Вернемся к обсуждению паритета пут/колл. До настоящего времени мы использовали текущую цену актива. Теперь заменим ее на будущую цену (форвард) актива и в итоге получим формулу

где колл – стоимость опциона колл;

пут – стоимость опциона пут;

K – цена исполнения для опционов колл и пут;

Forward – стоимость форварда на базовый актив, которая в случае с акциями равна текущей цене актива ± стоимость фондирования ± дивиденды, а в случае валют (FX) равна текущей цене актива ± форвардный дифференциал.

Проверим эту формулу, используя в качестве примера стоимость опционов 1,3000 EUR/USD колл и пут на дату истечения.

На дату истечения курс EUR/USD может быть в одном из трех положений по отношению к уровню 1,3000 (K): выше, ниже или на уровне 1,3000:

• курс EUR/USD – 1,3250 (выше).

Тогда стоимость опциона 1,3000 колл будет равна его внутренней стоимости в 2,5 цента, а опцион 1,3000 пут не будет исполнен. Таким образом, 2,5 цента (стоимость опциона колл) минус ноль (стоимость опциона пут) должно равняться F минус K (1,3250 − 1,3000), что соответствует действительности;

• курс EUR/USD – 1,2850 (ниже).

Тогда стоимость опциона колл равна нулю, в то время как стоимость опциона пут равна его внутренней стоимости в 1,5 цента. Таким образом, колл (ноль) минус пут (1,5 цента) должно равняться 1,2850 минус 1,3000. Еще раз подтверждается правильность формулы арбитража;

• курс EUR/USD к концу срока составляет 1,3000, в левой части уравнения имеем ноль минус ноль, что равняется правой части, где мы имеем 1,3000 минус 1,3000.

• Во всех этих расчетах мы покупаем и продаем форвардный контракт на сумму, равную номиналу опционов, а не коэффициенту хеджирования.

• Формула паритета опционов пут/Колл работает не только на дату истечения опциона, но также и в любой момент времени до даты истечения.

В предыдущих главах мы определили фундаментальное арбитражное соотношение между ценами опционов колл и пут. Паритет опционов пут/Колл позволяет трейдеру легко комбинировать опционы и форварды с тем, чтобы создавать эквивалентные позиции, называемые также «синтетическими позициями».

Исходя из этой взаимосвязи, мы утверждали, что временные стоимости (часть премии) опционов колл и пут с одинаковыми ценами исполнения должны быть равны. Если они не равны, существует возможность для арбитража. Вот пример: курс spot USD/CHF находится на уровне 1,2500, стоимость двухмесячного опциона 1,2600 USD пут составляет 150 CHF pips. Поскольку внутренняя стоимость опциона пут составляет 100 pips, временная стоимость опциона должна равняться 50 pips. Учитывая, что в условиях отсутствия форвардного дифференциала между валютами временные стоимости опциона колл «без денег» и пут «при деньгах» равны, если бы опцион колл стоил меньше 50 pips, появилась бы возможность для арбитража.

Можно было бы продать опцион 1,2600 пут, а против этой короткой позиции продать форвард USD/CHF и одновременно купить опцион 1,2600 колл. Комбинация длинного опциона 1,2600 колл и короткого форварда USD/CHF эквивалентна длинному опциону 1,2600 пут, т. е. вы продали 1,2600 пут и купили синтетический 1,2600 пут. Разница между временной стоимостью проданного пута (безарбитражная) и купленного синтетического пута оказалась бы арбитражным (безрисковым) доходом, т. к. колл продавался ниже безарбитражной цены.

Можно использовать множество других комбинаций, чтобы создать синтетические позиции.

Проданный FORWARD + Проданный ПУТ = Синтетический Проданный Колл

Проданный FORWARD + Купленный колл = Синтетический Купленный ПУТ

Купленный FORWARD + Проданный колл = Синтетический Проданный ПУТ

Важно помнить, что:

• формула предназначена для atm-опционов (50-дельтовых);

• цены исполнения опционов (страйки) находятся на уровне форвардов.

Рассмотрим влияние процентных ставок на цены опционов. На рынке Forex форвардный курс определяет уровень страйка (цены исполнения), при которой опцион является «при своих» (atm). Когда мы использовали паритет опционов пут/колл, не принимая во внимание процентные ставки, мы говорили, что:

Купленный колл (Strike = Spot) = Купленный Пут (Strike = Spot) + Купленный Spot,

т. е. Купленный Spot = Купленный колл (Strike = Spot) + Проданный Пут (Strike = Spot).

