5

Почему же E = mc²

В предыдущей главе мы продемонстрировали, что объединение пространства и времени в одну концепцию пространственно-временного континуума оказалось хорошей идеей. Основная мысль всех наших исследований состояла в том, что расстояние в пространстве-времени — инвариантная величина, а значит, во всей Вселенной существует консенсус в отношении длины пути, пройденного в пространстве-времени. Эту величину можно было бы даже рассматривать как определяющую характеристику пространства-времени. Нам удалось заново открыть теорию Эйнштейна, но только при условии, что мы будем трактовать предельную космическую скорость c как скорость света. Мы еще не доказали, что c имеет отношение к скорости света, но в этой главе проанализируем значение c гораздо глубже. В определенном смысле мы уже начали раскрывать тайну скорости света. Поскольку эта величина присутствует в формуле E = mc², может показаться, что сам свет — важный элемент структуры Вселенной. Но в контексте пространства-времени это не так. Демократия восстановлена в том смысле, что в пространстве-времени все может перемещаться с одной и той же скоростью c, в том числе вы, планета Земля, Солнце и далекие галактики. Просто свет использует всю квоту скорости в пространстве-времени на перемещение в пространстве и потому движется в пространстве с предельной космической скоростью. Значит, мнимая уникальность света — всего лишь следствие склонности человека воспринимать время и пространство как разные вещи. В действительности существует причина, по которой свет вынужден использовать свою квоту скорости на движение в пространстве, и эта причина непосредственно связана с нашей целью — понять, почему E = mc².

E = mc² — это уравнение. Мы изо всех сил старались обратить внимание читателей на то, что для физика уравнения — весьма удобный и эффективный инструмент описания взаимосвязей между различными объектами. В случае E = mc² в качестве таких объектов выступают энергия (E), масса (m) и скорость света (c). В более общем смысле элементы уравнения могут представлять либо реальные физические объекты, такие как волны или электроны, либо более абстрактные понятия, такие как энергия, масса или расстояние в пространстве-времени. Как мы уже видели в предыдущих главах, физики весьма требовательно относятся к фундаментальным уравнениям в том смысле, что, по их мнению, их должны принять все без исключения во Вселенной, независимо от местоположения, скорости и направления движения. Это вполне обоснованное требование, хотя в какой-то момент в будущем мы можем обнаружить, что придерживаться его невозможно. Такой поворот событий поверг бы в шок любого современного физика, поскольку эта идея оказалась на удивление плодотворной с момента рождения современной науки в XVII столетии.

Хороший ученый всегда должен осознавать тот факт, что природа может без колебаний повергнуть нас в шок, а реальность такова, какова есть. Но пока все, что мы можем сказать, это что мечта остается неизменной. Мы уже исследовали идею всеобщего согласия, представив ее достаточно просто: законы физики должны быть сформулированы с использованием инвариантных величин. Все известные нам фундаментальные физические уравнения соответствуют этому требованию, поскольку отображают взаимосвязи между объектами в пространстве-времени. Что именно это означает? Что представляет собой объект, существующий в пространстве-времени? Можно предположить, что все сущее находится в пространстве-времени, поэтому, когда нам необходимо составить уравнение, например, описывающее взаимодействие между объектом и окружающей средой, мы должны найти способ выразить это в математической форме с помощью инвариантных величин. Только так можно достичь всеобщего согласия.

Хорошим примером может послужить длина куска веревки. Исходя из того, что нам уже известно, можно прийти к выводу, что хотя кусок веревки — это реальный объект, нам следует избегать написания уравнения, отображающего только его длину в пространстве. Пожалуй, нам нужно быть смелее и говорить о длине куска веревки в пространстве-времени, как того требует теория пространственно-временного континуума. Безусловно, физикам, решающим сугубо земные задачи, удобно использовать уравнения, отображающие взаимоотношения между длинами в пространстве и другими вещами подобного рода (инженеры считают такой подход весьма полезным). Уравнение, в котором используется только длина в пространстве или время, измеряемое с помощью часов, вполне корректно рассматривать как допустимое приближение, если речь идет об объектах, движущихся очень медленно по сравнению с предельной космической скоростью, что во многих случаях (хотя и не всегда) верно в контексте решения повседневных инженерных задач. Пример, доказывающий, что это не всегда так, — ускоритель частиц, в котором субатомные частицы движутся по кругу со скоростью, близкой к скорости света, и в результате живут дольше своих покоящихся двойников. Если бы следствия теории Эйнштейна не принимались во внимание, ускорители частиц просто не работали бы должным образом. Фундаментальная физика сводится к поиску фундаментальных уравнений, а это подразумевает необходимость работать исключительно с математическими представлениями объектов, имеющими универсальное значение в пространственно-временном континууме. Прежнее представление о пространстве и времени как о двух отдельных концепциях приводит к формированию картины мира, напоминающей попытку смотреть спектакль, наблюдая только за тенями, оставленными на сцене светом прожекторов. На самом деле в спектакле играют трехмерные актеры, которые передвигаются по сцене, а тени — всего лишь двумерная проекция спектакля. После открытия концепции пространства-времени мы наконец можем оторвать взгляд от этих теней.

Все эти разговоры об объектах в пространстве-времени могут показаться достаточно абстрактными, но в них есть свой смысл. До сих пор мы сталкивались только с одной математической моделью объекта, имеющей универсальное значение в пространстве-времени, — расстоянием между двумя событиями в пространстве-времени. Но есть и другие.

Прежде чем разбираться с объектом нового типа, расположенным в пространстве-времени, давайте вернемся на один шаг и представим себе его аналог в трех измерениях, соответствующих нашему повседневному опыту. С учетом уже прочитанного в этой книге для вас не должен стать неожиданностью тот факт, что любая разумная попытка описать окружающий мир использует концепцию расстояния между двумя точками. Так вот, расстояние — это особый объект, который характеризуется одним числом. Например, расстояние от Манчестера до Лондона — 296 километров, а от вашей ступни до макушки головы (которое принято называть ростом) — примерно 176 сантиметров. Слово, указываемое после числа (сантиметры или километры), просто объясняет, в каких единицах ведется измерение, но в обоих случаях речь идет об одном числе. Расстояние от Манчестера до Лондона — безусловно, полезная информация, которой достаточно для определения требуемого количества бензина, но не совсем достаточно для того, чтобы совершить саму поездку. Без карты мы вполне можем отправиться не в том направлении и оказаться в Норидже.

Несколько сюрреалистичным и совершенно непрактичным решением этой проблемы могло бы стать сооружение гигантской стрелы длиной 296 километров; ее конец можно было бы расположить в Манчестере, а наконечник — в Лондоне. Стрелка — весьма полезный инструмент, часто используемый физиками для описания мира, поскольку она отображает идею о том, что нечто может иметь одновременно и размер, и направление. Очевидно, что существование гигантской стрелы от Манчестера до Лондона имеет смысл, только если она повернута в определенном направлении. В противном случае мы все так же могли бы оказаться в Норидже. Именно это мы и подразумеваем, утверждая, что стрела имеет как размер, так и направление. Стрелки помогают нам описывать окружающий мир. Пример тому — стрелки, которые используют синоптики для иллюстрации направления и скорости ветра: чем больше стрелка, тем сильнее ветер. Скорость ветра, отображаемая на синоптической карте, а также гигантская стрела от Манчестера до Лондона — это двумерные векторы, для описания которых необходимы только два числа. Например, мы можем сказать, что ветер дует со скоростью 65 километров в час в юго-восточном направлении. Показывая нам стрелки только в двух измерениях, синоптики не дают полной картины происходящего — они не сообщают, дует ли ветер вверх или вниз и на сколько градусов, но в большинстве случаев это не так важно.

