СТЕПЕНИ И КОРНИ
Большинство из нас никогда не используют степени и корни в повседневной жизни, разве что при расчетах площадей и объемов (о чем мы поговорим немного позже). Однако если вы занимаетесь конструированием гоночных автомобилей или собираетесь слетать в космос, степени и корни понадобятся для расчета скоростей, ускорений, тормозных путей и потребления топлива.
Квадраты и квадратные корни
Мы уже встречались с квадратами чисел в таблице умножения. Квадраты обычно связаны с расчетом геометрических площадей, и обозначают их по-разному: 7 в квадрате — то же самое, что и 7 × 7. Это также можно записать как 72, иначе говоря, 7 в степени 2. Однако, как ни называй, все равно результат равен 49.
А теперь предположим, что у нас есть число 49 и нужно произвести обратное действие, то есть узнать, какое число, будучи умноженным само на себя, даст 49. Это называется квадратный корень из 49 и записывается как √49, или как 491/2, то есть 49 в степени ½. Но что бы вы ни предпочли, в результате все равно получится 7. (Кроме того, квадратным корнем из 49 может быть число –7, поскольку перемножение двух отрицательных чисел даст положительное число.)
Легче всего извлекать квадратные корни из квадратов целых чисел, таких как 1, 4, 9, 16 и 25, поскольку в этом случае получаются целые значения. С другими числами все куда сложнее. Например, 19 не является квадратом целого числа; тогда какой будет длина каждой стороны квадрата площадью 19 квадратных метров?
Ответ: √19, но сколько это? Мы знаем, что √16 = 4 и √25 = 5, следовательно, квадратный корень из 19 должен дать значение где-то между 4 и 5.
Вычисление корня с помощью карандаша и бумаги требует определенной умственной гимнастики, так что вполне простительно вооружиться калькулятором. Нажимаем клавиши <19 √> и получаем 4,3588989… Это десятичная, бесконечно тянущаяся дробь без повторяющихся сочетаний цифр. Такие числа называют иррациональными. Все квадратные корни, которые не являются целыми числами, иррациональны.
Другие степени и корни
Степени могут быть любыми. Помимо квадратов вы еще, скорее всего, столкнетесь только с кубами, например 63 = шесть в степени три = 6 × 6 × 6 = 216. Кубы используют в основном при вычислении объемов, в простейшем случае — объема кубического сосуда (все стенки которого — квадраты).
Процесс, обратный возведению в куб, называется извлечением кубического корня и обозначается так же, как извлечение корня квадратного, но рядом со значком корня ставится маленькая цифра 3, так, как здесь: 
Стало быть, если нам известно, что объем кубического сосуда — 216 кубических метров, то длина каждой его стороны равна кубическому корню из 216, то есть 6 метрам.
Если степень отрицательна, на число под степенью нужно делить. Например, 10−3 — десять в степени минус три. Это то же самое, что и
Отрицательные степени часто используют при работе с очень большими или крайне малыми числами, и об этом мы поговорим в следующем разделе.
Нормальная форма
Масса Земли примерно равна 6 000 000 000 000 000 000 000 000 кг.
Официальное название этого числа — шесть септильонов, хотя «шесть с двадцатью четырьмя нулями на конце» звучит понятнее. Можно выразить это не словами, а числами так:
Масса Земли составляет примерно 6 × 1024 кг
Предположим, нам нужно вычислить, сколько будет 6 × 103. Это то же самое, что и 6 × 1000, поэтому сдвинем 6 на три знака влево и получим 6000. Аналогично 6 × 1024 означает 6 с 24 нулями на конце.
Если вы хотите выразить вес точнее, вместо одной цифры, такой как 6, следует взять десятичную дробь с одним знаком перед запятой и умножить на степень десятки, вот так:
Масса Земли равна 5,9736 × 1024 кг
Это называют записью числа в нормальной форме. Хотя в десятичной дроби гораздо больше цифр, чем одна, множитель × 1024 остался прежним. Умножая на 1024, мы все так же сдвигаем цифры на 24 знака влево, заполняя пустоты нулями. Поскольку цифры 9736 уже занимают четыре знака, просто добавим 20 нулей и получим массу: 5 973 600 000 000 000 000 000 000 кг.
Нормальную форму можно также использовать для очень маленьких чисел.
Масса одного атома водорода равна 1,67 × 10–27 кг
На первый взгляд кажется, что масса атома водорода больше массы Земли. Но это не так. И все благодаря крошечному знаку «минус», из-за которого мы делим, а не умножаем. Поэтому × 10 −27 — это то же самое, что и ÷ 1027, а значит, нужно передвинуть все цифры на 27 знаков вправо.
Большинство калькуляторов используют нормальную форму, чтобы отображать числа, которые не помещаются на экране. Но вместо 1,67 × 10−27 калькулятор, скорее всего, покажет вам 1,67 E−27. («Е» обозначает «экспоненту», иначе говоря, степень.)