Введя в расчеты разницу в процентных ставках, получим следующую формулу:

Купленный Forward = Купленный колл (Strike = Forward) + Проданный Пут (Strike = Forward),

где Forward = Spot ± форвардный дифференциал (известный также как свопы или своп-пункты).

Размер свопов не влияет на размер премии опционов «при своих», но он изменяет цену исполнения. Любой валютный опцион является одновременно колл на одну и пут на другую валюту. В данном случае колл на валюту с более низкой процентной ставкой одновременно является пут на валюту с более высокой процентной ставкой.

Если двухмесячный USD/CHF форвард (–30 pips), это значит, что ставки в США выше, чем в Швейцарии. Соответственно, чтобы выдерживался паритет и отсутствовал арбитраж, страйк колл CHF/пут USD должен быть на 30 базисных пунктов ниже.

При введении в расчет форвардного дифференциала форвардная цена исполнения приближается/удаляется от текущего уровня spot с прошествием времени и изменением форвардной кривой.

Представьте себе 1-летний опцион USD/JPY. Процентные ставки по долларам США выше ставок по японской иене, т. е. доллар котируется с дисконтом. Это, в свою очередь, означает, что форвардный курс USD/JPY будет ниже, чем курс spot.

Таким образом, форвардный дифференциал (разница в процентных ставках по двум валютам) является отрицательным. Форвардный дилер прокотирует вам 1-летний форвард «−500/−499» (поскольку –500 «дешевле», чем −499 – это и есть бид маркетмейкера). Таким образом, если курс spot котируется по 110,00, 1-летний опцион «при своих» на форвард будет иметь цену исполнения 105,00.

Предположим, что спот шесть месяцев находится на уровне 110,00. Каким останется форвардный дифференциал до конца срока? −500 ÷ 2 = –250. Это значит, форвардная ставка за прошедшие шесть месяцев поднялась на 250 базисных пунктов. Сейчас бы шестимесячный atm-опцион имел цену исполнения 107,50. Следовательно, 105,00 колл оказался 250 базисных пунктов «в деньгах»!

Эта закономерность имеет множество применений. Например, если вы покупаете опцион USD колл с дельтой 40, ваша цена исполнения будет находиться на текущем уровне курса spot, тогда как цена исполнения опциона пут с дельтой 40 будет почти на 10 фигур ниже. Например, опцион USD колл с дельтой 40 будет иметь цену исполнения 110,00, в то время как опцион USD пут с дельтой 40 будет иметь цену исполнения 100,00.

Почему? Потому что вам следует оценивать страйки опциона по отношению к форвардному курсу! Другими словами, цены исполнения опционов колл и пут должны быть равноудалены от уровня 105,00, а не от 110,00! Если спот продолжает оставаться на 110,00 с прошествием времени колл с ценой исполнения 110,00 будет становиться все ближе к уровню atm, а пут с ценой исполнения 100,00 будет все больше otm.

Это похоже на возможность получения прибыли, т. к. опцион 110,00 USD колл будет иметь большие шансы оказаться «при деньгах»!

Есть еще один интересный момент, связанный с предыдущим наблюдением. Straddles тем дешевле, чем ближе к текущему уровню форварда находится их цена исполнения. Это происходит потому, что atm straddle не имеет внутренней стоимости, а только временную стоимость.

Например, вы покупаете 1-летний 105,00 atm USD/JPY straddle. В течение шести месяцев курс spot колеблется в диапазоне 107,50–115,00. Через 6 месяцев вы решаете продать его. В этот момент курс spot находится на уровне 107,50, и вы думаете, что он будет 108,50 в конце дня. Вы хотите знать, когда лучше закрыть свою позицию: сейчас или в конце дня.

Поскольку в течение 6 месяцев форвард стал равен половине 1-летнего форварда, он должен быть на 250 Yen pips ниже. Это означает, что цена исполнения 105,00 делает опцион «при своих», если курс spot котируется на уровне 107,50! Таким образом, при курсе spot на уровне 107,50 ваш straddle стоит минимум и вам лучше подождать, пока курс spot уйдет выше/ниже отметки 107,50, и чем дальше, тем лучше!