Векторы также могут существовать в трех или более измерениях. Если бы мы начали свой путь из Манчестера в Лондон в одной из старых деревень в Пеннинских горах к северу от Манчестера, нам пришлось бы направить нашу стрелу немного вниз, поскольку Лондон расположен на берегах Темзы, на уровне моря. Векторы, существующие в трех измерениях обычного пространства, можно описать тремя числами. К настоящему моменту вы, наверное, уже догадались, что векторы могут находиться и в пространстве-времени и их следует описывать четырьмя числами.

Мы уже близки к тому, чтобы раскрыть суть двух оставшихся составляющих на пути к пониманию, почему E = mc². Первая составляющая вряд ли вас удивит: нас будут интересовать только векторы, существующие в четырех измерениях пространства-времени. Эту концепцию легко сформулировать, но она весьма своеобразна: подобно тому как вектор может указывать на север, мы теперь имеем понятие вектора, указывающего в направлении времени. Как всегда при обсуждении пространства-времени, нам трудно мысленно представить себе эту концепцию, но это наша проблема, а не окружающего мира. Аналогия с пространственно-временной равниной, использованная нами в предыдущей главе, поможет вам сформировать мысленную картину, по крайней мере упрощенную картину пространства-времени с одним пространственным измерением. Четырехмерные векторы характеризуются четырьмя числами. Базовый вектор — тот, который соединяет две точки в пространстве-времени. Два примера такого вектора показаны на рис. 9. То, что один из векторов на рисунке указывает в направлении времени и что оба вектора исходят из одной точки, сделано исключительно ради нашего удобства. В самом общем виде вы должны представлять себе любые две точки в пространстве-времени вместе с соединяющей их стрелкой. Такие векторы — не полная абстракция. Если вы ложитесь спать в десять часов вечера и просыпаетесь в восемь часов утра, эти два события в пространстве-времени соединяет вектор, длина которого равна десяти часам, умноженным на с, указывающий в направлении времени. Более того, мы уже говорили об этих векторах в нашей книге, но не использовали такую терминологию. Например, мы столкнулись с одним очень важным вектором, когда говорили об отважном мотоциклисте, путешествующем по холмистой равнине пространства-времени с зафиксированным дроссельным клапаном. Мы пришли к выводу, что этот мотоциклист всегда перемещается в пространстве-времени со скоростью с, а также что он может выбирать только направление движения мотоцикла (хотя даже здесь у него нет полной свободы действий, поскольку ему нельзя отклоняться от северного направления более чем на 45 градусов). Мы можем представить движение мотоциклиста с помощью вектора фиксированной длины с, который указывает, в каком направлении он перемещается по пространственно-временному ландшафту. У этого вектора есть имя — вектор скорости в пространстве-времени. Если использовать правильную терминологию, то следует говорить, что этот вектор скорости всегда имеет длину с и может указывать направление только в пределах светового конуса будущего. Световой конус будущего — это причудливое название области, расположенной между двумя очень важными для сохранения причинно-следственных связей линиями, пролегающими под углом 45 градусов. Мы можем полностью описать любой вектор в пространстве-времени, отметив, какая его часть указывает в направлении времени, а какая — в направлении пространства.

Мы с вами уже знакомы с положением, что, хотя наблюдатели, которые двигаются с разными скоростями относительно друг друга, по-разному оценивают расстояния во времени и пространстве между двумя событиями, эти расстояния должны меняться таким образом, чтобы расстояние в пространстве-времени всегда оставалось неизменным. Исходя из своеобразной геометрии пространства Минковского это означает, что конец вектора может двигаться по гиперболе, расположенной в пределах светового конуса будущего. В частности, если два события — это лечь спать в десять вечера и проснуться в восемь утра, то находящийся в кровати наблюдатель придет к выводу, что вектор скорости в пространстве-времени направлен вверх по временной оси, как показано на рис. 9, а длина этого вектора — просто количество времени, измеренного по его часам и умноженное на c. Некто, пролетающий мимо на высокой скорости, мог бы воспринять спящего в постели как движущийся объект. В таком случае он включил бы в расчеты еще и движение в пространстве, наблюдая за человеком в постели, а это смещает конец вектора с временной оси. Поскольку длина стрелки не может меняться, ее конец должен оставаться на гиперболе. Эту мысль иллюстрирует вторая, наклонная, стрелка на рис. 9. Как видите, часть вектора, указывающая в направлении времени, увеличилась, а это значит, что с точки зрения быстро движущегося наблюдателя между этими двумя событиями проходит больше времени (другими словами, его часы отсчитывают более десяти часов). Это еще один способ представить странный эффект замедления времени.

Вот и все, что следовало сказать о векторах, — во всяком случае пока (вектор скорости в пространстве-времени понадобится нам снова чуть позже). Несколько следующих абзацев посвящены второму важному фрагменту головоломки E = mc². Представьте себе, что вы физик, пытающийся понять, как устроена Вселенная. Вы уже спокойно воспринимаете идею векторов и даже составили ряд математических уравнений, которые их содержат. А теперь вообразите, что кто-то, скажем один из ваших коллег, говорит вам, что существует особый вектор, который никогда не меняется, что бы ни происходило в той части Вселенной, к которой он относится. Сначала вы, возможно, это проигнорируете: если ничего не меняется, то вряд ли удастся раскрыть суть рассматриваемого вопроса. Но ваш интерес усилится, если коллега уточнит, что этот особый вектор образован посредством суммирования ряда других векторов, каждый из которых связан с отдельной частью объекта, который вы пытаетесь понять. Различные части этого объекта способны перемещаться, и когда они делают это, каждый из отдельных векторов может меняться, но всегда таким образом, что общая сумма всех векторов образует все тот же неизменный особый вектор. Кстати, суммирование векторов — очень легкий процесс, мы еще к нему вернемся.

Чтобы продемонстрировать, насколько полезной может быть идея неизменных векторов, давайте поразмышляем над очень простой задачей: попробуем понять, что происходит с двумя бильярдными шарами в момент их столкновения. Пример из бильярда вряд ли можно назвать жизненно важным, однако физики любят подобные примеры, но не потому, что могут изучать только простые явления или обожают бильярд, а скорее потому, что во многих случаях сложные концепции легче понять, проиллюстрировав их сначала на простых примерах. Но вернемся к бильярду: ваш коллега говорит, что вам следует связать с каждым шаром вектор, который должен быть ориентирован в направлении движения шара. Предполагается, что, сложив два вектора (по одному на каждый шар), можно получить особый неизменный вектор. Это означает, что независимо от того, что происходит в момент столкновения шаров, мы можем быть уверены, что сложение двух векторов, связанных с шарами после столкновения, образует точно такой же вектор, как и полученный из двух шаров до столкновения. Потенциально это очень важный вывод. Наличие особого вектора существенно ограничивает возможные последствия столкновения. Пожалуй, еще большее впечатление произвело бы на нас утверждение вашего коллеги о том, что принцип «сохранения векторов» работает в любой системе событий, происходящих во Вселенной, — от столкновения бильярдных шаров до взрыва звезды. По всей вероятности, для вас не станет неожиданностью тот факт, что физики не используют обозначения «особый вектор», заменив его таким термином, как «вектор импульса», а сохранение векторов широко известно как «закон сохранения импульса».

Остались невыясненными два момента: какова длина векторов импульса и как именно их следует суммировать? Сложение векторов не составляет труда — для этого необходимо разместить один за другим все векторы, которые мы хотим суммировать. Конечный результат состоит в определении вектора, связывающего начало первой и конец последней стрелки. На рис. 10 показано, как это делается для трех произвольно выбранных стрелок. Большая стрелка — это сумма маленьких. Длину вектора импульса можно установить экспериментальным путем, и исторически именно так и было. Сама концепция возникла более тысячи лет назад — просто в силу своей полезности. В приближенном смысле она отображает разницу между ударом теннисного мяча и экспресса, когда оба движутся со скоростью 100 километров в час. Как мы уже говорили, концепция вектора импульса непосредственно связана со скоростью и, как наглядно показывает предыдущий пример, должна быть связана и с массой. Согласно доэйнштейновской физике, длина вектора импульса — это произведение массы и скорости. И, как мы уже знаем, этот вектор ориентирован в направлении движения. Следует отметить, что современное представление об импульсе как о сохраняемой величине имеет отношение к работе Эмми Нётер (мы уже обсуждали это). Затем мы узнали о существовании глубинной связи между законом сохранения импульса и трансляционной инвариантностью. С помощью символов величину импульса частицы с массой m, движущейся со скоростью v, можно описать уравнением p = mv, где p — символ, обычно используемый для обозначения импульса.

