О равнодушии вавилонян к знанию ирландский поэт и драматург Уильям Батлер Йейтс (1865–1939) написал в своем стихотворении «Заря», начинающемся так:

 

Я был бы невеждой, как та заря,

Что сверху вниз глядела, зря,

Как меряет город жена царя

Иглой от броши своей,

Иль на дряблых людей, что взирали

Из мелочного Вавилона

На беспечность планет и пути их

И таянье звезд от взошедшей луны,

А сами в скрижали суммы писали…

 

Здесь и далее прим. автора, кроме оговоренных особо.

Michael Williams, A History of Computing Technology (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1985), стр. 39–40.

Интересно о происхождении счета и арифметики у Уильямза, гл. 1.

Williams, стр. 3.

R. G. W. Anderson, The British Museum (London: British Museum Press, 1997), стр. 16.

Pierre Montet, Eternal Egypt, trans. Doreen Weightman (New York: New American Library, 1964), стр. 1–8.

Alfred Hooper, Makers of Mathematics (New York: Random House, 1948), стр. 32.

Georges Jean, Writing: The Story of Alphabets and Scripts, trans. Jenny Oates (New York: Harry N. Abrams, 1992), стр. 27.

Геродот писал, что развитие египетской геометрии стимулировали задачи налогообложения. См.: W. K. C. Guthrie, A History of Greek Phulosophy (Cambridge, UK: University Press, 1971), стр. 34–35, и Herbert Turnbull, The Great Mathematicians (New York: New York University Press, 1961), стр. 1.

Rosalie David, Handbook of Life in Ancient Egypt (New York: Facts on File, 1998), стр. 96.

Эти и другие поразительные факты можно найти благодаря вкладу Алексея в эти примечания – вот где: James Putnam and Jeremy Pemberton, Amazing Facts about Ancient Egypt (London and New York: Thames & Hudson, 1995), стр. 46.

Хороший обзор вавилонской и шумерской математики см.: Edna E. Kramer, The Nature and Growth of Modern Mathematics (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1981), стр. 2–12.

Для сравнения египетской и вавилонской математик см.: Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (New York: Oxford University Press, 1972), стр. 11–22. См. Также: H. L. Resnikoff and R. O. Wells, Jr., Mathematics in Civilization (New York: Dover Publications, 1973), стр. 69–89.

Также известен как «папирус Ахмеса»; Александр Генри Ринд (Райнд, 1833–1863) – шотландский юрист и египтолог. – Прим. пер.

Resnikoff and Wells, стр. 69.

Kline, стр. 11.

Цит. по: The First Mathematicians (март, 2000); сходная, но более сложная риторическая задача есть у Клайна, стр. 9.

Kline, стр. 259.

О жизни и работе Фалеса см.: Sir Thomas Heath, A History of Greek Mathematics (New York: Dover Publications, 1981), стр. 118–149; Jonathan Barnes, The Presocratic Philosophers (London: Routledge & Kegan Paul, 1982), стр. 1–16; George Johnston Allman, Greek Geometry from Thales to Euclid (Dublin, 1889), стр. 7–17; G. S. Kirk and J. E. Raven, The Presocratic Philosophers (Cambridge, UK: University Press, 1957), стр. 74–98; Hooper, стр. 27–38; Guthrie, стр. 39–71.

Meander (англ.) – изгиб, извилина, излучина, поворот. – Прим. пер.

Reay Tannahill, Sex in History (Scarborough House, 1992), стр. 98–99.

Richard Hibler, Life and Learning in Ancient Athens (Lanham, MD: University Press of America, 1988), стр. 21.

28 мая 585 года до н. э. по современному летоисчислению; битва между лидийцами и мидянами. – Прим. пер.

Hooper, стр. 37.

Erwin Schroedinger, Nature and the Greeks (Cambridge: Cambridge University Press, 1996), стр. 81.

Hooper, стр. 33.

О милетской жизни см.: Adelaide Dunham, The History of Miletus (London: University of London Press, 1915).

