Интуиция зачастую подводит нас в отношении последствий случайности. Давайте я предложу вам пари. Я подкину монету 10 раз. Вы дадите мне £ 1, если случится так, что выпадут подряд три орла или три решки. Если такого не будет, я дам вам £ 2. Согласны ли вы на такое пари?

А если я повышу свою ставку до £ 4? Мне думается, что даже если вы не были уверены сначала, то примете пари теперь. В конце концов, насколько вероятно, что выпадет подряд три орла или три решки при десяти бросках монеты? Как это ни поразительно, такое происходит более чем в 82 % случаев. Поэтому, даже если я выплачиваю по £ 4 за три идущих подряд одинаковых исхода, я не останусь внакладе при достаточно долгой игре.

Точная вероятность того, что при десяти подбрасываниях монеты выпадет подряд три орла или три решки, равна 846/1024. Вот славные подробности того, как можно получить эту вероятность. Достаточно любопытно, что числа Фибоначчи, с которыми мы познакомились в главе 1, являются ключом к подсчету шансов – это еще одно свидетельство того, что они встречаются повсюду. Если я подброшу монету N раз, то имеется 2^N различных исходов. Мы обозначим g_N количество комбинаций, когда не встречается трех идущих подряд орлов или решек. С этими комбинациями вы выиграете пари. Мы можем сосчитать g_N, воспользовавшись правилом для чисел Фибоначчи:

Для приведения чисел в движение нужно только знать, что g₁ = 2 и g₂ = 4, потому что при одном или двух бросках монеты не может выпасть последовательность из трех орлов или трех решек, ведь мы еще не подкидывали монету три раза. Итак, g_N принимает следующий вид:

Следовательно, имеется 1024 – 178 = 846 различных комбинаций после десяти подбрасываний монеты, в которых содержится последовательность из трех идущих подряд орлов или решек. Итак, вероятность выпадения такой последовательности равна 846/1024, и я выигрываю приблизительно в 82 % случаев.

Почему правило Фибоначчи оказывается ключом к вычислению g_N? Возьмите все возможные комбинации после N –  1 подбрасывания монеты, в которых нет идущих подряд трех орлов или трех решек. Мы обозначили их число g_{N –  1}. Теперь возьмем такую комбинацию после N бросков, что у броска N был противоположный исход броску N –  1. А сейчас возьмем все комбинации после N –  2 бросков, не содержащие трех идущих подряд орлов или решек. Их число равно g_{N –  2}. Пусть у бросков N –  1 и N был противоположный исход по сравнению с броском N –  2. Таким образом вы генерируете все возможные комбинации после N бросков, не содержащие трех идущих подряд орлов или решек.