Мы еще не выясняли, что такое масса, поэтому, прежде чем двигаться дальше, необходимо уточнить смысл этого понятия. На интуитивном уровне массу можно представить как величину, измеряющую количество вещества в чем бы то ни было. Два пакета сахара имеют массу, которая в два раза больше массы одного пакета, и так далее. При желании мы могли бы измерять массу всех без исключения объектов в пересчете на массу стандартного пакета сахара, воспользовавшись для этого старинными чашечными весами. Именно так когда-то продавали бакалейные товары в магазинах. Если вам нужно было купить килограмм картофеля, достаточно было положить его на одну чашу весов, уравновесив с килограммовым пакетом сахара на другой чаше весов, — и все согласились бы с тем, что вы купили требуемое количество картофеля.

Безусловно, «вещество» бывает самых разных типов, поэтому «количество вещества» — крайне неточное понятие. Вот более точное определение: мы можем измерить массу посредством измерения веса. Другими словами, объекты с большим весом имеют и большую массу. Неужели все так просто? И да, и нет. Здесь, на Земле, мы можем определить массу любого объекта, взвесив его, — именно это делают обычные напольные весы. Всем знакома идея о том, что мы «весим» определенное количество килограммов и граммов (или фунтов и унций). Но ученые не согласились бы с этим. Путаница возникает из-за того, что масса и вес приблизительно равны друг другу у поверхности Земли. Но что произойдет, если разместить напольные весы на поверхности Луны? По существу, вы бы весили в таком случае в шесть раз меньше, чем на Земле. Ваш вес на Луне действительно был бы меньше, хотя масса осталась бы неизменной. Что действительно изменилось бы, так это «обменный курс» между массой и весом, хотя в два раза большая масса будет иметь в два раза больший вес, где бы ее ни измеряли (мы говорим, что вес пропорционален массе).

Еще один способ определить массу связан со следующим: для того чтобы привести в движение более массивные объекты, необходимо толкнуть их сильнее. В математической форме этот закон природы был выражен с помощью второго самого известного уравнения (после E = mc², конечно): F = ma (Исаак Ньютон опубликовал эту формулу в 1687 году в своей работе Principia Mathematica). Закон Ньютона гласит, что если вы толкаете что-то с силой F, этот объект двигается с ускорением a. Символом m обозначается масса, а значит, вычислить массу объекта можно экспериментальным путем, измерив силу, которую необходимо к нему приложить, чтобы придать ему соответствующее ускорение. Это определение не хуже остальных, поэтому пока давайте придерживаться его. Правда, если у вас критический ум, вас может заинтересовать, как именно следует трактовать понятие силы. Это хороший вопрос, но мы не будем его анализировать. Давайте просто исходить из предположения, что нам известно, как измерять величину толкания, или тяги, также известную как «сила».

Это было достаточно пространное отступление, и хотя на самом деле мы еще не обсуждали, что представляет собой масса на глубинном уровне, все же дали ей описание в рамках версии школьного учебника. Более всеобъемлющий взгляд на само происхождение массы — тема главы 7, а пока давайте считать, что масса просто существует и это естественное свойство вещей. На данном этапе важно принять предположение, что масса — неотъемлемое свойство любого объекта. Другими словами, в пространстве-времени должна быть величина под названием «масса», по поводу которой все приходят к единому мнению. Следовательно, масса должна быть еще одной из инвариантных величин. Пока мы не приводили никаких аргументов, способных убедить читателя в том, что эта величина обязательно должна быть такой же, как и масса в уравнении Ньютона, однако, как и в случае многих других наших гипотез, обоснованность этого утверждения будет подтверждена или опровергнута, когда мы придем к каким-то выводам. А теперь вернемся к бильярдным шарам.

Если в момент столкновения два шара имеют одинаковую массу и скорость, то их векторы импульса будут одинаковой длины, но ориентированы в противоположных направлениях. Сложите оба вектора — и они полностью аннулируют друг друга. Согласно закону сохранения импульса, что бы ни делали частицы после столкновения, они должны разойтись с одинаковой скоростью в противоположных направлениях. В противном случае результирующий импульс не мог бы сойти на нет. Как мы уже отмечали, закон сохранения импульса распространяется не только на бильярдные шары. Он действует во всей Вселенной и именно поэтому так важен. Откат пушки после выстрела пушечного ядра или выброс осколков во всех направлениях после взрыва — оба события подчиняются закону сохранения импульса. В действительности пример с пушечным ядром заслуживает немного больше внимания с нашей стороны.

До выстрела пушки нет никакого результирующего импульса, пушечное ядро находится в стволе, а сама пушка стоит на крепостной стене. Когда пушка стреляет, пушечное ядро выстреливается из ствола с большой скоростью, тогда как сама пушка немного откатывается назад, но все же практически остается на том же месте — к счастью для солдат, которые сделали этот выстрел. Импульс пушечного ядра характеризуется вектором импульса, представляющего собой стрелку, длина которой равна массе ядра, умноженной на его скорость, и ориентирована от пушки в направлении полета ядра в момент его выброса из ствола. Закон сохранения импульса говорит нам, что пушка должна совершить откат с вектором импульса такой же длины, но ориентированным в направлении, противоположном направлению вектора импульса ядра. Но поскольку пушка гораздо тяжелее ядра, она откатывается назад с существенно меньшей скоростью. Чем тяжелее пушка, тем медленнее она движется. Следовательно, крупные и медленно перемещающиеся объекты могут иметь такой же импульс, как и небольшие, но быстро движущиеся. Безусловно, и пушка, и пушечное ядро со временем замедляют движение (и в итоге теряют импульс), а импульс ядра меняется под действием гравитации. Однако это не означает, что закон сохранения импульса не работает. Если бы можно было учесть импульс молекул воздуха, которые сталкиваются с пушечным ядром, а также импульс молекул в опорах пушки и тот факт, что импульс самой Земли немного меняется в процессе взаимодействия с ядром в условиях гравитации, то мы могли бы обнаружить, что общий импульс все же сохраняется. Физикам далеко не всегда удается отследить, как именно перераспределяется импульс при наличии таких факторов, как трение и сопротивление воздуха, поэтому закон сохранения импульса обычно используется, только когда влияние внешних факторов не играет существенной роли. Это несколько ограничивает сферу применения закона, но не приуменьшает его значения как фундаментального закона физики. Но давайте все же попытаемся закончить нашу немного затянувшуюся партию в бильярд.

Для упрощения ситуации представьте себе, что сила трения полностью отсутствует, — чтобы мы могли думать только о самих бильярдных шарах. Закон сохранения импульса, который мы только что открыли, действительно ценен, но это не панацея. На самом деле мы не можем вычислить скорость движения бильярдных шаров после столкновения, зная только факт сохранения импульса, а также массу и скорость шаров до столкновения. Для того чтобы решить эту задачу, понадобится еще один важный закон сохранения.

Мы уже познакомили вас с идеей, что движущиеся объекты можно описать с помощью вектора импульса и что сумма всех векторов импульса остается неизменной. Импульс представляет интерес для физиков именно потому, что сохраняется. Очень важно отдавать себе в этом отчет. Если вам не нравится слово «импульс», вы вполне можете говорить о сохранении вектора. Сохраняющиеся величины, как мы уже начинаем понимать, — весьма распространенное и очень полезное в физике явление. Вообще говоря, чем больше законов сохранения будет в вашем распоряжении при решении задачи, тем легче вам будет ее решить. Но один из законов сохранения выделяется на фоне остальных своей огромной практической ценностью. Инженеры, физики и химики очень медленно раскрывали его суть на протяжении XVII, XVIII и XIX столетий. Речь идет о законе сохранения энергии.

