Книга: Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности
Назад: Глава 9. Внутренняя, внешняя и консенсусная реальности
Дальше: Глава 11. Иллюзорно ли время?
Глава 10. Физическая и математическая реальности
Философия написана в той величественной Книге (я имею в виду Вселенную), которая всегда открыта нашему взору, но читать ее может лишь тот, кто сначала освоит язык и научится понимать знаки, которыми она начертана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых нельзя понять ни единого из стоящих в ней слов и остается лишь блуждать в темном лабиринте.Галилео Галилей«Пробирных дел мастер» (1623)
Невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет.Юджин Вигнер(1960)
Заканчивая пятничным утром в Принстоне разбирать электронные сообщения по поводу сочинения книги, ремонта микроволновки и полемики вокруг квантового суицида, я неожиданно нашел в почтовом ящике настоящую жемчужину – письмо от одного из именитых профессоров, своего знакомого.
Дата: 4 декабря 1998, 07:17:42 ESTТема: Письмо, которое было непросто написатьУважаемый Макс!…Ваши безумные статьи не идут вам на пользу. Прежде всего, подавая их в хорошие журналы и имея несчастье добиться их публикации, вы губите их «забавную» сторону… Я редактор ведущего журнала… и ваша статья никогда бы у меня не прошла. Это, пожалуй, не так уж важно, за исключением того, что коллеги считают эти ваши личные особенности дурным знаком в плане перспектив… Вы должны понять, что если полностью не отделите эту деятельность от своих серьезных исследований, возможно, вовсе ее прекратив, и не перенесете ее в паб или другое подобное место, то можете поставить под угрозу свое будущее.
Меня словно окатили ледяной водой, но это был один из тех замечательных моментов, когда я понял, что поставил новый личный рекорд, и у меня появилась новая высота, которую надо попробовать взять. Когда я переслал письмо отцу, он ответил цитатой из Данте: segui il tuo corso et lascia dir le genti, то есть: «Следуй своей дорогой, и пусть люди говорят, что угодно».
Меня всегда забавляет, насколько сильно у физиков стадное чувство, притом что все мы на словах привержены нешаблонному мышлению и готовы отвергать авторитеты. Я заметил это еще студентом: например, революционная эйнштейновская теория относительности не заслужила Нобелевской премии, сам Эйнштейн отвергал фридмановское открытие расширения Вселенной, а Хью Эверетт не смог получить постоянную работу в области физики. Иначе говоря, отвергались куда более важные открытия, чем те, которые я, реалистично глядя на вещи, могу надеяться совершить. Так что еще в студенчестве я столкнулся с дилеммой: я полюбил физику именно за то, что был очарован ее величайшими вопросами, но, похоже, что если я буду просто следовать зову сердца, то следующим местом моей работы станет «Макдоналдс».
Я не хотел выбирать между любовью и карьерой, так что разработал секретную стратегию, которая действует на удивление хорошо, позволяя мне заодно зарабатывать на пропитание. Я называю ее «стратегией доктора Джекила и мистера Хайда». Джордано Бруно в 1600 году заживо сожгли за нетрадиционные взгляды (в числе которых убежденность в бесконечности космоса), а Галилея приговорили к пожизненному домашнему аресту за то, что он доказывал обращение Земли вокруг Солнца. Современные санкции стали мягче. Если вы интересуетесь масштабными, философского характера вопросами, большинство физиков будет относиться к вам так же, как если бы вы увлекались компьютерными играми: чем заниматься после работы – ваше личное дело и ваше хобби не будут ставить вам в упрек, если оно не отвлекает от дел и если вы не говорите о нем слишком много на работе. Так что, когда авторитетные фигуры спрашивают, чем я занимаюсь, я превращаюсь в респектабельного доктора Джекила и говорю, что работаю над мейнстримными вопросами космологии (вроде разобранных в гл. 4), включая многочисленные измерения, цифры и т. д. Но когда никто не смотрит, я превращаюсь в злого мистера Хайда и делаю то, что действительно хочу делать: ищу истинную природу реальности (гл. 6, 8 и большинство оставшихся глав этой книги). Чтобы не вызывать беспокойства, я написал у себя на сайте, что у меня есть «побочные интересы», и пошутил, что на каждые десять мейнстримных статей позволяю себе написать одну вздорную. Это было очень удобно, поскольку подсчетами никто, кроме меня, не занимался. Ко времени своей защиты в Беркли я напечатал восемь статей, но половину их написал мистер Хайд, так что в диссертации я их не упоминал. Мне очень нравился мой научный руководитель в Беркли Джо Силк, но я следил, чтобы он оказывался подальше от принтера, когда я печатал статьи мистера Хайда. Я показал их ему лишь после того, как он подписал мою диссертацию… Я продолжаю придерживаться этой стратегии: всякий раз, когда я ищу работу или обращаюсь за исследовательским грантом, я упоминаю лишь о работе доктора Джекила, а параллельно продолжаю исследовать «большие вопросы», которые поддерживают во мне огонь – в хорошем, а не в бруновском смысле.
Эта стратегия превзошла самые смелые мои ожидания, и я весьма благодарен судьбе за возможность работать в университете с замечательными коллегами и студентами, не переставая думать о том, что меня сильнее всего интересует. Но теперь я считаю, что я в долгу перед научным сообществом и пришло время платить по обязательствам. Если представить, что все исследовательские темы выстроены перед вами в шеренгу в метафорическом пространстве, то есть некая граница, отделяющая то, что является мейнстримной физикой, от того, что в нее не входит. У этой границы удивительное свойство: она постоянно смещается (рис. 10.1)! На некоторых участках она сжимается, оставляя теории от алхимии до астрологии за пределами мейнстрима. В других – расширяется, и идеи вроде теории относительности или микробной природы заболеваний переходят из области спекуляций меньшинства в общепризнанную науку. Я давно уверен, что есть области, в которых физики могут сделать ценный вклад, несмотря на то, что эти темы сначала кажутся чересчур философскими. Мой нынешний контракт достаточно продолжителен, чтобы у меня не было оснований от них отстраняться: я считаю, что сейчас мой моральный долг перед более молодыми учеными вывести мистера Хайда из академического чулана и внести свой вклад в изменение этих границ. Вот почему мы с Энтони Агирре основали Институт фундаментальных вопросов, о котором я упоминал в гл. 8 (http://fqxi.org). И поэтому я пишу эту книгу.
Рис. 10.1. Граница того, что считается мейнстримом, постоянно меняется.
