ПРИЛОЖЕНИЕ 2
АНАЛИЗ ТОЖДЕСТВА ЭЙЛЕРА
eiπ + 1 = 0
Тождество Эйлера примечательно тем, что оно объединяет пять фундаментальных математических констант: 0, 1, π, e и i. Наше краткое объяснение поможет пролить свет на то, что значит возвести e в мнимую степень, что, в свою очередь, позволит показать, почему тождество верно. Но для этого необходимо иметь общее представление о некоторых специальных математических понятиях, таких как тригонометрические функции, радианы и мнимые числа.
Начнем с ряда Тейлора, который позволяет представить любую функцию в виде суммы бесконечного числа членов ряда. Если вы хотите больше узнать о построении ряда Тейлора, вам придется изучить этот вопрос самостоятельно, но для наших целей достаточно того, что функцию ex можно представить в следующем виде:
Здесь x может иметь любое значение, поэтому мы можем подставить ix вместо x, где i2 = −1. Таким образом, мы получим следующий ряд:
Далее сгруппируем члены ряда в зависимости от того, есть ли в них i или нет:
В качестве на первый взгляд неуместного отступления можно также найти пару рядов Тейлора, представляющих функции синуса и косинуса, что дает следующий результат:
Следовательно, мы можем записать eix через sin x и cos x:
eix = cos x + i sin x
В формуле Эйлера присутствует eiπ, и теперь мы можем подставить π вместо x:
eiπ = cos π + i sin π
В данном контексте π — это угловой размер в радианах, так что 360° = 2π радиан. Стало быть, cos π = −1, а sin π = 0. Это означает, что:
eiπ = –1
Следовательно,
eiπ + 1 = 0
Профессор Кит Девлин, британский математик из Стэнфордского университета и автор блога Devlin’s Angle («Угол Девлина»), придерживается такого мнения: «Как сонет Шекспира схватывает саму суть любви или картина показывает внутреннюю красоту человека, так тождество Эйлера проникает в самые глубины существования».