Прежде всего следует отметить, что концепция энергии более доступна для понимания, чем концепция импульса. Подобно импульсу, каждое тело может обладать энергией, но, в отличие от импульса, энергия не имеет направления. В связи с этим она больше напоминает температуру — в том смысле, что для ее описания достаточно одного числа. Но что такое энергия? Как нам ее определить? Что она измеряет? Импульс в этом отношении был проще: это стрелка, указывающая направление движения и имеющая длину, равную произведению массы и скорости. Энергию труднее определить, поскольку она может принимать разные формы, но итог достаточно очевиден: что бы ни происходило, общее количество энергии в любом процессе должно оставаться неизменным независимо от изменения других факторов. Опять же Эмми Нётер дала нам глубокое объяснение. Энергия сохраняется потому, что законы физики не изменяются с течением времени. Это утверждение не означает, что ничего не происходит — это было бы просто бессмысленно. На самом деле оно означает, что если уравнения Максвелла справедливы сегодня, то они должны быть справедливыми и завтра. Вы можете заменить словосочетание «уравнения Максвелла» любым другим фундаментальным законом физики — постулатами Эйнштейна, например.

Вместе с тем, как и в случае закона сохранения импульса, закон сохранения энергии был открыт экспериментальным путем. История его открытия восходит к промышленной революции. Все началось с работ экспериментаторов-практиков, которые обнаружили множество механических и химических явлений в поисках промышленного Иерусалима. К числу таких людей относился и несчастный граф Румфорд Баварский (рожденный под именем Бенджамин Томпсон в Массачусетсе в 1753 году), работа которого состояла в высверливании каналов в пушечных стволах для армии герцога Баварии. В процессе работы он обратил внимание, что металл пушечного ствола и сверло нагреваются, и справедливо предположил, что вращательное движение сверла превращается в тепло под воздействием трения. Это прямо противоположно тому, что происходит в паровом двигателе, где тепло преобразуется во вращательное движение колес поезда. Казалось вполне естественным связать некую общую величину с теплом и вращательным движением, поскольку, как выяснилось, эти две на первый взгляд совершенно разные вещи взаимозаменяемы. Эта величина — энергия. Румфорда называли несчастным, потому что он женился на вдове другого великого ученого, Антуана Лавуазье, после того как тот во время Французской революции сложил голову на гильотине. Румфорд ошибочно решил, что эта женщина будет делать для него то же, что и для Лавуазье, прилежно записывая все результаты его работы и повинуясь ему, как полагалось хорошей жене в XVIII столетии. Но оказалось, она проявляла кроткость только под давлением железной воли Лавуазье. В своей замечательной книге The Quest for Absolute Zero Курт Мендельсон писал, что эта женщина превратила жизнь графа Румфорда в ад. Но главное не это, а то, что энергия всегда сохраняется, именно поэтому она вызывает такой интерес.

Попросите кого-либо на улице объяснить, что такое энергия, — и получите либо осмысленный ответ, либо кучу всякого вздора в духе нью-эйдж. В массовой культуре существует много разных значений слова «энергия», поскольку оно употребляется очень широко. Следует отметить, однако, что на самом деле есть точное определение энергии, которое нельзя использовать для объяснения лей-линий, исцеления кристаллами, жизни после смерти или реинкарнации. Здравомыслящий человек мог бы сказать, что энергию можно хранить внутри аккумуляторной батареи, где она находится в состоянии ожидания до тех пор, пока кто-то не «замкнет цепь». Кто-то другой, возможно, возразит, что энергия — это показатель количества движения и что быстро движущиеся объекты обладают большей энергией, чем более медленные. Энергия, которую содержит море или ветер, — вот еще примеры определений. Вам могут также сказать, что горячие объекты содержат больше энергии, чем холодные. Гигантский маховик, который находится внутри электростанции, может накапливать энергию, которая высвобождается затем в электросеть для удовлетворения потребностей населения в электроэнергии. Кроме того, энергия выделяется в процессе деления атомного ядра. Это только несколько примеров присутствия энергии в повседневной жизни. Во всех этих случаях физики могут представить энергию в количественной форме и использовать эту информацию для подведения баланса при подтверждении факта, что суммарный эффект любого процесса сохраняет неизменным общее количество энергии.

Для того чтобы увидеть закон сохранения энергии в действии, давайте в последний раз вернемся к сталкивающимся бильярдным шарам. До столкновения каждый из них обладает определенной энергией вследствие своего движения. Физики называют такую энергию кинетической. В Оксфордском словаре английского языка слово «кинетический» определяется как «обусловленный или возникающий вследствие движения», так что это правильный термин. Ранее мы исходили из того, что два шара движутся с одинаковой скоростью и имеют одинаковую массу. Затем они сталкиваются и отскакивают друг от друга с равной скоростью в противоположных направлениях. Такой вывод в значительной мере продиктован законом сохранения импульса. Более тщательный анализ ситуации позволяет определить, что скорость движения шаров после столкновения немного меньше их скорости до столкновения. Это объясняется тем, что часть начальной энергии рассеялась во время столкновения. Наиболее очевидное рассеяние энергии — переход ее части в звук. Когда бильярдные шары сталкиваются друг с другом, они воздействуют на молекулы воздуха, и это возмущение достигает наших ушей. Таким образом, часть начальной энергии теряется, из-за чего у шаров после столкновения остается меньше энергии. С точки зрения темы данной книги нам на самом деле не нужно знать, как измерить энергию во всех ее проявлениях, хотя формула кинетической энергии нам все же пригодится немного позже. Каждый, кто изучал в средней школе физику, навсегда запомнил эту формулу: Важно понимать, что энергию можно выразить в количественной форме одним числом, а также что общее количество энергии в системе всегда остается неизменным.

А теперь вернемся к нашему разговору. Мы ввели концепцию импульса в качестве примера величины, которая описывается вектором. Наряду с энергией практическая польза импульса обусловлена тем, что это сохраняющаяся величина. Все это было бы просто замечательно, если бы не одна огромная дилемма. Импульс — вектор, существующий только в трех измерениях нашего повседневного опыта. По большому счету вектор импульса может указывать вверх, вниз, на юго-восток или в любом другом направлении движения. Однако всю предыдущую главу мы доказывали, что наша склонность разделять пространство и время — это заблуждение. Нам нужны стрелки, которые указывали бы в четырех направлениях пространства-времени, в противном случае мы так и не сможем составить фундаментальные уравнения с учетом теории Эйнштейна. Позвольте повторить еще раз: фундаментальные уравнения должны включать в себя объекты, существующие в пространстве-времени, а не объекты, существующие отдельно в пространстве или во времени, поскольку объекты такого типа носят субъективный характер. Если вы помните, ни размер объекта в пространстве, ни промежуток времени между двумя событиями нельзя отнести к категории величин, со значением которых согласятся все без исключения. Именно это мы имеем в виду, утверждая, что такие объекты носят субъективный характер. Импульс также представляет собой вектор, направленный куда-то только в пространстве. Такое предубеждение против времени сеет семена его разрушения. Предвещает ли пространство-время крушение этого самого фундаментального из всех законов физики? Вновь открытая структура пространства-времени действительно сеет семена разрушения, но она указывает нам также дальнейший путь: нам необходимо найти инвариантную величину, которая сможет занять место устаревшего трехмерного импульса. А вот и ключевой момент нашего повествования: такая величина существует.