Так какая же из моих статей вызвала столь острую реакцию: остановитесь – или сломаете карьеру? Чему столь далекому от нынешней границы мейнстрима (рис. 10.1) была она посвящена, что этот профессор почувствовал необходимость вернуть меня в лоно науки? Она была о том, что наш физический мир – это гигантский математический объект. И в этой главе мы начнем его изучать.
Математика, везде математика
Каков же ответ на главный вопрос жизни, Вселенной и всего такого? В книге «Автостопом по Галактике» Дугласа Адамса выясняется, что ответ на этот вопрос – 42, однако самой сложной частью задачи оказалось отыскание самого вопроса. В действительности, хотя наши любознательные предки задавались глобальными вопросами, их поиски «теории всего» менялись вместе с ростом знаний. По мере того как древние греки заменяли мифологические объяснения механическими моделями Солнечной системы, их акценты в этих вопросах смещались с почему на как.
С тех пор сфера наших вопросов сократилась в одних областях и разрослась в других (рис. 10.1). Некоторые вопросы отброшены как наивные или ошибочные, вроде объяснения размеров планетных орбит исходя из первичных принципов (это было популярно в эпоху Возрождения). То же самое может случиться с модными нынче попытками предсказания количества темной энергии в космосе, если окажется, что ее плотность в наших окрестностях является исторической случайностью (гл. 6). Тем не менее наша способность отвечать на другие вопросы превзошла самые смелые ожидания прежних поколений. Ньютон был бы поражен, узнав, что мы сумели определить возраст Вселенной с точностью до 1 % и узнали устройство микромира в достаточной мере, чтобы сконструировать «Айфон».
Я считаю шутку Дугласа Адамса про 42 очень удачной, поскольку математика играет исключительную роль во всех этих успехах. Та идея, что Вселенная в некотором смысле является математической, восходит по меньшей мере к пифагорейцам и породила многовековую дискуссию физиков и философов. Галилей утверждал, что Вселенная – это «величественная книга», написанная на языке математики. Лауреат Нобелевской премии по физике Юджин Вигнер в 60-х годах XX века настаивал, что «невероятная эффективность математики в естественных науках» нуждается в объяснении.
Фигуры, паттерны и уравнения
Мы переходим к рассмотрению по-настоящему радикального объяснения. Однако прежде необходимо уточнить, что именно мы пытаемся объяснить. Пожалуйста, оторвитесь на несколько секунд от чтения и оглядитесь. Где вся эта математика, которой мы собираемся заниматься? Разве математика – это не наука о числах? Вероятно, вам на глаза попадется несколько чисел, например пагинация в этой книге, но это лишь символы, изобретенные и изображенные людьми, так что вряд ли они отражают математическую сущность Вселенной в каком-либо глубоком смысле.
Из-за нашей системы образования многие приравнивают математику к арифметике. Но математика, как и физика, пришла к постановке более глубоких вопросов. Например, в приведенной выше цитате Галилей говорит о геометрических фигурах вроде окружностей и треугольников как о математических. Видите ли вы вокруг себя геометрические узоры или фигуры? (Дизайн вроде прямоугольной формы книги не в счет.) Но попробуйте бросить камешек и посмотрите, какую красивую форму придает природа его траектории! Галилей сделал замечательное открытие (рис. 10.2): траектория любых предметов имеет одинаковую форму, называемую перевернутой параболой. Более того, форму этой параболы можно описать простым уравнением: x = y2, где x – горизонтальное положение, y – вертикальное положение (высота). В зависимости от начальной скорости и направления эта форма может растягиваться и по вертикали, и по горизонтали, однако она всегда остается параболой.
Когда мы наблюдаем, как объекты движутся по орбитам в космосе, мы открываем другую повторяющуюся форму, показанную на рис. 10.3 – эллипс. Уравнение x2 + y2 = 1 описывает точки, лежащие на окружности, а эллипс – это просто растянутая окружность. В зависимости от начальной скорости, направления движущегося по орбите объекта и массы, вокруг которой он движется, форма этой орбиты может оказываться растянутой или наклоненной, однако всегда остается эллипсом. Более того, оконечность сильно вытянутого эллипса почти точно совпадает с параболой, так что все эти траектории – просто части эллипсов.
Рис. 10.2. Когда вы что-нибудь подбрасываете, траектория полета предмета всегда имеет форму перевернутой параболы, если только он с чем-нибудь не столкнется в полете и если можно пренебречь сопротивлением воздуха.
Рис. 10.3. Когда один объект обращается по орбите вокруг другого под действием гравитации, его орбита всегда имеет одну форму, эллипс, который представляет собой просто окружность, растянутую в одном направлении (так будет, если нет источников трения и если мы игнорируем эйнштейновские поправки к ньютоновской теории гравитации, которые обычно ничтожны, если мы не рядом с черной дырой). Орбита остается эллипсом для самых разных объектов: и для кометы, обращающейся вокруг Солнца (слева), и для белого карлика – мертвой звезды, обращающейся вокруг Сириуса A, ярчайшей звезды нашего неба, и для звезды, обращающийся вокруг гигантской черной дыры в центре Галактики (справа), которая в миллион раз массивнее Солнца. (Рисунок справа воспроизводится с разрешения Рейнхарда Гензеля и Райнера Шедела.)
Рис. 10.4. Подобно тому, как изобразительное искусство и поэзия могут выразить многое с помощью немногих символов, так и физика способна сделать это с помощью уравнений. Слева направо и сверху вниз на этих шедеврах описаны: электромагнетизм, околосветовое движение, гравитация, квантовая механика и расширение Вселенной. Мы еще не нашли уравнений единой «теории всего».
Постепенно люди открыли в природе множество других повторяющихся форм и паттернов, охватывающих не только движение и гравитацию, но и такие разные области, как электричество, магнетизм, свет, теплота, химия, радиоактивность и субатомные частицы. Эти паттерны складываются в законы физики. Как и форму эллипса, эти законы можно описать, применяя математические уравнения (рис. 10.4). Почему?
Числа
Уравнения – не единственный скрытый в природе намек на математику: есть также числа. Я говорю не о творениях рук человеческих, вроде пагинации в этой книге, а о числах, которые выражают фундаментальные свойства нашей физической реальности. Сколько карандашей вы сможете расположить так, чтобы все они были перпендикулярны (под углом 90°) друг другу? Три: их можно разместить, например, вдоль трех стыков стен и пола в углу вашей комнаты. Откуда взялось число 3? Мы называем его размерностью пространства, но почему существует именно 3 измерения, а не 2, 4 или 42? Почему в нашей Вселенной существует (насколько мы можем судить) ровно шесть типов кварков? Есть много других «встроенных» в природу целых чисел (гл. 7), которые описывают, какого типа элементарные частицы существуют.