См.: Guthrie, стр. 55–80, и Peter Gorman, Pythagoras, A Life (London: Routledge & Kegan Paul, 1979), стр. 32.

Gorman, стр. 40.

Хорэс Грили (1811–1872) – американский журналист и политик, социалист-утопист, прославился фразой в своей редакторской колонке, опубликованной 13 июля 1865 г.: «Ступайте на Запад, молодой человек, ступайте на Запад…» – Прим. пер.

Наиболее полная биография Пифагора, со всеми ссылками, – гормановская. Также см.: Leslie Ralph, Pythagoras (London: Krikos, 1961).

См.: Donald Johanson and Blake Edgar, From Lucy to Language (New York: Simon & Schuster, 1996), стр. 106–107.

Jane Muir, Of Men and Numbers (New York: Dodd, Mead & Co., 1961), стр. 6.

Square deal (англ. букв.) – «квадратная сделка», употребляется в значении «справедливая, честная сделка». – Прим. пер.

Gorman, стр. 108.

Gorman, стр. 19.

Gorman, стр. 110.

Gorman, стр. 111.

Gorman, стр. 111.

Gorman, стр. 123.

Для интересующихся математикой приведем доказательство. Обозначим длину диагонали как с и начнем с допущения, что с можно выразить в виде дроби – скажем, m/n, в которой у m и n нет общих делителей, и они ни в коем случае не четные одновременно. Доказательство производится в три этапа. Первый: заметим, если с² = 2, значит, m² = 2n². Словами: m² – четное число. Поскольку квадраты нечетных чисел – нечетные, значит, и m само по себе должно быть четным. Второй: поскольку m иn не могут быть оба четными, значит, n должно быть нечетным. Третий: взглянем на уравнение m² = 2n² с другой стороны. Поскольку m – четное, его можно записать как 2q, при любом q. Если заменить m в m² = 2n² на 2q, получим 4q² = 2n², что то же самое, что и 2q² = n². Это означает, что n², а следовательно, и n – четное.

Мы только что доказали, что если с можно записать как с = m/n, то m есть нечетное, а n – четное. Получается противоречие, а значит, исходное допущение, что с можно записать как с = m/n, – ложное. Такого рода доказательства, когда мы допускаем отрицание того, что стремимся доказать, а потом показываем, что отрицание ведет к противоречию, называется reductio ad absurdum. Это одно из изобретений пифагорейцев, и поныне полезное для математики.

Muir, стр. 12–13.

Kramer, стр. 577.

Gorman, стр 192–193.

Спиноза, знаковый философ XVII века, писал «Этику» – свой главный труд – в стиле евклидовых «Начал», вплоть до определений и аксиом, с помощью которых, как он считал, строго доказывал теоремы. См. также «Историю западной философии» Бертрана Расселла: Bertand Russell, A History of Western Philosophy (New York: Simon & Schuster, 1945), стр. 572. Авраам Линкольн, еще будучи никому не известным юристом, изучал «Начала» с целью улучшить свои навыки логики, см.: Hooper, стр. 44. Кант читал евклидову геометрию неотъемлемой частью человеческого мозга, см. Расселл. [На рус. яз.: Бенедикт Спиноза, «Этика», М., СПб, Азбука, Азбука-Аттикус, 2012, пер. Я. Боровского, Н. Иванцова; Бертран Рассел, «История западной философии», М.: Академический проект, 2009, пер. В. Целищева. – Прим. пер.]

Heath, стр. 354–355.

Kline, стр. 89–99, 157–158.

Heath, стр. 356–370, см. также: Hooper, стр. 44–48. В 1926 году Хит лично продолжил историю «Начал», опубликовав свое издание, перепечатанное издательством «Доувер»: Sir Thomas Heath. The Thirteen Books of Euclid’s Elements (New York: Dover Publications, 1956).

«Мальтийский сокол» (1930) – детектив-нуар американского писателя Сэмюэла Дэшилла Хэммета (1894–1961). – Прим. пер.