Давайте внимательнее взглянем на трехмерный вектор импульса. На рис. 11 он представлен в виде стрелки, которая может отображать расстояние, на которое откатывается шар, перемещаясь по столу. Если описывать ситуацию точнее, то предположим, что в полдень шар находится у одного конца этой стрелки, а через две секунды — у другого. Если шар перемещается на сантиметр каждую секунду, тогда длина стрелки равна двум сантиметрам. Получить вектор импульса не составляет проблем. Он представляет собой стрелку, указывающую абсолютно в том же направлении, что и на рис. 11, но ее длина другая и равна скорости нашего шара (в данном случае один сантиметр в секунду), умноженной на его массу, которая составляет, к примеру, десять граммов. Физики сказали бы, что вектор импульса этого шара имеет длину десять грамм-сантиметров в секунду (в краткой форме они записали бы это так: 10 г · см/с). Здесь снова целесообразно ввести абстрактные символы, вместо того чтобы использовать конкретную массу или скорость. Как всегда, нам не хотелось бы превращаться в школьных учителей из вашей юности. Но… если ∆x — это символ, которым обозначается длина стрелки, ∆t — промежуток времени, а m — масса шара (в нашем примере ∆x = 2 см, ∆t = 2 с, m = 10 г), то вектор импульса имеет длину m∆x/∆t. В физике принято использовать греческий символ ∆ (произносится как «дельта») для обозначения разности между двумя значениями; следовательно, ∆t обозначает интервал времени между двумя событиями, а ∆x — длину чего-либо, в данном случае расстояние в пространстве между начальным и конечным положениями шара.

Нам удалось построить вектор импульса шара в трехмерном пространстве, хотя вряд ли это можно назвать самым увлекательным из всего, что мы сделали. Теперь предпримем смелый шаг и попытаемся построить вектор импульса в пространстве-времени, причем осуществим это точно таким же способом, что и в трехмерном пространстве. Единственное ограничение — мы будем использовать только те объекты, которые носят универсальный характер в пространстве-времени.

Снова начнем со стрелки, на этот раз указывающей направление в четырехмерном пространстве, как видно на рис. 12. Один ее конец показывает, где находится наш шар в начальный момент времени, а другой — где он будет через какое-то время. Длину стрелки необходимо определять по формуле Минковского для расчета расстояния в пространстве-времени, а значит, она задается уравнением (∆s)² = (c∆t)² – (∆x)². Вспомните, что ∆s — это длина, с которой будут согласны все без исключения (то, что ни в коем случае нельзя сказать ни о ∆x, ни о ∆t по отдельности), а значит, именно это расстояние мы должны использовать вместо расстояния ∆x, представленного в определении импульса в трехмерном пространстве. Но чем заменить интервал времени ∆t? (Не забывайте: мы пытаемся найти замену m∆x/∆t в четырехмерном пространстве.) Проблема в том, что мы не можем использовать ∆t, поскольку эта величина не инвариантна в пространстве-времени. Как мы неоднократно подчеркивали, интервалы времени для разных наблюдателей различны, а значит, мы не должны использовать временные интервалы в определении четырехмерного импульса. Но какие у нас есть варианты? На что мы могли бы разделить длину стрелки, чтобы вычислить скорость движения шара в пространстве-времени?

Нам необходимо вывести нечто более совершенное, чем старый трехмерный импульс, а также убедиться, что если мы имеем дело с объектами, движущимися со скоростью, которая гораздо меньше скорости света, то новый импульс приблизительно эквивалентен старому. С учетом этого требования мы должны разделить длину нашей стрелки в пространстве-времени ∆s на величину того же типа, что и интервал времени. В противном случае новый четырехмерный импульс будет представлять собой нечто абсолютно иное по сравнению со старым трехмерным импульсом. Промежутки времени можно измерять в секундах, значит, нам следует получить некую величину, которую тоже можно было бы измерять в секундах. Учитывая инвариантные величины в пространстве-времени, скорость света c и расстояние ∆s, есть только один возможный вариант: число, полученное посредством деления длины стрелки (∆s) на скорость c. Другими словами, если ∆s измеряется в метрах, а скорость c — в метрах в секунду, то ∆s/c — в секундах. Это и должно быть то число, на которое нам необходимо разделить длину стрелки, поскольку это единственная имеющаяся в нашем распоряжении инвариантная величина, измеряемая в требуемых единицах, — время. Давайте пойдем дальше и разделим ∆s на время ∆s/c. В результате получим просто c (по той же причине, что и в случае, когда результат деления единицы на ½ равен двум). Другими словами, четырехмерный аналог скорости в нашей формуле трехмерного импульса — это такой универсальный показатель, как предельная космическая скорость c.

Все это может показаться вам знакомым, но только потому, что так и должно быть. Мы лишь рассчитали скорость объекта (в нашем примере шара) в пространстве-времени и получили в итоге c. Но мы уже приходили к аналогичному выводу в предыдущей главе, когда анализировали движение мотоциклиста по равнине пространства-времени. В контексте данной главы мы добились большего, поскольку пришли к выводу, что вектор скорости в пространстве-времени можно использовать также в новом определении четырехмерного импульса. Вектор скорости объекта, движущегося в пространстве-времени, всегда имеет протяженность c и всегда указывает в пространстве-времени в направлении движения объекта.

Все, что нам необходимо сделать, для того чтобы завершить построение нового вектора импульса в пространстве-времени, — это умножить вектор скорости в пространстве-времени на массу m. Из этого следует, что наш предполагаемый вектор импульса всегда имеет длину, равную mc, и указывает в направлении движения объекта в пространстве-времени. На первый взгляд этот новый вектор импульса немного скучноват, поскольку его длина в пространстве-времени неизменна. Создается впечатление, что наше начало вряд ли можно назвать удачным. Однако мы не должны останавливаться. Нам еще предстоит выяснить, существует ли взаимосвязь между вектором импульса в пространстве-времени, который мы только что построили, и устаревшим трехмерным вектором, или, если уж на то пошло, пригодится ли он нам в новом мире пространства-времени.

Для того чтобы углубиться в ситуацию, давайте посмотрим на те части нашего нового вектора импульса в пространстве-времени, которые указывают направление в пространстве и времени по отдельности. Увы, здесь нам не обойтись без математики. Приносим извинения читателям, не владеющим глубокими математическими знаниями, и обещаем продвигаться очень медленно. Помните: у вас всегда есть возможность бегло просмотреть уравнения и перейти к заключительным выводам. Математика делает приведенные здесь доводы более убедительными, но вы вполне можете продолжать чтение, не углубляясь в детали. Точно так же хотим извиниться и перед читателями, знакомыми с математикой, за слишком подробное изложение материала. Но ведь нельзя угодить всем сразу!

Ранее мы с вами вывели выражение для длины вектора импульса в трехмерном пространстве — m∆x/∆t. Мы исходили из того, что ∆x следует заменить на ∆s, а ∆t — на ∆s/c, для того чтобы получить четырехмерный вектор импульса, который имеет на первый взгляд неинтересную длину mc. Потерпите нас еще один абзац и позвольте написать замену для ∆t, то есть для ∆s/c, в полном виде: ∆s/c равно Это несколько громоздкое выражение, однако небольшая математическая манипуляция позволяет записать его в более простом виде: ∆t/γ, где Для получения этой формулы мы использовали тот факт, что скорость объекта рассчитывается как v = ∆x/∆t. В таком случае γ — это не что иное, как множитель, о котором шла речь в главе 3, выражающий величину замедления времени с точки зрения того, кто наблюдает за быстро пролетающими мимо часами.