И, вдобавок к математическим гостинцам, существуют закодированные в природе величины, которые не являются целыми числами и требуют для записи дробных значений. Согласно моим подсчетам, природа закодировала 32 таких фундаментальных числа. Относится ли к ним число, которое появляется на индикаторе весов, когда вы встаете на них после ванны? Нет, оно не в счет, поскольку является мерой чего-либо (вашей массы), что день ото дня изменяется, а значит, не является фундаментальным свойством нашей Вселенной. Что можно сказать о массе протона (1,672622 × 10–27 кг) или о массе электрона (9,109382 × 10–31 кг), которые кажутся неизменными во времени? Они также не в счет, поскольку измеряются в килограммах, а это произвольная единица массы, придуманная людьми. Но если вы разделите одно из этих двух чисел на другое, получится нечто поистине фундаментальное: протон примерно в 1836,15267 раз массивнее электрона. Значение 1836,15267 – безразмерное число, подобное π или √2, в том смысле, что его значение не зависит ни от каких человеческих единиц измерения, вроде граммов, метров, секунд или вольт. Почему это значение так близко к 1836? Почему не 2013? Или не 42? Простой ответ состоит в том, что мы этого не знаем. Но, думаю, в принципе мы можем вывести и это число, и все остальные когда-либо измеренные фундаментальные постоянные природы, всего из 32 чисел, перечисленных в табл. 10.1.
Табл. 10.1. Каждое фундаментальное свойство природы, когда-либо подвергнутое измерению, можно вычислить на основе 32 чисел – по крайней мере в принципе. Некоторые из них измерены с очень высокой точностью, тогда как другие экспериментально еще не определены. Точный смысл этих чисел не имеет значения для нашего изложения, но если вы заинтересовались, то найдете объяснения в моей статье (http://arxiv.org/abs/astro-ph/0511774). Вот только чем определяются значения этих чисел?
Не пугайтесь названий в таблице: они не имеют отношения к тому, чем мы здесь занимаемся. Суть в том, что в нашей Вселенной есть нечто сугубо математическое, и чем пристальнее мы всматриваемся, тем, похоже, больше математики видим. Что касается природных констант, то имеются сотни тысяч безразмерных чисел, измеренных в разных областях физики: от отношения масс элементарных частиц до отношений характерных длин волн света, испускаемого различными молекулами. С помощью компьютеров, достаточно мощных, чтобы решать уравнения, описывающие законы природы, все до одного эти числа, по-видимому, могут быть определены на основе приведенных в табл. 10.1. Некоторые вычисления и измерения крайне сложны, и их до сих пор не удалось выполнить, а когда удастся, то, возможно, числа в теории и эксперименте не совпадут. Такого рода расхождения не раз случались в прошлом и, как правило, разрешались одним из трех способов:
1. Кто-нибудь находил ошибку в эксперименте.2. Кто-нибудь находил ошибку в вычислениях.3. Кто-нибудь находил ошибку в наших законах физики.
В последнем случае обычно удавалось найти более фундаментальные законы физики – как тогда, когда замена ньютоновских уравнений для гравитации эйнштейновскими позволила объяснить, почему Меркурий обращается вокруг Солнца не по идеальному эллипсу. Во всех случаях ощущение, что в природе есть нечто математическое, лишь усиливалось.
Если вы откроете еще более точные законы физики, то это может либо сделать число параметров менее 32 (табл. 10.1), позволив вычислить некоторые из этих величин по другим, содержащимся в таблице, – либо увеличить их число за счет добавления новых величин (относящихся, скажем, к массам новых типов частиц, которые, возможно, будут открыты на Большом адронном коллайдере).
Дополнительные улики
Что делать со всеми этими намеками на присутствие математики в нашем физическом мире? Большинство физиков привыкло, что природа по некоей причине описывается математикой, по крайней мере приближенно, и признают это как факт. В книге «Является ли Бог математиком?» астрофизик Марио Ливио заключает, что «ученые выбрали, над какими проблемами им работать, с учетом того, чтобы эти проблемы можно было решать математическими методами». Но я убежден, что причина глубже.
Во-первых, почему математика так успешно описывает природу? Я согласен с Вигнером: это требует объяснения. Во-вторых, на страницах этой книги мы постоянно сталкиваемся с уликами, указывающими на то, что математика не просто описывает природу. В некоторых отношениях природа является математической:
1. В гл. 2–4 мы видели, что сама ткань нашего физического мира, его пространство, является чисто математическим объектом в том смысле, что все неотъемлемые свойства пространства – число измерений, кривизна и топология – являются математическими.2. В гл. 7 мы видели, что «начинка» нашего физического мира состоит из элементарных частиц, которые, в свою очередь, являются чисто математическими объектами в том смысле, что все их неотъемлемые свойства (приведенные в табл. 7.1 числа, например заряд, спин, лептонное число) являются математическими.3. В гл. 8 мы видели, что существует нечто, возможно, даже более фундаментальное, чем наше трехмерное пространство с частицами в нем – это волновая функция и бесконечномерное гильбертово пространство, в котором она обитает. Частицы могут создаваться и уничтожаться, а также находиться в нескольких местах одновременно, однако была и всегда будет лишь одна волновая функция, движущаяся по гильбертову пространству в соответствии с уравнением Шредингера. И волновая функция, и гильбертово пространство являются чисто математическими объектами.
Что все это означает? Позвольте поделиться своим пониманием, и посмотрим, будет ли оно иметь для вас больше смысла, чем для профессора, сказавшего, что это похоронит мою карьеру.
Гипотеза математической Вселенной
К моменту получения университетского диплома я был захвачен всеми этими математическими уликами. Однажды вечером в 1990 году в Беркли я со своим другом Биллом Пуарье рассуждал о фундаментальной природе реальности. Внезапно мне пришло в голову, что наша реальность не просто описывается математикой, но и является математикой в очень специфическом смысле. Не какие-то ее аспекты, а вся целиком, включая нас самих. Эта идея кажется безумной, так что, изложив ее Биллу, я много лет размышлял, прежде чем написать первую статью о ней.
Прежде чем погружаться в детали, вот логическая структура, к которой я прибегаю, размышляя об этом. Во-первых, есть две гипотезы. Первая, гипотеза внешней реальности (ГВР), кажется безобидной:
Существует внешняя физическая реальность, совершенно независимая от людей.
Вторая, гипотеза математической Вселенной (ГМВ), выглядит куда радикальнее:
Наша внешняя физическая реальность является математической структурой.