Kline, стр. 1205.

«Let’s Make A Deal» – американская телевикторина телеканала «Эн-би-си», транслировавшаяся с 1963 по 1968 гг. – Прим. пер.

Трудный выбор, на котором основана программа «Поспорим», часто называют задачей Монти Холла, по имени ведущего программы. Проще всего разобраться в решении, нарисовав диаграмму-дерево, последовательно иллюстрирующую возможные варианты выбора. Этот метод применяется для наглядного описания теоремы Байеса в: John Freund, Mathematical Statistics (Englewood, Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1971), стр. 57–63. [Здесь и далее по тексту в квадратных скобках имена собственные даются в соответствии с произносительной нормой в тех случаях, когда она расходится с привычным написанием. – Прим. пер.]

Martin Gardner, Entertaining Mathematical Puzzles (New York: Dover Publications, 1961), стр. 43. [На рус. яз.: Гарднер М., «Математические досуги», М: «Мир», 1972, пер. Ю. Данилова. – Прим. пер.]

История про трудности с перигелием Меркурия изложена в: John Earman, Michael Janssen, and John D. Norton, eds., The Attraction of Gravitation: New Studies in the History of General Relativity (Boston: The Center for Einstein Studies, 1993), стр. 129–149. А еще есть хорошее, хоть и краткое, изложение этой же темы в: Abraham Pais, Subtle Is The Lord (Oxford: Oxford University Press, 1982), стр. 22, 253–255; цитата Леверье дана на стр. 254; «высшая точка» – на стр. 22. Геометрия всей этой истории изложена в: Resnikoff and Wells, стр. 334–336.

Три хороших современных обзора «Начал» Евклида есть в: Kline, Mathematical Thought, стр. 56–88; Jeremy Gray, Ideas of Space (Oxford: Clarendon Press, 1989), стр. 26–41; Marvin Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries (San Francisco: W. H. Freeman & Co., 1974), стр. 1–113.

Kline, стр. 59.

Здесь и далее – пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. – Прим. пер.

H. G. Wells, The Outline of History (New York: Garden City Books, 1949), стр. 345–375. Линию времени см.: Jerome Burne, ed., Chronicle of the World (London: Longman Chronicle, 1989), стр. 144–147.

Russell, стр. 220.

Афиняне одолжили Птолемею III драгоценные манускрипты Еврипида, Эсхила и Софокла. Хоть он их и не вернул, ему хватило щедрости отдать сделанные им копии. Греки, скорее всего, не слишком удивились. Они запросили с Птолемея III (и оставили себе) целое состояние. См.: Will Durant, The Life of Greece (New York: Simon & Schuster, 1966), стр. 601.

«U.S. News & World Report» (с 1933) – американский новостной журнал. В последние годы стал особенно известен своей системой ранжирования и ежегодным отчетам об американских колледжах, университетах, школах и медицинских центрах. – Прим. пер.

Геометрия его расчетов объяснена в: Morris Kline, Mathematics and the Physical World (New York: Dover Publications, 1981), стр. 6–7.

Бытует несколько разных вариантов этой истории. Согласно некоторым, Эратосфен замечает отсутствие тени, глядя в колодец, и определяет расстояние до Сиена по рассказам странников. Версия, приведенная здесь, есть в: Carl Sagan, Cosmos (New York: Ballantine Books, 1981), стр. 6–7. [На рус. яз.: К. Саган, Космос, СПб: Амфора, 2008, пер. А. Сергеева. – Прим. пер.]

Kline, Mathematical Thought, стр. 106.

Morris Kline, Mathematics in Western Culture (London: Oxford University Press, 1953), стр. 66.

Kline, Mathematical Thought, стр. 158–159.

Обзор работ Птолемея см.: John Noble Wilford, The Mapmakers (New York: Vintage Books, 1981), стр. 25–33.

Kline, Mathematics in Western Culture, стр. 86.

Kline, Mathematical Thought, стр. 201.

Kline, Mathematics in Western Culture, стр. 89.