В действительности мы уже почти добрались до цели. Смысл всех этих математических выкладок состоит в том, что они позволяют определить, в какой степени вектор импульса указывает направление в пространстве и времени по отдельности. Для начала давайте вспомним, как мы поступали с вектором импульса в трехмерном пространстве. Рис. 11 поможет нам представить себе эту ситуацию. Трехмерный вектор импульса ориентирован в ту же сторону, что и стрелка на рисунке, поскольку он указывает в том направлении, в котором движется шар. Разница лишь в том, что изменится длина вектора, потому что нам необходимо умножить длину стрелки на массу шара и разделить на временной интервал. Аналогичная ситуация складывается и для четырехмерного вектора. Теперь вектор импульса указывает направление в пространстве-времени, в котором движется шар, что соответствует направлению стрелки на рис. 12. В этом случае для получения вектора импульса нам следует изменить масштаб длины стрелки, но на сей раз раз мы должны умножить ее на массу шара и разделить на инвариантную величину ∆s/c (которая, как мы продемонстрировали выше, равна ∆t/γ). Если вы внимательно посмотрите на стрелку на рис. 12, то увидите, что, если мы захотим изменить длину на определенную величину, сохранив при этом направление, нужно просто изменить часть, указывающую в направлении x (∆x), и часть, указывающую в направлении времени (c∆t), в одинаковое количество раз. Таким образом, длина части вектора импульса, которая указывает в направлении пространства, представляет собой ∆x, умноженное на m и деленное на ∆t/γ, что можно записать как γm∆x/∆t. Если вспомнить, что v = ∆x/∆t — это скорость движения объекта в пространстве, то мы получим следующий ответ: часть вектора импульса в пространстве-времени, указывающая в направлении пространства, имеет длину, равную γmv.

Теперь все становится действительно интересным: вектор импульса в пространстве-времени, который мы только что построили, никак нельзя назвать скучным. Если скорость v нашего объекта намного меньше скорости света c, значение γ оказывается очень близко к единице. В этом случае мы снова получаем старый импульс, а именно — произведение массы на скорость: p = mv. Это очень обнадеживает, так что давайте двигаться дальше. В действительности нам удалось сделать нечто гораздо большее, чем просто преобразовать старый трехмерный импульс в новую четырехмерную структуру. Начнем с того, что мы получили, по-видимому, более точную формулу, поскольку значение γ может быть равным единице, только когда скорость равна нулю.

Но то, что мы увидим, когда рассмотрим часть вектора импульса, указывающую в направлении времени, еще интереснее, чем модифицированная формула p = mv. После всего, что мы уже проделали, нам нетрудно будет выполнить соответствующие расчеты (ответ показан на рис. 13). Длина части нового вектора импульса, которая указывает в направлении времени, равна значению c∆t , умноженному на m и деленному на ∆t/γ, что представляет собой γmc.

Следует помнить, что импульс интересует нас только потому, что он сохраняется. Поэтому мы искали новый четырехмерный импульс, который будет сохраняться в пространстве-времени. Мы можем представить себе совокупность векторов импульса, указывающих в разных направлениях. Они могут отображать, например, импульсы определенного количества частиц, которые должны вот-вот столкнуться. После столкновения образуется новая совокупность векторов импульса, указывающих в других направлениях. Однако закон сохранения импульса гласит, что общая сумма всех новых стрелок должна в точности соответствовать сумме исходных. Это, в свою очередь, означает, что должна сохраняться также общая сумма частей всех стрелок, указывающих в направлении пространства, так же как и сумма частей, указывающих в направлении времени. Таким образом, если мы подсчитаем значения γmv для каждой частицы, то общая сумма этих значений до столкновения должна быть такой же, как и общая сумма после него. То же самое происходит и с частями вектора импульса, указывающими в направлении времени, только в этом случае сохраняется общая сумма значений γmc. Похоже, у нас есть два новых закона физики: γmv и γmc — это сохраняющиеся величины. Но чему они соответствуют? На первый взгляд во всем этом нет ничего особенного. Если скорость достаточно низкая, то значение γ очень близко к единице, а γmv превращается просто в mv. Таким образом, в итоге все тот же закон сохранения импульса. Это обнадеживает, поскольку мы рассчитывали, что нам удастся прийти к выводам, которые признали бы физики викторианской эпохи. Безусловно, Брюнель и другие великие инженеры XIX столетия прекрасно обходились без пространства-времени, поэтому наше новое определение импульса должно давать почти те же ответы, что и во времена промышленной революции, — при условии, что объекты перемещаются со скоростью, далекой от скорости света. В конце концов, Клифтонский подвесной мост не упал после того, как Эйнштейн сформулировал теорию относительности.

Что мы можем сказать о сохранении γmc? Поскольку c — это универсальная константа, значение которой всегда одинаково, закон сохранения γmc равносилен утверждению, что масса сохраняется. Этот вывод не стал для нас большой неожиданностью, поскольку согласуется с интуицией, хотя довольно интересно, что он появился как будто ниоткуда. Например, можно утверждать, что после сгорания угля в печи масса пепла (плюс масса вещества, вылетевшего через дымоход) должна быть равна массе угля до его сжигания. Тот факт, что значение γ не равно в точности единице, кажется несущественным, и у нас может возникнуть соблазн двигаться дальше, удовлетворившись тем, что мы и так уже многого добились. Мы определили импульс таким образом, что он представляет собой значимую величину в пространстве-времени, благодаря чему внесли коррективы (в большинстве случаев незначительные) в определение импульса, принятое в XIX столетии, и в то же время вывели закон сохранения массы. На что еще мы могли рассчитывать?

Нам понадобилось достаточно много времени, чтобы добраться до этого момента, но нас все же ждет неожиданный финал этого повествования. Мы более внимательно проанализируем ту часть вектора импульса, который указывает направление во времени, а сделав это, чудесным образом выведем самую знаменитую формулу Эйнштейна. Мы с вами проделали большой путь, и вы узнали многое из того, что должен знать профессиональный физик о четырехмерных векторах и пространстве Минковского. Теперь мы готовы к кульминации.

Мы установили, что значение γmc должно сохраняться. Теперь нам необходимо объяснить, что именно это означает. Если вы представите себе игру в релятивистский бильярд, то в ней каждый шар имеет свое значение γmc. Сложите вместе все эти значения — и какой бы ни была общая сумма, она останется неизменной. А теперь давайте поиграем в игру, которая поначалу покажется бессмысленной. Если значение γmc сохраняется, то сохраняется и значение γmc² — просто потому, что c — это константа. Вскоре вам станет понятно, зачем мы так поступили. В то же время значение γ не равно в точности единице, и в случае малых скоростей его можно аппроксимировать посредством формулы С помощью калькулятора вы можете проверить самостоятельно, что эта формула работает достаточно хорошо для скоростей, которые можно считать малыми по сравнению с с (то есть она дает практически те же значения, что и точная формула Если у вас под рукой нет калькулятора, надеемся, представленная ниже таблица вас убедит. Обратите внимание, что приближенная формула (которая дает значения, представленные в третьем столбце) на самом деле очень точна даже в случае скоростей, составляющих десять процентов от скорости света (v/c = 0,1), что представляет собой недостижимую в обычных условиях скорость 30 миллионов метров в секунду.

Если принять это упрощение, то значение γmc² приближенно равно В этот момент мы можем осознать крайне важные последствия наших действий. Мы пришли к выводу, что для малых по сравнению с с скоростей сохраняется величина Точнее говоря, величина γmc², но на данном этапе первое уравнение гораздо лучше позволяет понять суть происходящего. Почему? Как вы уже знаете, произведение  — это кинетическая энергия, с которой мы познакомились в примере со сталкивающимися бильярдными шарами. Благодаря этой формуле можно определить, какой энергией обладает объект с массой m, движущийся со скоростью v. Мы обнаружили, что существует нечто сохраняющееся, равное чему-то (mc²) плюс кинетическая энергия. Имеет смысл называть это «нечто» сохраняющейся энергией, но у него есть две составляющие: одна — и вторая — mc². Пусть вас не сбивает с толку тот факт, что мы выполнили умножение на с. Мы сделали это исключительно для того, чтобы наш окончательный ответ включал в себя такой член уравнения, как , а не  Первая из двух формул описывает то, что ученые многих поколений называли кинетической энергией. При желании вы можете обозначить термином «кинетическая масса» или придумать любое другое название, которое здесь не играет особой роли (даже если оно столь же важное, как термин «энергия»). Имеет значение лишь следующее: временная компонента вектора момента в пространстве-времени и эта величина сохраняются. Нужно признать, что формулировка «временная компонента вектора момента в пространстве-времени равна mc» выглядит не столь привлекательно, как E = mc², но их физика одинакова.

