нашедший также наименьшие наборы из четырех, пяти и шести чисел с одинаковыми произведениями и суммами.
Четыре набора:
(54, 50, 14) (63, 40 15) (70, 30, 18) (72, 25, 21)
Сумма = 118, произведение = 37 800.
Пять наборов:
(90, 84, 11) (110, 63, 12) (126, 44, 15) (132, 35, 18) (135, 28, 22)
Сумма = 185, произведение = 83 160.
Шесть наборов:
(196, 180, 24) (245, 128, 27) (252, 120, 28) (270, 98, 32) (280, 84, 36) (288, 70, 42)
Сумма = 400, произведение = 846 720.
Назад: Два коротких вопроса на квадраты
Дальше: RATS-последовательность
