Кролики, орлы и решки

Определяющее свойство последовательности Фибоначчи – что каждое число в ней есть сумма двух предыдущих – было получено из чисто теоретического описания размножения кроликов. В этом определении ничто не намекало на то, что воображаемая закономерность кроличьей плодовитости найдет воплощение во множестве природных и культурных явлений. Однако еще маловероятнее было бы предположение о том, что эксперименты с основными свойствами самой этой последовательности проложат путь к пониманию математики неупорядоченных систем. Однако именно это произошло в 1999 году. Специалист по информатике Дивакар Вишванат, занимавший временную должность младшего научного сотрудника в Институте математических исследований в Беркли, отважился задать вопрос «А что, если», который неожиданно привел к открытию очередного «особенного» числа: 1,13198824…

Красота открытия Вишваната во многом объясняется простотой его главной идеи. Вишванат всего-навсего задался вопросом: что, если начать с двух чисел 1 и 1, как в изначальной последовательности Фибоначчи, но потом не просто складывать два числа и получать третье, а бросать монетку, чтобы решать, складывать их или вычитать последнее число из предпоследнего. Например, можно решить, что орел – это сложение, и тогда третье число будет 2, а решка – вычитание, и тогда третье число будет 0. Продолжим в том же духе – каждый раз будем бросать монетку, чтобы решить, прибавлять последнее число или отнимать, чтобы получить следующее. Например, при последовательности результатов бросков ОРРООРОРРО получится последовательность 1, 1, 2, –1, 3, 2, 5, –3, 2, –5, 7, 2. А если результаты бросков, что крайне маловероятно, будут ООООООООООООООООООО, у нас получится первоначальная последовательность Фибоначчи.

Члены последовательности Фибоначчи увеличиваются очень быстро, как степень золотого сечения. Вспомним, что семнадцатое число в последовательности, например, получается, если возвести золотое сечение в семнадцатую степень, поделить на квадратный корень из 5 и округлить результат до ближайшего целого числа (1597). А поскольку последовательности Вишваната генерируются при помощи совершенно случайной череды бросков монетки, вовсе не очевидно, что в результате получится плавная закономерность роста, даже если брать только модули чисел, игнорируя минусы. Однако, представьте себе, Вишванат обнаружил, что если брать только модули чисел, не обращая внимания на минусы, то значения чисел в его случайной последовательности все равно возрастали по строго предсказуемой, определенной закономерности. Оказалось, что с вероятностью почти 100 % сотый член любой такой последовательности всегда оказывается близок к сотой степени особого числа 1,13198824…, и чем дальше, тем ближе оказываются члены последовательности к соответствующей степени этого числа. Чтобы вычислить его, Вишванату пришлось применять фракталы и опереться на фундаментальную теорему, которую еще в начале 1960 годов сформулировали Гиллель Фюрстенберг из Еврейского университета в Иерусалиме и Гарри Кестен из Корнельского университета США. Эти математики доказали, что модуль достаточно далекого члена последовательности в целом классе случайно генерируемых последователей приближается к соответствующей степени некоего определенного числа. Однако Фюрстенберг и Кестен не знали, как вычислить это определенное число, а Вишванат придумал, как это сделать.

Значение трудов Вишваната заключается не только в открытии новой математической константы, что само по себе очень важно, но и в том факте, что она прекрасно показывает, как совершенно случайный процесс может привести к полностью детерминированному результату. Такого рода научные проблемы встречаются и во множестве природных явлений, и в электронных устройствах. Например, звезды вроде нашего Солнца вырабатывают энергию в ядерных «топках», находящихся в центре звезды. Однако чтобы мы увидели сияние звезд, нужно, чтобы огромное количество излучения – так называемых фотонов – пробилось из недр звезды к поверхности. Фотоны не просто пролетают звезду насквозь со скоростью света. Они мечутся туда-сюда, их рассеивают, поглощают и снова излучают атомы и электроны, составляющие газ на их пути, и все это вроде бы происходит случайно. Однако итог неизменен: проделав довольно-таки случайный путь, занимающий в случае Солнца примерно 10 миллионов лет, излучение все же покидает звезду. Мощность излучения с поверхности Солнца определяла и продолжает определять температуру на Земле и дала возможность зародиться жизни. Труды Вишваната и последующее изучение случайных последовательностей Фибоначчи прибавило к нашему математическому инвентарю дополнительные инструменты, объясняющие поведение неупорядоченных систем. Однако открытие Вишваната преподало нам и другой важный урок: даже тривиальная на первый взгляд математическая задачка, которой от роду восемьсот лет, все равно способна на новые сюрпризы.

Может быть, Бог – математик?

