Начнем с самого примитивного вопроса: что такое число?

Среди множества возможных ответов остановим наше внимание на одном. При этом заметим, что он скорее носит интуитивный характер, чем является математической аксиомой. Представьте, что у вас три яблока на столе, три банана в буфете, три птицы на ветке перед окном, вы слышите три ноты, недавно узнали о трех гениальных идеях и что у вас осталось три дня отпуска. Между всеми этими объектами нет ничего общего: одни из них можно услышать, другие летают, третьи предрасполагают к размышлению. Единственное, что их объединяет, это число три. Таким образом, число – это абстрактное свойство данных групп предметов, не зависящее от места их нахождения, цвета, формы, их зрительного или звукового восприятия.

Как же дети открывают для себя эту абстрактную идею числа, количества?

Знаменитый психолог Жан Пиаже, занимавшийся проблемами психического развития, полагал, что дети познают понятие абстрактного числа с большим трудом и довольно поздно.

В ходе типичного для Пиаже эксперимента ребенку показывали по четыре белых и черных камня (жетона), расположенных в два ряда напротив друг друга, и задавали ему вопрос: «Каких камней больше: белых или черных? Или их количество одинаково?» (рисунок 11). Ребенок отвечал, что белых камней столько же, сколько и черных. На следующем этапе эксперимента увеличивали как расстояние между черными камнями, так и количество белых камней в рядах. После чего ребенку задавали тот же вопрос, на который он отвечал, что черных камней больше. Иначе говоря, при ответе он основывался не на абстрактном понятии количества, а на величине ряда черных камней, который был длиннее белого ряда. И вывод, к которому пришел Пиаже в результате экспериментов этого типа, звучал так: «Дети в раннем возрасте не обладают абстрактным понятием числа, которое формируется у них приблизительно в семилетнем возрасте, когда они больше не допускают ошибок при прохождении вышеописанного теста».

Но родители могут мне возразить, сказав, что семь лет – это слишком поздно и что дети могут оценивать количество предметов гораздо раньше, задолго до семилетнего возраста.

Буду вынужден с ними согласиться. В 1967 году Джек Мехлер и Том Бевер опубликовали в журнале «Science» статью, в которой говорилось, что даже совсем маленькие дети, не достигшие возраста, предлагаемого Пиаже, обладают способностью к счету. Они повторили эксперимент Пиаже и попросили детей выбрать из двух рядов тот, где было больше предметов. Дети, подвергшиеся тестированию, были совсем маленькими, от двух до четырех с половиной лет, то есть находились именно в том возрасте, который Пиаже даже не рассматривал. Они взяли на себя смелость опровергнуть вывод Пиаже и заявили, что если дети у Пиаже совсем не разбирались в понятиях количества и числа, то только лишь потому, что эксперимент был проведен некорректно.

Что же нового Мехлер и Бевер привнести в эксперимент?

Все оказалось настолько просто, насколько и изящно (рисунок 12). Они провели вышеуказанный эксперимент в двух версиях. Одна была полным аналогом предыдущего теста: «Дорогой, скажи, в каком ряду больше камней?» А в другой версии они прибегли к небольшой хитрости, заменив камни конфетами и сказав детям, что они могут съесть конфеты из того ряда, который им больше придется по нраву.

Вдумчивый читатель скажет, что его не удивило бы, если бы дети выбрали тот ряд, в котором было больше конфет…

Именно это и произошло. В версии с камнями дети отвечали по-разному, в зависимости от возраста: иногда правильно, иногда путались, иногда случайно угадывали верный ответ. Нужно отдавать себе отчет в том, что, когда детей просят указать, «в каком ряду больше», на их ответ может повлиять уровень владения языком, непонимание разницы между «больше» и «длиннее», желание понравиться взрослому, который проводит эксперимент. Короче говоря, на результат может повлиять множество вещей, которые не имеют ничего общего с понятием числа как таковым. Зато в том, что касается конфет, уже начиная с двух лет малыши безошибочно угадывают верный ответ и всегда выбирают тот ряд, где конфет больше, что свидетельствует о том, что дети на самом деле знают гораздо больше того, чем могут выразить словами.

А что же можно сказать о детях более раннего возраста, которым нет еще и двух лет?

В прошлом году появилась очень интересная статья, в которой рассказывается об исследовании понятия числа у грудничков, которым от роду всего лишь два дня.

Хотя в этом возрасте им еще рано питаться конфетами…

Но если говорить серьезно, то можно предположить, что каждый возраст требует своих методик исследования.

Ученые представили младенцам на слух серию звуков, число которых равнялось четырем (например, «та-та-та-та», «фи-фи-фи-фи», «гу-гу-гу-гу»). И звучало все это в течение двух минут, чтобы младенцы освоили число четыре, (рисунок 13). Затем ученые один за другим показали детям несколько рисунков, на которых были изображено некоторое количество геометрических форм. На отдельных рисунках количество форм соответствовало количеству звуков (в данном случае – четырем), на других рисунках количество форм было больше или меньше четырех (например, двенадцать).

И какова же была реакция грудничков?

Дети достаточно долгое время рассматривали каждую картинку, прежде чем отвести от нее взгляд. Исследователи измерили время, проведенное младенцами за рассматриваем разных картинок, число форм на которых либо соответствовало, либо нет количеству звуков, к которым они привыкли.

Приобретя привычку к четырем звукам, каким картинкам малыши отдавали предпочтение: тем, на которых было 4 формы, или тем, на которых 12?

Разумеется, малыши останавливали свой взгляд на картинках с четырьмя формами и предпочитали рассматривать то количество объектов, которое соответствовало количеству ранее услышанных ими звуков. Короче говоря, уже с первых дней жизни младенцы осознают, что есть нечто общее между четырьмя звуками и четырьмя формами, и единственное, что их объединяет, это такое абстрактное понятие, как число 4.

Таким образом, мы выяснили, что младенцы могут отличить число 4 от 12. А будет ли эксперимент в той же степени показателен, если им придется сделать выбор между четырьмя и пятью объектами?

Конечно нет. У маленьких детей, как и у животных, весьма приблизительное понимание того, что такое число.

Новорожденный младенец может различить числа, отличающиеся одно от другого утроением (например, 4 и 12). Впоследствии осознание понятия числа будет постепенно развиваться, и уже через шесть месяцев младенцы смогут различать числа, отличающиеся от заданного числа удвоением. В конце концов, только научившись считать и разбираться в названиях цифр, они смогут отличить такие близкие цифры, как 5677 и 5678.