Глава 16. Падение пятого постулата

Гаусса не стали бы считать светилом математики, не повлияй он так глубоко на многие ее области. И тем не менее иногда Гаусса воспринимают как фигуру переходную – скорее как ученого, завершившего разработки, начатые Ньютоном, а не основоположника работ грядущих поколений. В части геометрии пространства это совсем не так: его усилия обеспечили математикам и физикам поле для работы на сто лет вперед. И лишь одно мешало революции произойти: Гаусс хранил свою работу в тайне.

Когда Гаусс в 1795 году стал гёттингенским студентом, он живо заинтересовался вопросом постулата параллельности. Один из преподавателей Гаусса – Абрахам Кёстнер – увлекался на досуге коллекционированием литературы по истории постулата. У Кёстнера даже был студент Георг Клюгель, написавший диссертацию – анализ двадцати восьми неудачных попыток доказать постулат. И все же ни Кёстнер, ни кто другой не готовы были к тому, что подозревал Гаусс: что пятый постулат может быть недействителен. Кёстнер даже говаривал, что лишь сумасшедший стал бы сомневаться в состоятельности постулата. Гаусс держал свое мнение при себе, хотя, как выяснилось, записывал соображения в свой научный журнал, который обнаружили через сорок три года после смерти ученого. Позднее Гаусс пренебрежительно отозвался о Кёстнере, баловавшемся писательством: «Ведущий математик среди поэтов, ведущий поэт среди математиков».

Между 1813 и 1816 годами, уже преподавая математическую астрономию в Гёттингене, Гаусс наконец произвел решительный прорыв, которого ждали со времен Евклида: он составил уравнения, описывающие части треугольника в новом, неевклидовом, пространстве, чью структуру мы теперь называем гиперболической геометрией. К 1824 году Гаусс, похоже, разработал всю теорию целиком. 6 ноября того же года Гаусс написал Ф. А. Тауринусу – юристу немалого ума, развлекавшемуся математикой: «Допущение, что сумма трех углов [в треугольнике] меньше 180°, приводит к особой геометрии, довольно отличной от нашей [т. е. евклидовой], что совершенно последовательно, и я развил ее вполне удовлетворительно…» Гаусс эту геометрию никогда не обнародовал и настаивал, чтобы ни Тауринус, ни кто иной не предавали его открытия огласке. Почему? Церкви Гаусс не боялся, он опасался ее пережитков – светских философов.

Во дни Гаусса пути науки и философии еще не окончательно разошлись. Физику знали не как «физику», а как «натурфилософию». Научное мышление уже не карали смертью, но соображения на основе интуиции или веры все равно частенько считали в равной мере осмысленными. Одно модное поветрие особенно веселило Гаусса – «столоверчение»: группа во всем остальном разумных людей усаживалась вокруг стола, все клали на него руки. Примерно через полчаса стол, видимо, заскучав, начинал двигаться или вращаться. Это движение означало, по всей видимости, что-то вроде спиритического послания мертвых. Какие такие послания призраки отправляли живым, не вполне понятно, зато вывод очевиден: мертвые люди предпочитают ставить столы к дальней стене. Представляется, как компания бородатых, облаченных в черные костюмы судейских, семенит вместе со столом, изо всех сил пытаясь удержать руки на заданных местах и увязать перемещение с оккультным анимическим магнетизмом, нежели с приложением собственных сил. В современном Гауссу мире такие явления могли казаться разумными, а вот мысль о том, что Евклид ошибался, – нет.

* * *

Гаусс повидал слишком много ученых, втянутых в изнурительные распри с недоучками, чтобы влезать в нечто подобное самому. Валлис, к примеру, чьи работы Гаусс ценил, оказался вовлечен в ожесточенную дискуссию с английским философом Томасом Гобб сом [Хоббз] о том, как лучше всего считать площадь круга. Гоббс и Валлис более двадцати лет публично обменивались оскорблениями, потратив уйму бесценного времени на сочинение памфлетов под названиями «Приметы абсурдной геометрии, деревенского наречия и др. у доктора Валлиса».

Философ, чьих последователей Гаусс боялся более всего, был Иммануил Кант, скончавшийся в 1804 году. Физически Кант был Тулуз-Лотреком философов: сутулый, едва ли пяти футов ростом, с сильно деформированной грудной клеткой. В 1740 году он поступил в университет Кёнингсберга на теологию, но обнаружил в себе влечение к математике и физике. Окончив университет, он принялся публиковать работы по философии и стал частным преподавателем и признанным лектором. Около 1770 года он взялся за работу, впоследствии ставшую его самой знаменитой книгой, – за «Критику чистого разума», изданную в 1781-м. Кант отмечал, что геометры его дней обращались в своих «доказательствах» к здравому смыслу и графическим изображениям, и считал, что от претензий на строгость следует отказаться, а вместо этого полагаться на интуицию. Гаусс придерживался противоположного мнения: строгость необходима, а большинство математиков – некомпетентны.