Историю Гипатии см.: Maria Dzielska, Hypatia of Alexandria, trans. F. Lyra (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1995). См. также: Kramer, стр. 61–65, и Russell, стр. 367–369.

Edward Gibbon, The Decline and Fall of the Roman Empire (London: 1898), стр. 109–110. [На рус. яз.: Эдвард Гиббон, «История упадка и разрушения Римской империи», в 7 т., М.: Наука, 2006, пер. В. Неведомского. – Прим. пер.]

Dzielska, стр. 84.

Dzielska, стр. 90.

Dzielska, стр. 93–94.

Resnikoff and Wells, стр. 4–13.

David Lindberg, ed., Science in the Middle Ages (Chicago: University of Chicago Press, 1978), стр. 149.

Город и река в штате Мичиган, США. – Прим. пер.

William Gondin, Advanced Algebra and Calculus Made Simple (New York: Doubleday & Co., 1959), стр. 11.

Два прекрасных рассказа об истории создания карт см.: Wilford and Norman Thrower, Maps and Civilization (Chicago: University of Chicago Press, 1996).

Resnikoff and Wells, стр. 86–89.

Согласно некоторым источникам – в 1699-м, однако поскольку изобретение не было опубликовано сразу, точную дату установить затруднительно. – Прим. пер.

Dava Sobel, Longitude (New York: Penguin Books, 1995), стр. 59.

Wilford, стр. 220–221.

Космический корабль из вселенной «Звездного пути» (Star Trek) – американского научно-фантастического кино– и телесериала (с 1966), созданного сценаристом и продюсером Джином Родденберри (1921–1991). Действие сериала происходит в XXIII веке. – Прим. пер.

Morris Bishop, The Middle Ages (Boston: Houghton Mifflin, 1987), стр. 22–30.

Ок. 193 см. – Прим. пер.

Jean, стр. 86–87.

Jean Gimpel, The Medieval Machine (New York: Penguin Books, 1976), стр. 182.

Bishop, стр. 194–195.

Robert S. Gottfried, The Black Death (New York: The Free Press, 1983), стр. 24–29.

Robert S. Gottfried, стр. 53.

Описание средневекового университета и университетской жизни см.: Bishop, стр. 240–244, и Mildred Prica Bjerken, Medieval Paris (Metuchen, NJ: Scarecrow Press, 1973), стр. 59–73.

«Зверинец» (Animal House) – американская комедия (1978) реж. Джона Лэндиса. – Прим. пер.

Bishop, стр. 145–146.

Bishop, стр. 70–71.

Gimpel, стр. 147–170; Bishop, стр. 133–134.

Wilford, стр. 41–48; Thrower, стр. 40–45.

Russell, стр. 463–475. Об Абеляре см. также: Jacques LeGoff, Intellectuals in the Middle Ages, trans. Teresa Lavender Fagan (Oxford: Blackwell, 1993), стр. 35–41. [На рус. яз.: Жак Ле Гофф, «Интеллектуалы в Средние века», СПб.: Издательский дом Санкт-Петербургского государственного университета, 2003, пер. А. Руткевича. – Прим. пер.]

Jeannine Quillet, Autour de Nicole Oresme (Paris: Librarie Philosophique J. Vrin, 1990), стр. 10–15.

Ныне городок Флёри-сюр-Орн, Кальвадос, область Нижняя Нормандия. – Прим. пер.

Reay Tannahill, Food in History (New York: Stein & Day, 1973), стр. 281.

Теория распределений. Для интересующихся математикой – отличное классическое описание на студенческом уровне см.: M. J. Lighthill, Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions (Cambridge, UK: University Press, 1958).

Работы Орема по графикам см.: Lindberg, стр. 237–241; Marshall Clagett, Studies in Medieval Physics and Mathematics (London: Variorum Reprints, 1979), стр. 286–295; Stephano Caroti, ed., Studies in Medieval Philosophy (Leo S. Olschki, 1989), стр. 230–234.