Аналогичная ситуация при рассмотрении strangle: чем ближе арифметический центр strangle [(цена исполнения колл + цена исполнения пут)/2] к текущему уровню форварда, тем ниже его цена.

Вы покупаете 1-летний 102,00–110,00 strangle. Поскольку форвардный курс равен 105,00 это означает, что дельты опционов 102,00 USD пут и 110,00 USD колл не равны. Они были бы равны, если бы форвардный курс совпадал со средним арифметическим значением цен исполнения опционов, составляющих strangle. Среднее значение цен исполнения опционов равно 106,00, т. е. (102,00 + 110,00)/2.

В течение шести месяцев курс spot колеблется в диапазоне 107,50–115,00. Через 6 месяцев вы решаете продать его. В этот момент курс spot находится на уровне 108,50, и вы думаете, что он будет 106,50 в конце дня. Вы хотите знать, когда лучше закрыть позицию.

Поскольку в течение 6 месяцев форвард стал равен половине 1-летнего форварда, он должен быть на 250 Yen pips ниже. Это означает, что когда курс spot котируется на уровне 108,50, форвардный курс равен 106,00, т. е. совпадает с «центром» вашего strangle. Поскольку именно в этой точке цена стратегии минимальна, вам лучше подождать, пока курс spot уйдет выше или ниже отметки 108,50, и чем дальше, тем лучше!

Рассмотрим влияние разницы процентных ставок и их изменений на премию валютного опциона.

Вернемся к предыдущей ситуации. На этот раз купим опцион 105,00 USD колл. В этот же день форвардный дифференциал по USD/JPY достигает значения (–600) Yen pips. Это означает, что если вы покупаете atm-опцион USD колл, его цена исполнения равна 104,00 (110,00 − 6,00). Поскольку текущая цена исполнения опциона «при своих» равна 104,00, а вы купили 105,00 USD колл, ваш опцион становится опционом «без денег» (его цена падает)!

Обобщим вышесказанное:

1. При условии, что курс spot останется на том же уровне, снижение премии по опционам USD колл и увеличение премии опционов USD пут вызываются:

• ростом процентной ставки по долларам США по сравнению со ставкой по второй валюте; или

• падением процентной ставки по второй валюте по сравнению со ставкой по долларам США.

2. При условии, что курс spot останется на том же уровне:

• падение процентной ставки по долларам («иностранной валюте») по сравнению со ставкой по другой валюте; или

• рост процентной ставки по другой валюте («домашней валюте») по сравнению со ставкой по долларам США – приведет к снижению премии по опционам USD пут и увеличению премии по опционам USD колл.

3. И наконец, амортизация премии опциона USD колл, который «глубоко в деньгах», будет меньше, чем у опциона пут с такой же ценой исполнения, поскольку будет включать процентный расход.

Добавим к нашим знаниям то, что часто упускают из виду. Определение безрисковой ставки, используемой в расчетах стоимости опциона, как ставки процента, не зависящей ни от каких событий, неточно! (У Блэка – Шолца используется «ставка с 0 бета».) Поскольку в природе нет ставки, независимой от происходящих событий, предполагается, что в каждой стране такой ставкой является ставка по гособлигациям или краткосрочным депозитам.

На практике ставки по краткосрочным депозитам (например, ЛИБОР) – это средняя ставка депозитов в крупнейших банках страны. Но эти банки редко имеют равный кредитный рейтинг. Так, средний рейтинг японских банков в 1990-е гг. был несравним с европейскими банками. Безрисковая ставка в Японии предполагает существенно более высокий кредитный риск, чем в Европе. Следовательно, цены опционов не отражают эти реалии.

Более того, если сделки совершают два контрагента с разными кредитными рейтингами, теоретически эта разница должна быть заложена в цену опциона. Например, контрагент с низким рейтингом продает двухмесячный пут с дельтой 100 за 10 долларов. Вы платите премию сегодня, а через два месяца исполняете опцион и получаете 9,99 доллара (удержав некоторую комиссию). Эта сделка очень похожа на ссуду. Причем вы предоставили деньги под ЛИБОР или в лучшем случае под ставку, доступную вам для рефинансирования. А обе эти ставки ниже ставки финансирования контрагента, у которого кредитный риск выше вашего.