Во-вторых, у меня есть доказательство того, что при достаточно широком определении математической структуры из первой гипотезы вытекает вторая.
Первое мое допущение, гипотеза внешней реальности, не вызывает серьезных споров: я уверен, что большинство физиков согласно с этой старой идеей. Метафизические солипсисты открыто ее отвергают, а сторонники копенгагенской интерпретации квантовой механики могут отвергать ее на том основании, что не существует реальности без наблюдения. В предположении, что внешняя реальность существует, цель физических теорий состоит в описании того, как она устроена. Наши наиболее успешные теории, например общая теория относительности и квантовая механика, описывают лишь часть этой реальности: гравитацию или, скажем, поведение субатомных частиц. Но Святой Грааль теоретической физики – это «теория всего», исчерпывающее описание реальности.
Уменьшение нормы разрешенного багажа
Мой персональный поиск этой теории начинается с радикального рассуждения о том, на что она имеет право быть похожей. Если мы признаем, что реальность существует независимо от людей, то чтобы ее описание было полным, оно должно также быть корректно определенным для нечеловеческих существ – скажем, инопланетян или суперкомпьютеров, – которые не знакомы с человеческими понятиями. Иначе говоря, такое описание должно выражаться в форме, лишенной всякого человеческого «багажа» вроде понятий «частица», «наблюдение» и других слов естественного языка.
При этом все физические теории, которым меня учили, содержат две компоненты: математические уравнения и «багаж» – слова, объясняющие, как эти уравнения связаны с тем, что мы наблюдаем и интуитивно понимаем. Выводя из теории следствия, мы придумываем для них новые понятия и слова, например протоны, атомы, молекулы, клетки, звезды, поскольку ими удобно пользоваться. Важно помнить, однако, что эти понятия придуманы людьми. В принципе, все может быть вычислено без «багажа». Гипотетический идеальный суперкомпьютер способен вычислить, как состояние Вселенной изменяется во времени, без «человеческой» интерпретации, просто рассчитывая, как будут двигаться все частицы или как будет изменяться волновая функция.
Предположим, что траектория баскетбольного мяча на рис. 10.2 – это один из тех блестящих бросков, которые приносят победу в самый момент звучания финальной сирены, и после игры вы хотите описать другу, как это было. Поскольку мяч состоит из элементарных частиц (кварков и электронов), вы можете описать его движения без всяких упоминаний о баскетбольном мяче:
• Частица № 1 движется по параболе.
• Частица № 2 движется по параболе.
• …
• Частица № 138 314 159 265 358 979 323 846 264 движется по параболе.
Это, однако, неудобно, поскольку время, которое понадобится для произнесения всего этого, превосходит возраст самой Вселенной. Это может быть и избыточно, поскольку все частицы получают толчок вместе и движутся как единое целое. Вот почему люди изобрели слово «мяч»: чтобы ссылаться на эту сущность и экономить время, описывая ее движение как целого. Мяч изготовили люди, но дело обстоит подобным же образом и в случае составных объектов естественного происхождения – молекул, камней, звезд и т. д.: придумывать для них слова удобно и ради экономии времени, и в качестве так называемых сокращающих абстракций, делающих понимание мира проще. Но при всей их полезности такие слова являются необязательным «багажом»: например, я неоднократно использовал в этой книге слово «звезда», однако вы можете в принципе заменить его определением звезды через ее составляющие, скажем таким: «гравитационно связанный сгусток около 1057 атомов, часть которых вступает в термоядерные реакции». Иными словами, в природе есть множество сущностей, которым так и тянет дать название. Наверняка почти каждое человеческое сообщество имеет в языке слово для обозначения звезды, часто придуманное независимо и отражающее местные культурные и лингвистические традиции. Предполагаю, что и большинство внеземных цивилизаций в далеких планетных системах также изобрело название или символ для звезды, даже если они не пользуются для коммуникации звуками.
Другой замечательный факт: нередко можно математически предсказать существование таких заслуживающих имени сущностей, опираясь на уравнения, управляющие их частями. На этом пути можно предсказать всю «легоподобную» иерархию структур (гл. 7), от элементарных частиц до атомов с молекулами, а также все объекты на каждом уровне, которым люди дали запоминающиеся имена. Например, если вы решаете уравнение Шредингера для пяти или менее кварков, то оказывается, что есть лишь два способа, которыми они могут быть достаточно стабильно организованы: либо как сгустки из двух верхних кварков и одного нижнего, либо как сгустки из двух нижних кварков и одного верхнего. Люди ради удобства добавили в свой «багаж» названия для сгустков этих двух типов: протоны и нейтроны. Аналогично, если применить уравнение Шредингера к таким сгусткам, оказывается, что существует лишь 257 способов, которыми они могут быть устойчиво объединены друг с другом. Мы добавили в «багаж» название для этих протон-нейтронных ансамблей – атомные ядра, и придумали названия для каждого их типа: водород, гелий и т. д. Уравнение Шредингера также позволяет вычислить все способы соединения атомов в более крупные объекты, но на этот раз стабильных объектов оказывается настолько много, что всем им давать имена неудобно. Поэтому мы именуем только важные классы таких объектов (молекулы, кристаллы и т. д.) и наиболее распространенные или интересные объекты в каждом классе (вода, графит, алмаз).
Я рассматриваю такие составные объекты как эмерджентные в том смысле, что они возникают как решения уравнений, описывающих более фундаментальные объекты. Их эмерджентность – трудноуловимое свойство, поскольку исторически научный прогресс по большей части шел в противоположном направлении. Так, люди узнали о звездах прежде, чем поняли, что они состоят из атомов; узнали об атомах прежде, чем поняли, что они состоят из электронов, протонов и нейтронов; узнали о нейтронах прежде, чем открыли кварки. Для каждого эмерджентного объекта, который для нас важен, люди собрали «багаж» в форме новых понятий.
Того же характера эмерджентность и накопление человеческого «багажа» видны на рис. 10.5. Я привожу грубую схему организации научных теорий в генеалогическое древо, в котором каждая теория может быть выведена (по крайней мере в принципе) из более фундаментальных. Все эти теории имеют две составляющие: математические уравнения, а также слова, которые объясняют, как уравнения связаны с тем, что мы наблюдаем. Например, квантовая механика, как ее обычно излагают в учебниках, содержит обе компоненты (гл. 8): математическую, такую как уравнение Шредингера, и записанные на естественном языке фундаментальные постулаты вроде утверждения о коллапсе волновой функции. На каждом уровне иерархии теорий вводятся новые понятия (протоны, атомы, клетки, организмы, культуры и т. д.), потому что они удобны и охватывают суть того, что происходит, без обращения к вышестоящей, более фундаментальной теории. Все эти понятия вводят люди: в принципе, все может быть выведено из фундаментальной теории на вершине древа, хотя такой крайний редукционизм на практике обычно бесполезен. Грубо говоря, по мере движения вниз по древу количество слов увеличивается, а уравнений – уменьшается, едва не достигая нуля в таких предельно прикладных сферах, как медицина или социология. Напротив, теории, близкие к вершине, сильно математизированы, и физики с трудом описывают понятия в доступном обывателю виде, если это вообще возможно.