David C. Lindberg, The Beginnings of Western Science (Chicago: University of Chicago Press, 1992), стр. 290–301.

Clagett, стр. 291–293.

Lindberg, The Beginnings, стр. 258–261.

Lindberg, The Beginnings, стр. 260–261.

В русской традиции – Псалтирь, 92: 1. Сходная мысль выражена в Пс. 96: 10: «Господь царствует! потому тверда вселенная, не поколеблется» (рус. трад. Пс. 95:10). – Прим. пер.

Charles Gillespie, ed., The Dictionary of Scientific Biography (New York: Charles Scribner’s Sons, 1970–1990).

Лучшая современная биография Декарта: Jack Vrooman, Rene 2 Descartes (New York: G. P. Putnam’s Sons, 1970). Описание сплетения его жизни с математикой см.: Muir, стр. 47–76; Stuart Hollingdale, Makers of Mathematics (New York: Penguin Books, 1989), стр. 124–136; Kramer, стр. 134–166; Bryan Morgan, Men and Discoveries in Mathematics (London: John Murray, 1972), стр. 91–104.

В разных источниках приводится разный возраст. Распределение этих данных выглядит равномерным.

Muir, стр. 50.

George Molland, Mathematics and the Medieval Ancestry of Physics (Aldershot, Hampshire, UK, and Brookfield, VT: 1995), стр. 40.

Kline, Mathematical Thought, стр. 308.

Molland, стр. 40.

Пер. с греч. Д. Д. Мордухай-Болтовского. – Прим. пер.

«Вестсайдская история» (West Side Story) – американский мюзикл 1957 года (музыка Леонарда Бернстайна, слова Стивена Сондхайма), адаптация классической пьесы Уильяма Шекспира «Ромео и Джульетта». «Истсайдская история» – вероятно, одна из серий американского телесериала «Беверли-Хиллз, 90210» (1990–2000). – Прим. пер.

Описание работ Птолемея см.: Wilford, стр. 25–34. В 1569 г., за несколько десятков лет до рождения Декарта, у картографии случилась своя революция: Герхард Кремер, более известный под своим латинизированным именем Герард Меркатор, издал карту мира новой разновидности. Этой картой Меркатор решил задачу проекции сферы Земли на плоскую поверхность – способом, особенно удобным для навигаторов. И хотя карта Меркатора растягивала и сжимала реальные расстояния, углы между кривыми сохранялись правильные, т. е. на карте они были такими же, как и на земной поверхности. Это важно, поскольку самый простой курс для кормчего – двигаться под фиксированным углом к северу, по указанию стрелки компаса. Математически говоря, важность этой карты в том, что она трансформировала координаты. Сам Меркатор никакой математикой не занимался – он составил карту эмпирически. Картезианская геометрия позволяет производить математический анализ, и в результате понимание картографии получается гораздо глубже. Декарт знал о карте Меркатора, но нам неведомо, насколько успехи картографии повлияли на Декарта – и повлияли ли вообще, поскольку он не утруждался указывать ссылки на чужие работы в своих. О математике, стоящей за трудами Меркатора, см.: Resnikoff and Wells, стр. 155–168.

Декарт не просто унаследовал всю алгебру, потребную для его работы. Он сам изобрел значительную ее часть. Во-первых, он предложил современный вид записи с применением последних букв алфавита для обозначения неизвестных переменных и первых – для обозначения постоянных. До Декарта язык алгебры не блистал изяществом. К примеру, Декарт записал бы 2x² + x³, а до него то же выражалось так: «2Q плюс C», где через Q обозначали квадрат (carre 2), а через С – куб. Запись Декарта совершеннее, потому что она исчерпывающе фиксирует и неизвестное число, возводимое в квадрат и в куб (х), и характер степеней х (2 и 3). Применив это более изящное написание, Декарт смог складывать и вычитать уравнения и производить с ними другие арифметические операции. Он смог классифицировать алгебраические выражения согласно типу кривой, которую они представляли. Например, он опознал уравнения 3х + 6y – 4 = 0 и 4х + 7у + 1 = 0 как представляющие прямые, которые он изучил в общем случае ax + by + c = 0. Таким образом, он преобразовал алгебру из науки, изучающей мешанину отдельных уравнений, в дисциплину оформленных классов уравнений, см.: Vrooman, стр. 117–118. Более общую историю алгебраических символов см.: Kline, Mathematical Thought, стр. 259–263, и Resnikoff and Wells, стр. 203–206.