В «Критике чистого разума» Кант называл евклидово пространство «неизбежной необходимостью мысли». Гаусс не отметал идеи Канта прямо с порога. Он с ними сначала ознакомился, а потом их отмел. Более того, говорят, Гаусс, в попытке постичь Канта, прочел «Критику чистого разума» пять раз, а это, знаете ли, немалый труд для человека, освоившего русский и греческий с меньшим усилием, чем большинству из нас требуется для отыскания Χωριάτικη Σαλάτα1 в афинском меню. Внутренняя борьба Гаусса становится понятнее, если представить, с какой ясностью Кант формулировал мысли о различии между аналитическим и синтетическим суждениями:

Во всех суждениях, в которых мыслится отношение субъекта к предикату (я имею в виду только утвердительные суждения, так как вслед за ними применить сказанное к отрицательным суждениям нетрудно), это отношение может быть двояким. Или предикат В принадлежит субъекту А как нечто содержащееся (в скрытом виде) в этом понятии А, или же В целиком находится вне понятия А, хотя и связано с ним. В первом случае я называю суждение аналитическим, а во втором – синтетическим.

В наши дни математики и физики нимало не беспокоятся, что об их теориях скажут философы. Знаменитый американский физик Ричард Фейнман [Файнмен] на вопрос, что он думает о философии, дал емкий ответ, состоящий из трех букв: первая – «х», две остальные – характерное окончание «-ня». Но Гаусс воспринял работу Канта всерьез. Он писал, что различие между аналитической и синтетической мыслью, приведенное выше, «таково, что либо вязнет в тривиальности, либо ложно». Но мыслями этими – так же, как и своими теориями о неевклидовом пространстве, – он делился лишь с теми, кому доверял. Причуда истории, из-за которой вскинуто было немало бровей: Гаусс-то своих революционных работ 1815–1824 годов не публиковал – в отличие от двух других его современников.

* * *

23 ноября 1823 года Йоханн (Янош) Бойяи, сын старинного друга Карла Гаусса, Вольфганга Бойяи, написал отцу, что «создал новый, иной мир из ничего», имея в виду свое открытие неевклидова пространства. В тот же год в российском городе Казань Николай Иванович Лобачевский в своем неизданном учебнике геометрии осмыслил последствия нарушения пятого постулата. Лобачевский учился у Йоханна Бартельса, в те времена служившего профессором в Казани. И Вольфганг Бойяи, и Бартельс давно интересовались неевклидовым пространством и много обсуждали с Гауссом его соображения на этот счет.

Совпадение? Гений Гаусс открывает великую теорию и рад обсудить ее с друзьями, но отказывается ее публиковать. Вскоре после этого друзья и родственники этих друзей вдруг, откуда ни возьмись, выходят и заявляют, что они сделали точно такое же великое открытие. Это стечение обстоятельств породило как минимум одну песенку о Лобачевском – с обвинительным текстом: «Ворец идей, ты не своди очей с чужих затей…» Однако большинство историков в наши дни считает, что передался скорее дух, нежели конкретика трудов Гаусса, а Бойяи и Лобачевский не ведали о работе друг друга – во всяком случае, в свое время.

К сожалению, не ведал никто. Ключевых для науки высоколобых математиков никто не слушал. Лобачевский свою работу опубликовал, а толку? Она вышла в никому не известном русском журнале «Казанский вестник». А Бойяи похоронил свой труд в приложении к одной из отцовых книг под названием «Tentamen» («Опыт»). Четырнадцать с чем-то лет спустя Гаусс наткнулся на статью Лобачевского, а Вольфганг написал ему о работе сына, но Гаусс по-прежнему не собирался издавать свои труды – он не желал оказаться в эпицентре скандала. Написал Бойяи вежливое поздравительное письмо (отметив, что сам уже достиг сходных результатов) и великодушно выдвинул Лобачевского в члены-корреспонденты Королевского научного общества Гёттингена (и в 1842 году того немедленно избрали).

Янош Бойяи не обнародовал более ни единой математической работы. Лобачевский же стал успешным функционером, а впоследствии – и ректором Казанского университета. Бойяи и Лобачевский, быть может, так бы и растаяли вдали, если бы не связь с Гауссом. Как ни парадоксально, однако именно смерть Гаусса в итоге привела к неевклидовой революции.

Гаусс крайне педантично относился к хронике событий, связанных с его персоной. Он увлеченно собирал некоторые странные данные – например, продолжительности жизни умерших друзей в днях, или число шагов от обсерватории, в которой он трудился, до различных мест, которые ему нравилось навещать. Он и работу свою датировал пофазно. После его смерти ученики набросились на его записи и корреспонденцию. Там они обнаружили его труды, посвященные неевклидову пространству, а также статьи Бойяи и Лобачевского. В 1867 году их включили во второе издание влиятельного сборника Рихарда Бальцера «Elemente der Mathematik». Совсем скоро они стали стандартными опорными ссылками для тех, кто работал над новой геометрией.

В 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами упокоил раз и навсегда тему доказательства постулата параллельности: он доказал, что евклидова геометрия образует непротиворечивую математическую структуру, и так же ведут себя новооткрытые неевклидовы пространства. Непротиворечива ли евклидова геометрия? Мы еще увидим, что это пока ни доказано, ни опровергнуто.