Рис. 10.5. Теории можно выстроить в “фамильное древо”, где каждая из них может быть выведена, по крайней мере в принципе, из более фундаментальных. Например, специальную теорию относительности можно получить из общей теории относительности в приближении, при котором ньютоновская гравитационная постоянная G равна нулю. Классическая механика выводится из специальной теории относительности в приближении бесконечности скорости света c. Гидродинамика со всеми ее понятиями, например плотностью и давлением, вытекает из классической физики столкновений частиц. Однако случаев, когда переходы по стрелкам хорошо понятны, меньшинство. Вывод биологии из химии или психологии из биологии на практике кажется недостижимым. Лишь отдельные, приближенные аспекты таких дисциплин математизированы, и, вероятно, все математические модели, имеющиеся сейчас в физике, также являются аппроксимациями отдельных аспектов реальности.
Высшая цель физики – найти то, что в шутку называют теорией всего (ТВ), из которой может быть выведено все остальное. Ей предстоит занять место большого вопросительного знака наверху древа теорий. Здесь чего-то недостает (гл. 7): у нас нет целостной теории, объединяющей гравитацию и квантовую механику. ТВ стала бы полным описанием внешней физической реальности, существование которой предполагается в гипотезе внешней реальности. Выше я показал, что полное описание должно быть свободно от любого «багажа», то есть не должно содержать никаких понятий. Иными словами, оно должно быть чисто математической теорией без объяснений или «постулатов», как в учебниках по квантовой механике (математики прекрасно справляются – и часто этим гордятся – с изучением абстрактных математических структур, которые не имеют никакого внутреннего смысла или связи с физическими понятиями). Так что бесконечно разумный математик должен быть способен вывести все древо теорий на рис. 10.5 лишь из этих уравнений, извлекая из них свойства физической реальности, которую они описывают, свойства ее обитателей, их восприятие мира и даже слова, которые они придумывают. Эта чисто математическая «теория всего» потенциально может оказаться достаточно простой для описания с помощью уравнений, которые уместятся на футболке.
Все это неуклонно ведет нас к вопросу: действительно ли можно найти такое описание внешней реальности, в котором не было бы никакого «багажа»? Если да, то описание объектов нашей внешней реальности и взаимосвязей между ними было бы совершенно абстрактным, а любые слова или символы стали бы не более чем метками без какого-либо априорно подразумеваемого смысла. Свойства же всех таких сущностей исчерпывались бы их связями между собой.
Математические структуры
Для ответа на этот вопрос необходимо присмотреться к математике. Для современного логика математическая структура – это в точности следующее: набор абстрактных сущностей с отношениями между ними. Возьмем, например, целые числа или геометрические объекты, вроде любимого пифагорейцами додекаэдра. Это совершенно не похоже на первоначальное восприятие математики большинством из нас – как садистской формы наказания или набора трюков для манипулирования числами. Математика, развиваясь, стала, подобно физике, задаваться более широкими вопросами.
Современная математика – это формальное исследование структур, которые можно определить чисто абстрактным способом, без человеческого «багажа». Считайте математические символы просто метками без внутреннего содержания. Неважно, пишете ли вы «два плюс два равно четыре», 2 + 2 = 4 или dos más dos es igual a cuatro. Обозначения, используемые для указания сущностей и их взаимосвязей, не имеют значения; целые числа обладают лишь теми свойствами, которые связывают их между собой. То есть мы не изобретаем математические структуры: мы открываем их, а изобретаем лишь обозначения для их описания. Если другая цивилизация заинтересуется трехмерными фигурами, состоящими лишь из одинаковых плоских граней, она может открыть пять форм, представленных на рис. 7.2, которые мы, земляне, называем платоновыми телами. Инопланетяне могут придумать для них собственные названия, но не смогут изобрести шестую фигуру – ее просто не существует.
Итак, два основных вывода:
1. Из гипотезы внешней реальности вытекает, что «теория всего» (полное описание нашей внешней физической реальности) не содержит «багажа».2. Нечто, имеющее описание, совершенно свободное от «багажа», – это не что иное, как математическая структура.
Из этих тезисов, взятых вместе, вытекает гипотеза математической Вселенной, то есть утверждение о том, что внешняя физическая реальность, описываемая посредством «теории всего», является математической структурой. Итак, если вы верите во внешнюю реальность, независимую от людей, то вы должны поверить и в то, что наша физическая реальность является математической структурой. Ничто больше не имеет свободного от «багажа» описания. Иными словами, мы живем в гигантском математическом объекте – гораздо более сложном, чем додекаэдр, и, вероятно, даже гораздо более сложном, чем объекты с пугающими названиями вроде многообразий Калаби – Яу, тензорных расслоений или гильбертовых пространств, которые появляются в передовых современных физических теориях. Все в нашем мире чисто математическое – включая нас самих.
Что такое математическая структура?
«Подожди-ка!» – обычно восклицает мой друг Джастин Бендих, когда физическое утверждение наводит на важный вопрос, на который нет ответа. А гипотеза математической Вселенной поднимает сразу три таких вопроса:
1. Что в точности является математической структурой?2. Как именно наш физический мир может быть математической структурой?3. Дает ли это утверждение какие-либо проверяемые предсказания?
Мы займемся вторым из этих вопросов в гл. 11, а третьим – в гл. 12. Начнем мы с первого и вернемся к нему в гл. 12.