По таблице, приведенной в «Нью-Йорк Таймс» 11 января 1981 г. и процитированной у Тафта.

Теперь нам становится понятнее декартово определение окружности. Если окружность имеет центр в точке начала координат, и координаты точки на окружности – х и у, тогда требование, чтобы х и у отвечали уравнению х² + у² = r², попросту означает, что все точки на окружности должны находиться на расстоянии r от центра; это простое интуитивное определение, знакомое нам со школы.

Хоть мы и объяснили это для плоскости, двухмерного пространства, декартовы координаты просто будет распространить на три и более измерения. К примеру, уравнение сферы х² + у² + z² = r², изменение состоит лишь в дополнительной координате z. Таким образом, физические теории могут быть описаны с помощью произвольного числа пространственных измерений. Выясняется, что обычная квантовая механика принимает чрезвычайно простой вид при бесконечном числе пространственных измерений, и это свойство применяется для нахождения приблизительных ответов для уравнений, решение которых иначе затруднительно. Интересующимся математикой рекомендуем: L. D. Mlodinow and N. Papanicolaou, «SO(2,1) Algebra and Large N Expansions in Quantum Mechanics», Annals of Physics, том 28, № 2 (сентябрь, 1980), стр. 314–334.

Vrooman, стр. 120.

На рус. яз.: М., СПб: ОГИЗ Москва – Ленинград, 1948, пер. А. И. Долгова. – Прим. пер.

Vrooman, стр. 115.

Vrooman, стр. 84–85.

Vrooman, стр. 89.

Vrooman, стр.152–155, 157–162.

Vrooman, стр. 136–149.

Об отношениях Декарта и Кристины см.: Vrooman, стр. 212–255.

О странствиях разных частей тела Декарта после смерти см. там же, стр. 252–254.

Heath, стр. 364–365.

О споре Прокла с Птолемеем см.: Kline, Mathematical Thought, стр. 863–865.

Джон Плейфэр (1748–1819) – шотландский математик и географ, профессор математики в Эдинбургском университете. – Прим. пер.

Средневековая исламская цивилизация внесла огромный вклад в развитие всей математики, не только сохранив работы греков, но и развив алгебру. Подробности см.: J. L. Berggren, Episodes in the Mathematics of Medieval Islam (New York: Springer-Verlag, 1986); коротко о жизни Сабита ибн Курра см. там же, стр. 2–4. Его попытка доказать постулат параллельности описана у Грея, стр. 43–44. Попытки других исламских математиков также приводятся у Грея.

Сэр Генри Сэвил (1549–1622, в русскоязычной традиции – Савиль) – английский математик, учредил в Оксфорде в 1619 г. на собственные деньги две профессорские ставки – по геометрии и астрономии; эти две кафедры под именем «савилианских» получили большую известность. – Прим. пер.

Имеется в виду торговая марка автомобилей класса «люкс» «ниссан-инфинити», принадлежащая японской компании «Ниссан Моторз». – Прим. пер.

Подробнее см. у Грея, стр. 57–58.

Подробное жизнеописание Гаусса см. в: G. Waldo Dunnigton, Carl Friedrich Gauss: Titan of Science (New York: Hafner Publishing Co., 1955).

Muir, стр. 179.

Muir, стр. 181.

Muir, стр. 182.

Muir, стр. 179.

Muir, стр. 161.

Hollingdale, стр. 317.

Hollingdale, стр. 65.

Muir, стр. 179.

Dunnington, стр. 24.

Dunnington, стр. 181.

Russell, стр. 548.