Ро измеряет риск, которому подвергается позиция при изменении разницы процентных ставок, т. е. чувствительность цены опциона к изменению краткосрочных процентных ставок. Для опционов в большинстве валют можно сказать, что влияние процентной ставки тривиально. Однако в случае с валютами новых развивающихся стран Ро играет исключительно важную роль. В действительности вы часто увидите, что в терминах волатильности опционы пут на валюты развивающихся стран стоят дороже, чем опционы колл с теми же ценами исполнения!

Не очень приятно в конце главы противоречить тому, что было доказано в ее начале! Читатель правильно заметил, что, если бы это было так, он бы имел возможность для арбитража. и он оказался бы прав! В итоге он купил бы опцион колл на валюту какой-нибудь развивающейся страны (скажем, российский рубль). Чтобы захеджироваться, он продал бы ее на наличном рынке. Как мы знаем, чтобы продать ее, он должен занять ее. Поскольку годовая процентная ставка по рублям недавно составляла около 25 %, издержки финансирования позиции были бы огромными.

Хотя эти разницы должны учитываться в модели ценообразования опционов, похоже, они все-таки несколько недооцениваются. Кроме того, такие значительные ежедневные издержки на финансирование позиции несколько раздражают. Вот почему модель арбитража может не работать на практике: трейдеры готовы переплатить, чтобы избежать неудобств.

1) 1-месячный форвард USD/CHF котируется –30 pips (ставки в США выше, чем в Швейцарии), курс spot находится на уровне 1,2730. Если вы покупаете форвардный atm-опцион:

а) Какова будет его цена исполнения?

б) Вы купили этот опцион. Форвард овернайт теряет 1 пункт в день (0,003: 30 дней). При каком уровне spot опцион будет «при своих» (и самым дешевым) через неделю?

2) 3-месячный форвард USD/JPY котируется –120 пунктов (−1,2 фигуры). Вы собираетесь купить 105,00–108,00 strangle. При каком уровне spot цена этого strangle будет минимальной?

3) Курс USD/CHF равен 1,2700. 3-месячный форвард котируется –90 pips (ставки по долларам выше).

а) Что дороже: форвардный atm -опцион USD колл или форвардный atm-опцион USD пут?

б) Что дороже: spot atm-опцион USD колл или spot atm-опцион USD пут?

в) Вы покупаете 3-месячный опцион 1,2800 USD колл. Опцион пут с какой ценой исполнения надо продать, чтобы получить такую же дельту?

г) Какой из опционов в предыдущем вопросе дороже: USD колл или пут?

1) а) 1,2700.

б) 1,2723 (30 – 7).

2) 107,70, середина strangle – это 106,50 [(105,00 + 108,00): 2]. Это тот уровень форварда, где strangle будет стоить дешевле всего. Чтобы определить уровень spot, при котором опцион стоит дешевле всего, необходимо принимать во внимание форвардный курс. Поскольку это –120 пунктов, вам надо прибавить их к середине strangle, чтобы получить курс spot (106,50 + 1,20 = 107,70).

3) а) Они будут стоить одинаково. Эффект форвардного дифференциала проявляется в том, что изменится цена исполнения, но не премия.

б) Если страйк опционов зафиксирован на уровне спота (1,2700), а не форварда, USD пут дороже – по отношению к форвардной ставке (1,2610) именно он находится «в деньгах».

в) 1,2420;

3-месячный форвардный курс равен 1,2700 − 0,0090 = 1,2610. Чтобы найти цену исполнения для равноудаленного опциона пут, надо рассчитать разницу между ценой исполнения опциона колл и форвардным курсом и вычесть эту разницу из форвардного курса:

1,2610 − (1,2800 − 1,2610) = 1,2420.

г) Они будут стоить одинаково, поскольку рассчитаны по форвардному курсу.

Чтобы ответить на этот вопрос, надо рассмотреть факторы, принимаемые во внимание при определении цены опциона: время до момента истечения опциона, цена исполнения, текущий уровень цены базового актива, волатильность рынка, процентная ставка по безрисковым активам, ставка дивиденда.

Время до момента истечения опциона. Классическое объяснение этого фактора: чем длиннее срок опциона, тем больше шансов, что он принесет прибыль на момент истечения. Многим это объяснение не кажется логичным, т. к. шанс, что опцион окажется «без денег», также велик. Но владелец может продать опцион до истечения срока с прибылью во время срока его жизни. Таким образом, чем дольше срок жизни опциона, тем выше шансы, что он принесет прибыль в какой-то момент.