«Багаж» и эквивалентные описания
Итак, люди пополняют свои описания «багажом». Теперь взглянем с другой стороны: как математическая абстракция может избавлять от «багажа», «обнажая» вещи до самой их сути. Рассмотрим конкретную последовательность шахматных ходов, известную как Бессмертная партия. В ней белые впечатляюще жертвуют обеими ладьями, слоном и ферзем, чтобы поставить мат тремя оставшимися легкими фигурами (рис. 10.6). Здесь, на Земле, эта партия впервые была сыграна в 1851 году Адольфом Андерсеном и Лионелем Кизерицким. Ее ежегодно воспроизводят в итальянском городке Маростика живые игроки, одетые шахматными фигурами, и она регулярно повторяется множеством любителей шахмат по всему миру. Некоторые игроки (включая моего брата Пера, его сына Симона и моего сына Александра; рис. 10.6) пользуются деревянными фигурами, другие – фигурами из мрамора или пластмассы. Некоторые доски выкрашены в коричневый и бежевый цвета, другие в черный и белый, а некоторые являются виртуальными, нарисованными с помощью трехмерной или двумерной компьютерной графики (рис. 10.6). И все же в некотором смысле ни одна из этих деталей не важна: когда любители шахмат называют Бессмертную партию красивой, они имеют в виду не привлекательность игроков, доски или фигур, а более умозрительную сущность, которую можно назвать абстракцией партии или последовательностью ходов.
Рис. 10.6. Абстрактная партия в шахматы не зависит от цвета или формы фигур, от того, описываются ли ходы движениями фигур на физически существующей доске, на стилизованном компьютерном изображении или с применением алгебраической шахматной нотации – это все равно та же партия. Аналогично математическая структура не зависит от символов, которые используются для ее описания.
Рассмотрим подробнее, как мы описываем абстрактные сущности. Прежде всего описание должно быть конкретным, так что нужно изобрести объекты, слова, символы, соответствующие абстрактной идее. Так, в Соединенных Штатах шахматную фигуру, которая ходит по диагонали, мы называем bishop («епископ»). Во-вторых, очевидно, что это название произвольно и другие были бы ничуть его не хуже. В самом деле, эта фигура называется fou («дурак») по-французски, strelec («стрелок») по-словацки, löpare («бегун») по-шведски, fil («слон») по-персидски. Можно, однако, согласовать уникальность Бессмертной партии с множественностью ее возможных описаний, используя сильную идею эквивалентности:
1. Мы определим, что имеется в виду под эквивалентностью двух описаний.2. Мы будем говорить, что если два описания эквивалентны, то они описывают одну и ту же вещь.
Любые слова, понятия или символы, которые появляются в некоторых, но не во всех эквивалентных описаниях, очевидно, являются необязательными, а значит, относятся к «багажу». Но если мы хотим определить сущность Бессмертной партии, сколько «багажа» мы можем выбросить? Очевидно, много: компьютеры способны играть в шахматы, не имея никакого представления о человеческом языке или понятиях вроде цвета, текстуры, размеров и названий фигур. Чтобы до конца понять, как далеко мы можем зайти, необходимо дать более строгое определение эквивалентности:
Два описания эквивалентны, если между ними существует соответствие, которое сохраняет все отношения.
В шахматах используются абстрактные сущности (фигуры и поля на доске) и отношения между ними. Одно из отношений, которое фигура может иметь с полем, заключается в том, что первая стоит на втором. Другое отношение, которое фигура может иметь к полю, состоит в том, что ей позволено на него переместиться. Две центральные иллюстрации на рис. 10.6, согласно нашему определению, эквивалентны: между трехмерными и двумерными фигурами и досками существует соответствие, так что любой трехмерной фигуре, стоящей на определенном поле, соответствует двумерная фигура на соответствующем поле. Аналогично, описание шахматной позиции, выраженное лишь в словах английского языка, эквивалентно описанию, выраженному лишь в словах испанского языка, если имеется словарь, описывающий соответствие между английскими и испанскими словами, и если его применение при переводе описания на испанском дает описание на английском.
Когда газеты или веб-сайты публикуют шахматные партии, они обычно используют еще одну эквивалентную форму описания – так называемую алгебраическую шахматную нотацию (рис. 10.6, справа). Здесь фигуры обозначены не предметами или словами, а буквами (слон, например, эквивалентен «С»), а поля представляются буквой, задающей вертикаль, и цифрой, указывающей горизонталь. Поскольку абстрактное описание партии на рис. 10.6 (справа) эквивалентно ее описанию в форме видеозаписи игры на физической доске, все, что есть в последней форме описания, но не имеет соответствия в первой, является «багажом» – от физического существования доски до формы, цвета и названий фигур. Даже особенности алгебраической шахматной нотации выступают «багажом»: когда в шахматы играют компьютеры, они обычно пользуются иными абстрактными описаниями позиций, представляющими собой схемы из нулей и единиц в памяти. Так что остается после того, как мы избавляемся от «багажа»? Что именно описывается эквивалентными описаниями? Бессмертная партия, на 100 % очищенная.
«Багаж» и математические структуры
Разобранный случай с абстрактными шахматными фигурами, полями на доске и отношениями между ними – это пример гораздо более общего понятия – математической структуры. Это стандартное понятие в современной математической логике. В гл. 12 я приведу более строгое описание, а пока вполне достаточно неформального определения:
Рис. 10.7. Три эквивалентных описания одной и той же математической структуры, которую математики назвали бы ориентированным графом с четырьмя элементами. Каждое описание содержит некий произвольный «багаж», но структура, которую все они описывают, на 100 % свободна от «багажа»: ее четыре сущности не имеют свойств, кроме отношений между ними, а эти отношения не имеют свойств, кроме информации о том, какие элементы они связывают.
Математическая структура – это набор абстрактных сущностей с отношениями между ними.
Рассмотрим несколько примеров. На рис. 10.7 (слева) описываются математические структуры с четырьмя сущностями, связанными между собой отношением нравится. Сущность Филипп представлена изображением с множеством внутренних свойств, таких, например, как цвет волос. Напротив, сущности математических структур совершенно абстрактны, что предполагает отсутствие у них каких бы то ни было внутренних свойств. Это значит, что какие бы символы мы ни использовали для их представления, это будут лишь метки, свойства которых не имеют отношения к делу: во избежание ошибочного приписывания свойств этих символов абстрактным сущностям, обозначением которых они являются, рассмотрим более аскетичное описание, представленное на среднем рисунке. Оно эквивалентно первому, поскольку, если установить соответствие согласно следующему словарю: Филипп = 1, Александр = 2, лыжи = 3, скейтборд = 4, нравится = R, все отношения сохранятся. Так, «Александру нравится скейтборд» превратится в «2 R 4», а такое отношение на среднем рисунке действительно есть.