Kline, Mathematical Thought, стр. 871.

Russell, Introduction to Mathematical Philosophy (New York: Dover Publications, 1993), стр. 144–145.

Dunnington, стр. 215.

См. Greenberg, стр. 146. Анализ представлений Канта о пространстве и времени см.: Russell, Introduction to Mathematical Philosophy, стр. 712–718, и Max Jammer, Concepts of Space (New York: Dover Publications, 1993), стр. 131–139.

Традиционный греческий салат.

«Критика чистого разума», т. IV. Пер. с нем. Н. Лосского. – Прим. пер.

Я сам неоднократно беседовал об этом с Фейнманом в Калифорнийском технологическом институте, Пасадина, в 1980–1982 гг.

Dunnington, стр. 183. Подробнее о жизни Бойяи см.: Gillespie, Dictionary of Scientific Biography, стр. 268–271; о жизни Лобачевского см.: Muir, стр. 184–201; E. T. Bell, Men of Mathematics (New York: Simon & Schuster, 1965), стр. 294–306; Heinz Junge, ed., Biographien bedeutender Mathematiker (Berlin: Volk und Wissen Volkseigener Verlag, 1975), стр. 353–366.

«Nicolai Ivanovich Lobachevski» авторства Тома Лерера [(р. 1928) – американского автора-исполнителя, сатирика и математика. – Прим. пер.].

Как ни странно, бумаги, найденные после смерти Бойяи, показали, что он был тайным евклидовцем: даже после открытия неевклидова пространства продолжал попытки доказать евклидову формулировку постулата параллельности, несмотря на то, что она развенчала бы его собственную работу.

Dunnington, стр. 228.

Подробности о модели Пуанкаре см. у Гринберга, стр. 190–214.

Для пущей математической точности необходимо заметить, что есть и другой вид кривых, называемых в модели Пуанкаре прямыми. Это диаметр, т. е. любой отрезок линии, проходящий через центр блина и упирающийся концами в его границы. Эти кривые ничем принципиально не отличаются от других линий Пуанкаре: диаметр перпендикулярен границе блина и может быть рассмотрен как дуга бесконечно большей окружности.

«It’s a Small World (After All)» – песня Роберта и Ричарда Шерманов, написанная в начале 1960-х гг. для одноименного аттракциона в Диснейленде. – Прим. пер.

В начале XVIII века Джероламо Саккери, священник-иезуит и профессор Университета Павии, изучал работы Валлиса и последователя Сабита – Насира ад-Дина. Вдохновленный их трудами, он тоже увлекся освобождением Евклида от всех обвинений. Мы знаем доподлинно, что таково было его намерение, поскольку в год своей смерти, в 1733-м, Саккери опубликовал книгу под названием «Евклид, освобожденный от всех обвинений» («Euclides ab Omni Maevo Vindicatus»). Как и его предшественники, Саккери заблуждался. Но одно ему удалось доказать верно: формулировка постулата параллельности, приводящая к эллиптическому пространству, также приводит к логическому противоречию с другими аксиомами Евклида.

Фраза из американского киномюзикла «Роки Хоррор, кинофильм» (The Rocky Horror Picture Show, 1975, реж. Джим Шэрмен, в российском прокате известен как «Шоу ужасов Роки Хоррора»). – Прим. пер.

Подробнее о работах Гаусса в геодезии см.: Dunnington, стр. 118–138.

Пер. С. Степанова. – Прим. пер.

Из интервью со Стивеном Млодиновым 9 октября 1999 г.

Отличный обзор работ и интеллектуального наследия Римана с некоторыми биографическими сведениями, см.: Michael Monastyrsky, Riemann, Topology, and Physics, trans. Roger Cooke, James King, and Victoria King (Boston: Birkhauser, 1999). Обзорное жизнеописание Римана см. также: Bell, стр. 484–509. [Оригинальное издание первой работы: Монастырский М. И. Бернхард Риман. Топология. Физика. М.: Янус-К, 1999. – Прим. пер.]