Отношение цены актива к цене исполнения отражает вероятность того, что к концу своего срока опцион окажется «при деньгах». Можно предположить, что, если опцион «при деньгах», у него выше шансы быть исполненным, чем у опциона «без денег».

Волатильность. Легче понять место волатильности в ценовой модели, если не думать о сигме и фактической рыночной волатильности. Следует только помнить, что это своеобразный товар, который можно покупать и продавать в течение жизни опциона.

Объяснение аналогично времени до истечения опциона.

Процентная ставка по безрисковым активам и рисковая ставка (дивиденды). Объяснения влияния на премию безрисковой и рисковой ставок в опционах на разные базовые активы отличаются. В случае валютных опционов, на наш взгляд, безрисковую процентную ставку трудно понять без понимания влияния форвардной кривой.

Рассмотрим опцион колл, где иностранной валютой является доллар, а домашней – иена (USD/JPY) (курс показывает, сколько иен можно получить за 1 доллар). Будущий курс, который является отношением будущего иены к будущему доллару, при увеличении домашней безрисковой процентной ставки (иены) будет увеличиваться (увеличение числителя), а при увеличении процентной ставки доллара (foreign rate) будет уменьшаться (увеличение знаменателя). Изменения будущего курса повлекут изменение цены нашего колл: повышение курса приведет к увеличению премии, т. к. он будет больше «в деньгах».

Премия колл будет увеличиваться при повышении ставки домашней валюты (domestic rate) и уменьшаться при увеличении ставки иностранной валюты (foreign rate).

Это легко продемонстрировать: предположим, спот некоего актива сегодня 100, годовая стоимость (ставка) финансирования позиции в активе 5 %. Если вы купите годовой atm колл USD, то его страйк будет 105 (поскольку страйк – это форвардная цена). Завтра ставка финансирования возрастает до 6 %. Понятно, что, если бы вы купили atm колл сегодня, его страйк был бы 106. Следовательно, купленный вчера колл уже на 100 базисных пунктов в деньгах.

Поскольку премия пут равна разнице страйка и будущего курса, то при увеличении ставки домашней валюты премия пут будет уменьшаться, а при повышении ставки иностранной валюты будет увеличиваться, т. е. поведение премии пут в точности противоположно поведению колл.

Теперь, когда мы знаем все факторы, включаемые в модель ценообразования опционов, можно ответить на вопрос: Почему дилеры по опционам на многие базовые активы используют волатильность в качестве единицы цены? Рассмотрим, как дилеры торгуют опционами друг с другом.

Во-первых, когда два дилера заключают сделку, предполагается, что опцион будет обменен вместе с хеджем по текущей цене базового актива, т. е. после обмена покупатель и продавец будут иметь в результате дельта-нейтральные позиции.

Во-вторых, все дилеры используют одни и те же ценовые модели и получают абсолютно одинаковые цены на одинаковые опционы, если они используют одинаковые ценовые параметры. (На ликвидных рынках цена базового актива известна в любой момент времени.)

В-третьих, и это самое важное, если вы знаете заранее, что будут зафиксированы цена исполнения, цена базового актива (вы обменяете хедж по этому курсу) и разница процентных ставок, то единственный параметр цены, который будет обсуждаться, – это волатильность. Как только вы придете к соглашению по этому параметру и включите все остальные компоненты в стандартную опционную модель, вы получите цену опциона, деноминированную в долларах (или другой валюте). Другими словами, предполагая, что все остальные компоненты зафиксированы, вы согласовываете только волатильность, вот почему проще торговать в терминах волатильности.

К сожалению, традиция котировать в волатильностях существует лишь на нескольких ликвидных рынках, таких, как межбанковский рынок валютных опционов, где все дилеры рассматривают в качестве единицы цены волатильность (а не премию!), потому что после хеджирования опциона базовым активом единственным незафиксированным компонентом цены остается волатильность. На менее ликвидных рынках и на биржах опционы котируются в денежном выражении. Однако даже там, оценивая опцион для себя, дилер все равно в первую очередь устанавливает нужные ему бид и оферту в волатильностях, а затем котирует в эквивалентном волатильности денежном выражении. Если сделка происходит, он хеджирует опцион базовым активом, превращая портфель в дельта-нейтральный, точно так же, как и дилер опционов на ликвидный актив.

Примеры, поясняющие этот материал, приведены в следующей главе.