Теорема Фалеса – хороший пример того, как, рассуждая в понятиях геометрии, можно прийти к неочевидному выводу о свойствах окружностей и треугольников. Фалес или кто-либо другой был первым, кто доказал эту теорему, для нас она представляет интерес, так как демонстрирует, что древние греки знали о геометрии до Евклида.

Рассмотрим любую окружность. Пусть прямая пересекает ее по диаметру. Точки пересечения этой прямой с окружностью обозначим A и B. Выберем в любом месте окружности точку P, не совпадающую ни с A, ни с B, и соединим точки A и B с точкой P отрезками. Диаметр AB и отрезки AP и BP образуют треугольник ABP. Теорема Фалеса гласит, что такой треугольник всегда является прямоугольным, то есть его угол при вершине P всегда равен 90°.

Хитрость в доказательстве этой теоремы заключается в том, что необходимо из центра C окружности провести в точку P радиус CP. При этом треугольник ABP окажется разделен на два треугольника: ACP и BCP (см. рис. 1). Оба эти треугольника являются равнобедренными, то есть такими, у которых две стороны равны. В треугольнике ACP стороны CA и CP являются радиусами окружности и, по определению окружности, равны (будем обозначать стороны треугольника по точкам, которые они соединяют). Аналогично в треугольнике BCP равны стороны CB и CP. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны между собой, поэтому угол α (альфа) между сторонами AP и AC равен углу между сторонами AP и CP, а угол β (бета) между сторонами BP и BC равен углу между сторонами BP и CP. Сумма углов любого треугольника равна удвоенному прямому углу, или, как сейчас принято говорить, 180°, поэтому если в треугольнике ACP третий угол между сторонами AC и CP обозначить α′ и точно так же обозначить β′ угол между сторонами BC и CP в треугольнике BCP, то будут верны равенства:

Сложив оба равенства и переставив слагаемые местами, получим:

Учтем, что α′ + β′ – это развернутый угол между сторонами AC и BC, то есть такой угол, лучи которого образуют отрезок прямой линии. Его величина составляет 180°, поэтому:

Следовательно, α + β = 90°. Но если посмотреть на рисунок 1, то легко увидеть, что угол α + β – это угол между сторонами AP и BP в исходном треугольнике ABP, значит, он является прямоугольным треугольником, что и требовалось доказать.

Рис. 1. Доказательство теоремы Фалеса. Теорема утверждает, что для любой взятой на окружности точки P угол между отрезками, проведенными из этой точки к концам произвольного диаметра AB, будет прямым.