Мы продемонстрировали, что сохранение импульса в пространстве-времени приводит не только к появлению новой, усовершенствованной версии закона сохранения импульса в трехмерном пространстве, но и к пересмотру закона сохранения энергии. Давайте представим себе систему движущихся частиц. Как мы уже говорили выше, сумма их кинетических энергий плюс масса всех частиц, умноженная на квадрат с, дает нам некую неизменную величину. Ученые викторианской эпохи были бы очень довольны утверждением, что сумма кинетических энергий должна оставаться неизменной. Кроме того, их порадовало бы и утверждение, что сумма масс также не должна изменяться (умножение на с не играет особой роли, когда речь идет о чем-то неизменном). Наш новый закон соответствует действительности, но это далеко не все. При таком положении вещей ничто не мешает какой-то части массы превращаться в кинетическую энергию и наоборот при условии, что сумма этих двух вещей не меняется. Мы обнаружили, что масса и энергия взаимозаменяемы, а количество энергии, которую можно извлечь из массы m, находящейся в состоянии покоя (γ в этом случае равно единице), определяется уравнением E = mc².

Давайте подведем итог. Мы хотели найти в пространстве-времени объект, который выполнял бы те же функции, что и импульс в трехмерном пространстве, поскольку импульс полезен тем, что представляет собой сохраняющуюся величину. Мы смогли отыскать такой объект, только составив его из тех элементов, по поводу значения которых все наблюдатели приходят к согласию, а именно расстояние в пространстве-времени, универсальная предельная космическая скорость и масса. Построенный нами вектор импульса в пространстве-времени оказался очень интересным. Проанализировав ту его часть, которая указывает направление в пространстве, мы обнаружили все тот же закон сохранения импульса с небольшой поправкой: в пространстве-времени он распространяется на объекты, которые движутся со скоростью, близкой к скорости света. Но самое ценное открытие было сделано в процессе изучения части вектора, указывающей в направлении времени. Мы получили совершенно новую версию закона сохранения энергии. Старая кинетическая энергия все еще присутствует в этой версии закона, но появилась еще одна, абсолютно новая составляющая — mc². Таким образом, даже если объект не двигается, он обладает энергией и она определяется знаменитым уравнением Эйнштейна E = mc².

Что все это означает? Мы установили, что энергия представляет для нас интерес, поскольку сохраняется: количество энергии в одном месте может увеличиться, только если ее количество в другом месте уменьшится. Кроме того, мы пришли к выводу, что сама масса объекта — потенциальный источник энергии. Представим себе, как берем сгусток материи, скажем, килограмм вещества (не имеет значения, какого именно), и делаем с ним нечто такое, после чего этот килограмм исчезает, то есть не разлетается на крохотные кусочки, а именно исчезает. Совсем. Мы можем нарисовать себе крайний вариант развития событий, при котором используется вся исходная масса вещества. На ее месте должна появиться энергия, количество которой эквивалентно килограмму вещества (плюс энергия, которую мы вложили в манипуляции с этим веществом). Она может быть в форме массы. Например, может быть создано несколько граммов нового вещества, а оставшаяся энергия будет выражена в форме кинетической энергии: это новое вещество может очень быстро двигаться. Разумеется, это не более чем воображаемый сценарий — мы просто все это придумали. Однако следует по достоинству оценить тот факт, что, согласно теории Эйнштейна, все это могло бы произойти. До Эйнштейна никто даже не мечтал разрушить массу и преобразовать ее в энергию, поскольку считалось, что масса и энергия — совершенно не связанные друг с другом сущности. После Эйнштейна всем пришлось признать тот факт, что масса и энергия — разные проявления одной и той же сущности. Дело в том, что, как мы открыли, энергия, масса и импульс образуют в совокупности единый пространственно-временной объект, который мы назвали вектором импульса в пространстве-времени. На самом деле физики чаще обозначают его термином «четырехмерный вектор энергии-импульса». Раньше мы с вами узнали, что пространство и время не следует рассматривать как две отдельные сущности. Точно так же теперь мы обнаружили, что энергия и импульс — это составляющие более сложного объекта, четырехмерного вектора энергии-импульса. Мы ошибочно считаем их не связанными друг с другом, отличающимися друг от друга понятиями, что объясняется нашим предвзятым интуитивным стремлением проводить различие между пространством и временем. Важно отметить, что природа использует этот шанс — превратить массу в энергию все же можно. Если бы природа сделала это невозможным, мы даже не появились бы на свет.

Прежде чем разбираться с этим достаточно смелым заявлением, давайте уточним, что мы понимаем под разрушением вещества. В данном случае имеется в виду не то разрушение, которое происходит, когда дорогая ваза падает и разбивается вдребезги. Если после этого вы удрученно соберете осколки и взвесите их, то не выявите заметных изменений в массе. Мы же имеем в виду ситуацию, когда ваза разрушается так, что в результате остается меньше атомов, чем раньше, а значит, уменьшается и масса. Эта новая концепция может показаться спорной. Мысль о том, что материя состоит из крохотных элементов, которые можно разделить и собрать по-новому, но все же не разрушить, — очень сильная концепция, которая восходит к древнегреческому философу Демокриту. Теория Эйнштейна опровергает такое представление об устройстве мира, предлагая рассматривать мир как нечто более призрачное, где все может появляться ниоткуда и исчезать в никуда. В действительности этот цикл разрушения и созидания осуществляется в наше время в плановом порядке — в ускорителях элементарных частиц. Но мы вернемся к этой теме немного позже.

А теперь перейдем к заключительной части. Как мы уже не раз подчеркивали, в контексте пространственно-временного континуума очень важно исходить из того, что с — это не просто скорость света, а универсальная предельная космическая скорость. В предыдущей главе мы действительно пришли к выводу о том, что с — это скорость света, но только после того, как сравнили ее с результатами, полученными в главе 3. Теперь мы можем сделать это, не прибегая к идеям, выходящим за рамки концепции пространства-времени. Мы попытаемся найти альтернативное толкование постоянной с из уравнения E = mc², которое будет отличаться от понятия «предельная космическая скорость».

