Приложение С
Современное определение производной
В настоящее время понятие производной опирается на надежный логический базис, поскольку мы определяем ее в терминах пределов. Формальное определение производной от функции f(x) в точке x0, обозначаемой как f '(x), таково:
f '(x) = lim f(x + ε) — f(x) / ε при ε → 0.
Чтобы увидеть, как это помогает избавиться от грязной уловки Ньютона, рассмотрим ту функцию, которая использовалась для демонстрации флюксий Ньютона: f '(x) = x2 + x + 1. Производная этой функции равна
f '(x) = lim (x2 + 2εx + ε2 + x + ε+ 1 — x2 — x — 1) / ε при ε → 0..
Теперь x2 взаимно уничтожается с –x2, x аннигилирует с –x, а 1 — с –1. Остается
f '(x) = lim (2εx + ε + ε2) / ε при при ε → 0.
Разделив на ε, мы помним, что ε всегда отлично от 0, потому что мы еще не вычислили предел. Получаем
f '(x) = lim (2x + 1 + ε) при ε → 0.
Теперь мы находим предел и позволяем ε приблизиться к 0. Получаем
f '(x) = 2x + 1 + 0 = 2x +1
Это и есть ответ, который мы ищем. Всего лишь небольшой сдвиг в мышлении, но он и составляет всю разницу.