…Я собираюсь исследовать человеческие пороки и глупости геометрическим путем… Таким образом, аффекты ненависти, гнева, зависти и т. д., рассматриваемые сами в себе, вытекают из той же необходимости и могущества природы… Итак, я буду трактовать о природе и силах аффектов и могуществе над ними души по тому же методу, следуя которому я трактовал в предыдущих частях о боге и душе, и буду рассматривать человеческие действия и влечения точно так же, как если бы вопрос шел о линиях, поверхностях и телах.

Барух Спиноза (1632–1677), «Этика» (пер. Н. Иванцова)

Складывая два и два, математик упорно получает четыре, как бы ни ныл любитель, что ему хочется три, и как бы ни вопил критик, что ему требуется пять.

Джеймс Макнил Уистлер (1834–1903)

Евклид дал определение золотому сечению, поскольку был заинтересован в применении этой несложной пропорции для построения правильного пятиугольника и пентаграммы. Если бы практическое применение золотого сечения этим и ограничивалось, я не стал бы писать эту книгу. Золотое сечение приносит нам столько радости и сегодня во многом потому, что не скупится на сюрпризы. Оказалось, что золотое сечение, с одной стороны, самая простая из непрерывных дробей (и при этом «самое иррациональное» из всех иррациональных чисел), а с другой – сущность бесконечного множества сложнейших природных явлений. Золотое сечение выскакивает, как чертик из табакерки, всякий раз, когда пересекается простое и сложное, Евклидова геометрия и геометрия фракталов.

Пожалуй, удовольствие от нежданных появлений золотого сечения на удивление близко к чувственному визуальному удовольствию от произведения искусства. А это заставляет задаться вопросом, какого рода эстетические критерии применимы в математике, а конкретнее – что, собственно, имел в виду знаменитый английский математик Годфри Гарольд Харди (1877–1947), когда сказал: «У математика, как и у поэта и у живописца, должны получаться красивые узоры».

Вопрос этот не из простых. Когда я рассказывал о психологических экспериментах, изучавших визуальную привлекательность золотого сечения, то умышленно избегал слова «красивый». Ту же линию поведения я изберу и здесь, поскольку определение красоты связано с неопределенностью. В какой степени глаз взирающего на математические выкладки воспринимает их красоту, прекрасно видно на примере истории, которую рассказали Филипп Дж. Дэвис и Реубен Херш в своей прекрасной книге «Опыт общения с математикой» (Philip J. Davis, Reuben Hersh. The Mathematical Experience, 1981).

В 1976 году делегация выдающихся математиков из США была приглашена в КНР, чтобы выступить с циклом лекций и провести ряд неофициальных встреч с китайскими математиками. Впоследствии делегация опубликовала доклад под названием «Чистая и прикладная математика в КНР». Под «чистой» математикой сами математики обычно подразумевают те области этой науки, которые, по крайней мере на сторонний взгляд, не имеют прямого отношения к миру вне разума ученого. В то же время нам следует понимать, что мозаики Пенроуза и случайные последовательности Фибоначчи, в частности, представляют собой два из великого множества примеров, когда «чистая» математика превращается в «прикладную». В докладе был приведен диалог между принстонским математиком Джозефом Дж. Коном и одним из китайских математиков, которые принимали делегацию. Диалог был о «красоте математики» и произошел в шанхайском университете Хуа Тун.

Кон: Неужели вы не должны демонстрировать красоту математики? Разве она не вдохновляет студентов? Остается ли место для красоты в науке?

Ответ: Главное требование – производительность.

Кон: Это не ответ.

Ответ: Геометрия была разработана в практических целях. Эволюция геометрии не могла удовлетворить нужды науки и технического прогресса, и в XVII веке Декарт открыл аналитическую геометрию. Он анализировал поршни и токарные станки и одновременно – принципы аналитической геометрии. Труды Ньютона обусловлены развитием промышленности. Ньютон сказал: «Основа любой теории – общественная практика». Общепринятой теории красоты не существует. Одним кажется красивым одно, другим – другое. Социалистическое строительство – это очень красиво, это вдохновляет наш народ. До Культурной революции некоторые из нас верили в красоту математики, однако не могли решить практических задач, а теперь мы имеем дело с газовыми и водопроводными трубами, с кабелями и прокатными станами. Мы делаем это на благо страны, и рабочие это ценят. Это чувство и есть настоящая красота.

Поскольку, как недвусмысленно заявлено в этом диалоге, едва ли существуют официальные, общепризнанные критерии красоты в математике и правила, согласно которым их следует применять, я и предпочту говорить лишь об одной конкретной составляющей математики, которая неизменно доставляет удовольствие как специалистам, так и неспециалистам: о способности изумлять.