Истинная вращательная симметрия пространства

Сет Ллойд

Профессор квантовомеханической инженерии Массачусетского технологического института; автор книги Programming the Universe («Программируя Вселенную»)

Нижеследующее глубокое, изящное и красивое объяснение истинной вращательной симметрии пространства дал ныне покойный Сидни Коулмен перед своими гарвардскими студентами-старшекурсниками. Это объяснение производится в виде физического опыта, который вы можете проделать сами. Однако при всей своей элегантности объяснение трудно выразить словами и физически трудно произвести как опыт. Возможно вам потребуется несколько раз потренироваться. Итак, укрепитесь духом и приготовьтесь: вам предстоит лично испытать, что такое истинная вращательная симметрия пространства!

По сути, законы физики основаны на разного рода симметриях, и одна из важнейших – вращательная симметрия пространства. Максимальной вращательной симметрией среди всех объектов обладает сфера. Так что возьмем шар – скажем, футбольный или баскетбольный мяч, причем на каком-то участке его поверхности должна иметься надпись, значок, логотип или что-нибудь в этом роде. Раскрутим шар вокруг любой оси. Вращательная симметрия пространства подразумевает, что форма шара инвариантна по отношению к вращению. Более того, если на поверхности сферы есть метка и вы поворачиваете сферу на 360°, в результате эта метка вернется в исходное положение. Можете попробовать сами. Держите мяч обеими руками и поверните его на 360°, пока метка не вернется на место.

Вы скажете, что это не так уж трудно. Но дело в том, что пока вы еще не продемонстрировали истинную вращательную симметрию пространства. Для этого нужны более тонкие ухищрения. Пусть мяч покоится у вас на одной руке, в чуть вогнутой ладони, обращенной вверх. Ваша цель – вращать сферу так, чтобы ладонь оставалась обращенной кверху. Это сложнее, но Майкл Джордан умеет проделывать такую штуку, сумеете и вы.

По стадиям:

Держа ладонь обращенной кверху, вращайте мяч «внутрь», в сторону вашего тела. После поворота на 90° (четверть полного оборота шара вокруг собственной оси) мяч уютно угнездится у вас под мышкой.

Продолжайте вращение в том же направлении, по-прежнему держа кисть руки ладонью вверх. После поворота на 180° (половина полного оборота) ваша рука вынуждена протянуться назад, чтобы мяч по-прежнему оставался у вас на ладони.

Вращение продолжается. При 270° (это три четверти полного оборота) ваша рука нелепо вывернута, и мяч едва удерживается на ладони.

В этот момент вам может показаться, что довернуть мяч на последние 90° до полного оборота не удастся. Но если вы все-таки попытаетесь это сделать, то обнаружите, что можете продолжать вращение мяча так, чтобы ладонь по-прежнему оставалась обращенной кверху: для этого вам придется поднять руку, согнув ее в локте так, чтобы участок от кисти до локтя был обращен вперед. Мяч совершил полный оборот – на 360°. Однако если вы сделали все правильно, то обнаружите, что вам пришлось для этого согнуть руку в самом мучительном и неудобном положении.

Чтобы уменьшить мучения, продолжайте вращать мяч – совершите оборот еще на 90° (четверть полного оборота), не забывая, что ладонь по-прежнему должна быть обращена кверху. Теперь мяч окажется у вас над головой, и болезненное напряжение в плече несколько ослабнет.

Наконец, подобно официанту, являющему клиентам поднос с главным блюдом, продолжайте движение, совершая остальные три четверти полного оборота: в итоге мяч вместе с вашей рукой окажутся в первоначальном положении (какое облегчение!).

Если вы сумели проделать все стадии трюка правильно и без травм, вы обнаружите, что траектория мяча походит на изображенную в пространстве восьмерку или знак бесконечности (f) и что траектория эта совершила не один полный поворот, а два. Таким образом, истинная симметрия пространства соответствует повороту не на 360°, а на 720°.