Математические структуры можно описывать точно так же, как шахматные партии, лишь при помощи символов. Так, в правой части рис. 10.7 представлено третье эквивалентное описание нашей математической структуры с помощью числовой таблицы четыре на четыре. В таблице значение 1 указывает, что отношение (нравится) имеет место между элементом, соответствующим данной строке, и элементом, соответствующим данному столбцу. Скажем, тот факт, что в третьей колонке первой строки стоит 1, означает, что «Филиппу нравятся лыжи». Очевидно, что существует гораздо больше эквивалентных способов описания математической структуры. Но есть лишь одна уникальная математическая структура, которая описывается всеми этими способами. Итак, любое конкретное описание математической структуры несет «багаж», но сама структура его не содержит. Важно не путать описание с тем, что именно описывается: даже кажущееся наиболее абстрактным описание математической структуры не является самой этой структурой. Правильнее сказать, что структуре соответствует класс всех эквивалентных ее описаний. В табл. 10.2 дана сводка отношений между этими и иными ключевыми понятиями, связанными с идеей математической Вселенной.
Симметрия и другие математические свойства
Некоторые математики любят поспорить о том, что такое математика, и по этому вопросу, конечно, нет единого мнения. Однако, согласно популярному определению, математика – это «формальное изучение математических структур». Следуя этим путем, математики выявили большое число интересных математических структур – от хорошо всем знакомых, вроде куба, икосаэдра (рис. 7.2) и целых чисел, до экзотических, вроде банаховых пространств, орбиобразий и псевдоримановых многообразий.
Одна из наиболее важных задач математиков при изучении математических структур – это доказательство теорем об их свойствах. Но что за свойства может иметь математическая структура, если ее сущностям и отношениям не позволено иметь никаких внутренних свойств?
Рассмотрим математическую структуру, описанную в левой части рис. 10.8. Между входящими в нее сущностями нет никаких отношений, так что нет ничего, что позволило бы отличить одну из этих сущностей от любой другой. Значит, данная математическая структура не имеет никаких свойств, кроме мощности – числа сущностей в ней. Математики называют эту математическую структуру «множеством из восьми элементов», и единственное ее свойство – наличие восьми элементов. Весьма скучная структура!
Рис. 10.8. Средний рисунок описывает математическую структуру с восемью элементами (символически изображенными в виде точек) и связями между ними (символически изображенными в виде линий). Вы можете интерпретировать эти элементы как вершины куба, а отношения как указание, какие вершины соединяются ребрами. Но эта интерпретация – совершенно необязательный “багаж”: в правой части представлено эквивалентное описание той же математической структуры без использования какой-либо графики или геометрии. Например, тот факт, что на пересечении пятого столбца и шестой строки стоит 1, означает наличие отношения между элементами 5 и 6. Данная математическая структура имеет много интересных свойств, например зеркальную симметрию и некоторые вращательные симметрии. А математическая структура, описываемая левым рисунком, не содержит отношений и интересных свойств, кроме своей мощности, равной 8, числу элементов, которое в нее входит.
Среднее изображение на рис. 10.8 описывает другую, более интересную математическую структуру с восемью элементами, которая включает их отношения. Одно из описаний этой структуры состоит в том, что ее элементы – это вершины куба, а отношения задают, какие вершины соединены между собой ребрами. Помните, однако, что не следует путать описание с тем, что описывается: математическая структура не имеет собственных свойств (например размера, цвета, текстуры или состава) – она содержит только восемь связанных отношениями сущностей, которые вы можете по желанию интерпретировать как вершины куба. На самом деле в правой части рис. 10.8 представлено эквивалентное определение этой математической структуры без ссылок на геометрические понятия вроде «куб», «вершина» или «ребро».
Но если сущности внутри этой структуры не имеют собственных свойств, то могут ли иметься такие свойства у самой структуры (помимо того, что в ней восемь элементов)? На самом деле, да, они есть – это симметрии. В физике нечто называют обладающим симметрией, если оно остается неизменным, когда вы определенным образом преобразуете его. Например, мы говорим, что ваше лицо обладает зеркальной симметрией, если оно кажется неизменным, будучи отраженным слева направо. В некотором смысле математическая структура на рис. 10.8 (в середине) обладает зеркальной симметрией: если вы поменяете местами элементы 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6, 7 и 8, то схема отношений будет выглядеть точно так же, как прежде. Она также обладает некоторыми вращательными симметриями, соответствующими повороту нарисованного куба либо на 90° вокруг оси, проходящей через центры противоположных граней, либо на 120° вокруг оси, проходящей через противоположные вершины, либо на 180° вокруг оси, проходящей через середины противоположных ребер. Хотя интуитивно мы считаем, что симметрии связаны с геометрией, те же симметрии можно обнаружить, возясь с таблицей в правой части рис. 10.8: если определенным образом перенумеровать восемь элементов, а затем пересортировать таблицу в порядке возрастания номеров строк и столбцов, получится точно такая же таблица, какая была в начале.
Знаменитый больной вопрос философии – проблема бесконечного регресса. Например, если мы говорим, что свойства алмаза объясняются свойствами и расположением в нем атомов углерода, свойства атомов углерода – свойствами и расположением в них протонов, нейтронов и электронов, а свойства протонов – свойствами и расположением в них кварков, кажется, что мы обречены вечно пытаться объяснять свойства этих составных частей. Гипотеза математической Вселенной предлагает радикальное решение этой проблемы: на нижнем уровне реальность – это математическая структура, так что ее части вообще не имеют внутренних свойств! Иными словами, из гипотезы математической Вселенной вытекает, что мы живем в реляционной реальности, то есть свойства окружающего мира обусловлены не свойствами первичных «строительных блоков», из которых он сложен, а отношениями между «блоками». Внешняя физическая реальность является, таким образом, чем-то большим, нежели суммой ее частей. Она может иметь много интересных свойств, хотя ее части вообще не имеют собственных свойств.
Табл. 10.2. Ключевые понятия, связанные с идеей математической Вселенной.
Математические структуры на рис. 10.7 и 10.8 относятся к семейству математических структур, называемых графами: это абстрактные элементы, часть которых попарно связана. Можно применить другие графы для описания математических структур, соответствующих додекаэдру и прочим платоновым телам на рис. 7.2. Еще один пример графа – сеть «френдов» в «Фейсбуке». Здесь элементы соответствуют всем пользователям «Фейсбука», и два пользователя связаны, если между ними установлено отношение дружбы. Графы представляют собой лишь одно из множества семейств математических структур. Мы подробнее обсудим математические структуры в гл. 12, а пока разберем еще несколько примеров.