Ответ может крыться в еще одном невероятном и хорошо замаскированном свойстве уравнения Эйнштейна, описывающего соотношение между массой и энергией. Для проведения дальнейших изысканий нам необходимо отказаться от принятых ранее приближений и записать временную и пространственную составляющие четырехмерного вектора энергии импульса в точной форме. Энергия объекта, являющаяся временной составляющей четырехмерного вектора энергии импульса (умноженная на с), равна γmc², а импульс, который представляет собой пространственную часть четырехмерного вектора энергии-импульса, равен γmv. Теперь зададим вопрос, который на первый взгляд может показаться странным: что произойдет, если объект будет иметь нулевую массу? Поверхностный анализ позволяет предположить, что если масса объекта была бы равна нулю, то этот объект всегда имел бы нулевую энергию и нулевой импульс и в этом случае не оказывал бы ни на что никакого влияния и вообще мог бы не существовать. Однако одна математическая тонкость говорит о том, что это не так. Эта тонкость — в значении γ. Как вы помните, Когда объект движется со скоростью, стремящейся к с, значение γ стремится к бесконечности, поскольку мы должны разделить единицу на ноль (квадратный корень из нуля равен нулю). Таким образом, мы имеем необычную ситуацию в весьма специфическом случае, когда масса равна нулю, а скорость — с. В математических формулах, описывающих как импульс, так и энергию, мы получаем бесконечность, умноженную на ноль, — значение, не определенное математически. Другими словами, в таком виде эти уравнения бесполезны, но, что очень важно, у нас нет права делать вывод о том, что в случае частиц без массы их энергия и импульс обязательно должны быть нулевыми. С другой стороны, мы можем поставить вопрос так: что происходит с отношением энергии к импульсу? Разделив E = γmc² на p = γmv, мы получим отношение E/p = c²/v, которое в частном случае v = c дает нам вполне осмысленное уравнение E = cp. Следовательно, вывод таков: энергия и импульс могут существенно отличаться от нуля даже для объекта с нулевой массой, но только при условии, что этот объект перемещается со скоростью с. Таким образом, теория Эйнштейна допускает существование частиц без массы. Здесь нам и пригодятся результаты экспериментов, которые говорят о том, что свет состоит из частиц — фотонов и что по имеющимся данным масса этих частиц равна нулю. Следовательно, эти частицы должны двигаться со скоростью с. Здесь есть один важный момент: что делать, если когда-либо в будущем будет проведен эксперимент, который докажет, что на самом деле фотоны имеют крохотную массу? Хотелось бы надеяться, что вы сами сможете ответить на этот вопрос. А ответ таков: нам ничего не нужно будет делать, разве что вернуться к третьему постулату Эйнштейна, сформулированному в главе 3, и заменить его формулировкой «скорость безмассовых частиц — универсальная постоянная». Безусловно, новые экспериментальные данные не изменят значение с — изменится лишь то, что нам больше не придется отождествлять его со скоростью света.

Все это имеет большое значение. Постоянная с, используемая в формуле E = mc², ассоциируется со светом только потому, что, согласно экспериментальным данным, частицы света не имеют массы. С исторической точки зрения это было крайне важно, потому что позволило экспериментатору Фарадею и теоретику Максвеллу получить непосредственный доступ к феномену, который перемещался с особой универсальной предельной скоростью, — к электромагнитным волнам. Это сыграло ключевую роль в мышлении Эйнштейна. Возможно, без этого совпадения Эйнштейн не открыл бы теорию относительности. Нам не дано знать, что было бы в таком случае. «Совпадение» — подходящее слово для описания данной ситуации, поскольку, как мы увидим в главе 7, в физике элементарных частиц не существует фундаментальной причины, гарантирующей, что фотон — это частица без массы. Более того, возможно, в другой Вселенной так называемый механизм Хиггса мог бы придать фотонам ненулевую массу. Тогда было бы более корректно рассматривать постоянную с в формуле E = mc² как скорость частиц без массы, которые вынуждены перемещаться по Вселенной с этой скоростью. С точки зрения пространства-времени постоянная с введена для того, чтобы мы могли определить, как рассчитывать расстояние во временном измерении. В силу этого она вплетена в саму ткань пространства-времени.

По всей вероятности, от вашего внимания не ускользнул тот факт, что энергия, связанная с определенной массой, рассчитывается по формуле, один из элементов которой представляет собой квадрат скорости света. Так как скорость света огромна по сравнению с обычной скоростью (скоростью v в выражении ), нет ничего удивительного в том, что даже в достаточно малой массе заключена невероятно большая энергия. Мы не утверждаем, что уже найден способ получить прямой доступ к этой энергии. Но если бы мы действительно его имели, то какие же огромные запасы энергии были бы у нас в буквальном смысле под ногами! Мы можем даже сделать соответствующие расчеты, поскольку у нас есть все необходимые для этого формулы. Мы знаем, что кинетическая энергия частицы с массой m равна , а энергия, которая заключена в этой массе, равна mc² (будем исходить из предположения, что значение v невелико по сравнению с с; в противном случае придется использовать более сложную формулу γmc²). Давайте немного поиграем с цифрами, для того чтобы лучше представить, что именно означают эти уравнения.

Ежесекундно обычная лампочка излучает 100 джоулей энергии. Джоуль — это единица энергии, названная в честь Джеймса Джоуля, одного из величайших ученых, выходца из Манчестера. Одна сотня джоулей каждую секунду — это 100 ватт (единица измерения мощности названа так в честь шотландского инженера Джеймса Уатта). Девятнадцатое столетие было временем поразительных научных открытий, увековеченных в названиях единиц, которые мы теперь повседневно используем. Если в городе обитает 100 тысяч жителей, то приемлемая оценка потребности в электроэнергии такого города составляет около 100 миллионов ватт (100 мегаватт). Для того чтобы сгенерировать даже 100 джоулей энергии, необходимо приложить достаточно большие механические усилия, примерно эквивалентные движению теннисного мяча со скоростью около 220 километров в час (скорость подачи мяча профессиональным теннисистом). Вы можете сами проверить эту величину. Масса теннисного мяча составляет около 57 граммов (или 0,057 килограмма), а 220 километров в час — это почти то же самое, что 60 метров в секунду. Подставив эти числа в формулу , получим кинетическую энергию, равную 0,5 × 0,057 × 60 × 60 джоулей. Один джоуль можно определить как кинетическую энергию объекта массой два килограмма, движущегося со скоростью метр в секунду (именно поэтому мы перевели скорость из километров в час в метры в секунду). Вы можете сами вычислить результат умножения. Таким образом, понадобился бы целый шквал теннисных мячей (каждую секунду), для того чтобы обеспечивать энергией всего одну электрическую лампочку. В действительности эти мячи должны были бы двигаться еще быстрее или попадать в цель еще чаще, поскольку нам нужно было бы извлекать из них кинетическую энергию, переводить ее в электрическую (посредством генератора) и обеспечивать ее поступление в электрическую лампочку. Разумеется, это слишком большие усилия для обеспечения энергией всего одной лампочки.

Какая масса нам понадобилась бы для выполнения той же работы, будь у нас возможность применить теорию Эйнштейна и превратить эту массу в энергию? Эта масса должна быть эквивалентна энергии, разделенной на скорость света в квадрате, то есть 100 джоулей разделить на возведенные в квадрат 300 миллионов метров в секунду, что составляет около 0,000000000001 грамма, или, если словами, одна миллионная одной миллионной (то есть одна триллионная) доли одного грамма. Таким образом, нам достаточно было бы разрушать всего один микрограмм вещества каждую секунду, чтобы обеспечить электроэнергией целый город. В одном столетии 3 миллиарда секунд, значит, нам понадобилось бы три килограмма вещества для того, чтобы питать город электроэнергией на протяжении сотни лет. Одно можно сказать совершенно точно: масштаб энергетического потенциала, который заключен в материи, отличается от всего того, к чему мы привыкли, и способность высвобождать эту энергию позволила бы нам решить все энергетические проблемы планеты.

Позвольте, прежде чем двигаться дальше, высказать еще одно, последнее соображение. Заключенная в массе энергия кажется просто астрономической, если использовать ее здесь, на Земле. Существует большой соблазн объяснить это тем, что скорость света — очень большое число, но это означало бы упустить из виду самое главное. Дело, скорее, в том, что значение достаточно мало по сравнению с mc², поскольку скорость, с которой мы привыкли иметь дело, очень небольшая по сравнению с предельной космической скоростью. Причина того, что мы живем в мире малых энергий, в конечном счете связана с мощностью сил природы, в частности с относительной слабостью таких сил, как электромагнетизм и гравитация. Мы рассмотрим эту тему более подробно в главе 7, когда совершим путешествие в мир физики элементарных частиц.

Людям понадобилось почти полстолетия после открытий Эйнштейна, прежде чем они нашли способ извлекать из вещества значительное количество энергии массы; такое разрушение массы используется сейчас в атомных электростанциях. В разительном контрасте с этим природа применяет закон E = mc² миллиарды лет. Это поистине источник жизни, ведь без него наше солнце не горело бы и земля погрузилась бы в вечный мрак.

Отправить

Шаварш

ок

Tolik

Go read