Хотя это упражнение может показаться пустой забавой или, в лучшем случае, мучительным элементом баскетбольной тренировки, тот факт, что истинная симметрия пространства подразумевает не однократное, а двукратное вращение, является весьма значимым для понимания природы физического мира на его наиболее микроскопическом уровне. Иными словами, из этого факта следует, что «шарики» (например, электроны), «привязанные» к некоей отдаленной точке посредством упругих деформируемых «струн» (скажем, линий магнитного поля), должны совершить двойной оборот, чтобы вернуться к своей исходной конфигурации. А если копнуть еще глубже, обнаружится, что такая природа сферической симметрии, требующая двойного вращения, приводит к тому, что два электрона, вращающиеся вокруг своей оси в одном и том же направлении, не могут находиться в одном и том же месте в один и тот же момент времени. В свою очередь, этот принцип исключительности лежит в основе стабильности материи. Если бы истинная симметрия пространства требовала лишь однократного вращения, все атомы вашего тела в кратчайшую долю секунды схлопнулись бы в ничто. К счастью, истинная симметрия пространства требует двойного оборота, и ваши атомы стабильны. Пускай этот факт утешает вас, когда вы будете прикладывать лед к измученному плечу.

Закон Мура

Родни Брукс

Роботолог, почетный профессор Массачусетского технологического института; учредитель, председатель и технический директор компании Heartland Robotics; автор книги Flesh and Mashines: How Robots Will Change Us («Плоть и машины: как роботы изменят нас»)

Впервые закон Мура явился миру в четырехстраничной статейке 1965 года, написанной Гордоном Муром, в ту пору работавшим в Fairchild Semiconductor, а позже ставшим одним из основателей компании Intel. Его закон предсказывал, что число компонентов единичной интегральной схемы в ближайшее десятилетие увеличится с их тогдашнего количества, составлявшего примерно 2⁶, до приблизительно 2¹⁶: иными словами, число компонентов будет ежегодно удваиваться. В основу его предсказания легли четыре эмпирические точки и точка нулевая: они отлично ложились на прямую, соответствующую логарифму количества компонентов единичной микросхемы в зависимости от календарного года. Позже Intel внесла поправку в закон Мура, заявив, что «количество транзисторов на интегральной схеме удваивается примерно каждые два года».

Закон Мура справедливо считается одной из основных движущих сил революции, которая произошла в информационных технологиях за последние полвека. Такое частое удвоение числа транзисторов позволило нашим компьютерам становиться вдвое мощнее, сохраняя прежнюю стоимость; при этом они могли хранить или отображать вдвое больше данных, быстродействие машин также удваивалось, они становились компактнее, дешевле и, вообще говоря, вдвое лучше, причем это удвоение шло словно бы по расписанию.

Но почему такое происходит? Ведь закону Мура не подчиняются ни автомобили, ни батарейки, ни одежда, ни пищевая промышленность, ни уровень политических дискуссий. Всё, кроме последнего, зримо усовершенствовалось благодаря влиянию закона Мура, однако ничто из перечисленного не показало столь неутомимого экспоненциального улучшения.

Наиболее элегантное объяснение того, почему выполнение закона Мура оказалось возможным, состоит в том, что цифровая логика вся основана, по сути, на абстракциях, более того – на однобитной абстракции, сводящейся к ответу типа «да/нет», а такие абстракции независимы от своих физических носителей.

В мире, который целиком состоял бы из куч красного песка и куч зеленого песка, размер этих куч не имел бы особого значения. Куча либо красная, либо зеленая, и если убрать половину кучи, она все равно останется кучей красного или зеленого песка. Если же потом убрать половину от оставшейся половины и повторять эту процедуру вновь и вновь, уровень абстракции не изменится. А неоднократное уполовинивание, происходящее с постоянной скоростью, как раз и представляет собой экспоненциальное изменение.

Вот почему закон Мура соблюдается для цифровых технологий и не соблюдается для технологий, требующих физической силы или физического носителя, а также тех, где требуются затраты определенного количества энергии. Цифровые же технологии используют физику лишь для поддержки своих абстракций – и больше ни для чего.

Впрочем, тут есть и некоторые оговорки.

1. В своей статье Мур выражал сомнение, останется ли его предсказание верным и для линейных, а не цифровых, интегральных схем, указывая, что первые по своей природе «требуют хранения энергии в некотором объеме» и этот объем должен быть сравнительно большим.

2. Когда вы путем последовательного деления дойдете до кучи песка, содержащей лишь единственную песчинку, придется изменить технологию и задействовать какое-то другое физическое свойство, чтобы дать определение вашей абстракции. За последние 5 десятков лет такие изменения технологии происходили не раз, однако закон Мура продолжал выполняться.

3. Муровская идея не объясняет социологию применения его закона или того, что определяет константу времени удвоения, однако она объясняет, почему в этой сфере вообще возможно экспоненциальное изменение.