Есть много математических структур, соответствующих различным типам чисел. Так, натуральные числа (1, 2, 3, …) образуют математическую структуру. Здесь элементами служат числа, и существует много типов отношений. Некоторые отношения (скажем, равно, больше чем, делится на) могут связывать пары чисел («15 делится на 5»), другие устанавливаются между тремя числами («17 является суммой 12 и 5») и т. д. Постепенно математики открывали более широкие классы чисел, которые образуют собственные математические структуры: целые числа (включающие отрицательные числа), рациональные числа (включающие дроби), вещественные числа (включающие квадратный корень из 2), комплексные числа (включающие квадратный корень из -1) и трансфинитные числа (включающие бесконечные числа). Когда, закрыв глаза, я думаю о числе 5, оно кажется мне желтым. Однако во всех этих математических структурах числа сами по себе не имеют свойств, и все их свойства сводятся к их отношениям с иными числами: 5 имеет свойство быть суммой 4 и 1, например, но оно не желтое и ни из чего не сделано.
Еще один обширный класс математических структур соответствует различным пространствам. Например, трехмерное евклидово пространство, которое мы изучаем в школе, – это математическая структура. Здесь элементами выступают точки трехмерного пространства и вещественные числа, которые интерпретируются как расстояния и углы. Существует множество других типов отношений. Например, три точки могут удовлетворять тому отношению, что они лежат на одной прямой. Существуют различные математические структуры, соответствующие евклидову пространству с четырьмя и любым другим числом измерений. Математики также открыли множество других типов пространств более общего вида, которые образуют собственные математические структуры, вроде пространства Минковского, римановых, гильбертовых, банаховых и хаусдорфовых пространств. Многие думают, что наше трехмерное физическое пространство является евклидовым. Однако в гл. 2 мы узнали, Эйнштейн положил этому конец. Сначала его специальная теория относительности показала, что мы живем в пространстве Минковского (включающем время в качестве четвертого измерения), а затем общая теория относительности заменила пространство Минковского римановым пространством, то есть способным искривляться. Затем появилась квантовая механика (гл. 7), утверждающая, что на самом деле мы обитаем в гильбертовом пространстве. И вновь точки этих пространств ни из чего не сделаны и не имеют цвета, текстуры или каких-либо иных собственных свойств.
Хотя наша коллекция известных математических структур обширна и необычна и еще больше их пока не открыто, каждую математическую структуру можно проанализировать на предмет симметричности, и у многих обнаруживаются интересные симметрии. Крайне любопытно, что одним из самых важных открытий в физике стало наличие встроенных симметрий и у нашей физической реальности. Так, законы физики обладают вращательной симметрией, то есть во Вселенной нет выделенного направления, которое можно было бы назвать «верхом». Они также, по-видимому, имеют трансляционную симметрию (относительно сдвига), то есть нет особого места, которое можно было бы назвать центром пространства. Многие из упомянутых выше пространств обладают красивыми симметриями, порой совпадающими с наблюдаемыми симметриями физического мира. Например, евклидово пространство обладает как вращательной (нельзя обнаружить различия, если пространство поворачивается), так и трансляционной симметрией (нельзя обнаружить отличия, если пространство сдвигается). У четырехмерного пространства Минковского еще больше симметрий, и нельзя обнаружить различий, если выполнен обобщенный поворот между пространственным и временным измерениями (Эйнштейн показал, что именно поэтому кажется, что время замедляется, когда вы движетесь с околосветовой скоростью). В XX веке было открыто множество более тонких симметрий природы. Они лежат в основе эйнштейновских теорий относительности, квантовой механики и Стандартной модели элементарных частиц.
Обратите внимание: свойства симметрии, столь важные для физики, появляются именно благодаря отсутствию собственных свойств у «строительных блоков» реальности, то есть из самой сути того, что значит для нее быть математической структурой. Если выкрасить часть бесцветной сферы в желтый, ее вращательная симметрия будет нарушена. Подобным образом, если бы точки трехмерного пространства обладали свойствами, которые делали бы одни точки внутренне отличными от других, пространство утратило бы свою вращательную и трансляционную симметрию. «Меньше – это больше» в том смысле, что чем меньше свойств имеют точки, тем больше симметрий у пространства.
Если гипотеза математической Вселенной верна, то наша Вселенная является математической структурой, и из ее описания бесконечно разумный математик должен иметь возможность вывести все физические теории. Как именно он это сделает? Мы не знаем. Но я уверен, что первым его шагом стало бы определение симметрий этой математической структуры.
В начале этой главы вы узнали мрачное предсказание: мои публикации относительно связи между математикой и физикой безумны и похоронят мою карьеру. Пока я изложил лишь часть обоснований того, что внешняя физическая реальность является математической структурой. Это действительно звучит безумно, однако мы лишь разминаемся. Когда мы займемся следствиями и проверяемыми предсказаниями, вытекающими из гипотезы математической Вселенной, все станет еще безумнее! Кроме прочего, мы придем к неизбежному выводу о новом мультиверсе, столь огромном, что в сравнении с ним поблекнет даже мультиверс III уровня в квантовой механике. Но прежде предстоит ответить на острый вопрос. Наш физический мир меняется во времени, тогда как математические структуры неизменны – они просто существуют. Так как же наш мир может быть математической структурой?
Резюме
• С древних времен людей мучила загадка: почему наш физический мир можно успешно описать с помощью математики.
• Физики продолжают открывать в природе формы, схемы и закономерности, которые удается описывать математическими уравнениями.
• Ткань нашей физической реальности содержит десятки безразмерных чисел, исходя из которых, в принципе, можно вычислить все измеримые постоянные.
• Некоторые физические сущности, например пустое пространство, элементарные частицы и волновая функция, кажутся чисто математическими в том смысле, что все присущие им свойства являются математическими.
• Гипотеза внешней реальности (ГВР), состоящая в том, что существует внешняя физическая реальность, совершенно независимая от людей, признается большинством физиков.
• При достаточно широком определении математики из ГВР вытекает гипотеза математической Вселенной (ГМВ), утверждающая, что наш физический мир является математической структурой.
• Это означает, что наш физический мир не только описывается математикой, но и является математической структурой, что делает нас самосознающими частями гигантского математического объекта.
• Математическая структура – это абстрактное множество сущностей с отношениями между ними. Эти сущности не имеют «багажа»: кроме этих отношений они не обладают никакими свойствами.
• Математическая структура может обладать интересными свойствами, например симметриями, несмотря на то, что ни входящие в нее сущности, ни отношения между ними не обладают собственными свойствами.
• ГМВ разрешает пользующуюся дурной славой проблему бесконечного регресса. Она заключается в том, что свойства природы можно объяснять лишь свойствами ее частей, которые требуют дальнейшего объяснения, и так до бесконечности: свойства природы возникают не из свойств ее самых фундаментальных «строительных блоков» (которые не обладают никакими свойствами), а из отношений между «блоками».
