Вернемся к общей теории относительности и определим понятие «деформированного» пространства-времени. Напомним сначала хроногеометрическую структуру «недеформированного» пространства-времени: ту, что имеет место в специальной теории относительности, в том виде, как она определена Пуанкаре и Минковским. Эта структура задается с помощью квадрата интервала между двумя точками пространства-времени, т. е. между двумя событиями. Квадрат интервала между любыми двумя точками получается как алгебраическая сумма четырех квадратов путем обобщения теоремы Пифагора: три из этих квадратов (разностей по длине, ширине и высоте между двумя событиями) входят в сумму со знаком плюс, а четвертый квадрат (разности временных показаний, умноженной на скорость света) – со знаком минус. Исходя из этого геометрическое место точек, удаленных от заданной точки на квадрат интервала, равный +1, формирует в пространстве-времени не (гипер)сферу, а (гипер)поверхность, которая напоминает песочные часы, т. е. два конуса, соединенных узкой горловиной. Структура такого «недеформированного» пространства-времени является однородной, т. е. одной и той же повсюду в пространстве-времени. Какое бы событие мы ни выбрали для локального изучения пространства-времени, вокруг него мы увидим одинаковую структуру. Кроме того, эта структура является изотропной в том смысле, что в пространстве-времени не существует направления, которое играло бы выделенную роль. Здесь читатель, который смотрит на образ шахматной доски с набором песочных часов, представляющим эту структуру (см. рис. 3), возможно, подумает, что она имеет привилегированное направление в каждой точке пространства-времени. Действительно, каждые песочные часы, казалось бы, обладают осью симметрии: вертикальной осью, проходящей через центр песочных часов, вокруг которой можно вращать данные песочные часы, визуально не меняя их положения. Однако в действительности это кажущееся существование привилегированного направления является артефактом визуализации пространства-времени в трехмерном пространстве, которое зрительное восприятие человека интуитивно интерпретирует как евклидово пространство. В самом деле, вертикальная ось в этой визуализации представляет собой мировую линию наблюдателя, который находится «в состоянии покоя» в пространстве, но имеет непрерывное существование во времени. С другой стороны, принцип относительности говорит нам, что такой наблюдатель не определяет привилегированную систему отсчета. Любые другие наблюдатели, движущиеся с постоянной скоростью по отношению к данному, будут видеть идентичную структуру пространства-времени. Мировые линии этих наблюдателей «в движении» (но движущихся медленнее, чем свет) будут прямыми, наклоненными под углом менее 45° по отношению к «вертикали». Как следствие, если рассматривать конкретные песочные часы, все прямые, проходящие через их центр и остающиеся «внутри» этих песочных часов (т. е. не пересекающие их поверхность), будут осями симметрии для них, и, таким образом, ни одна из них не будет играть выделенную роль. Такова однородная и изотропная структура недеформированного «желе» пространства-времени.

Что же такое хроногеометрическая структура «деформированного» пространства-времени (которое обычно называют «искривленным»)? Это структура, в которой «расстояние-время» между двумя событиями по-прежнему дается определенным «квадратом интервала», но в которой, в отличие от случая пространства-времени Минковского, этот квадрат интервала имеет очень сложное математическое выражение для двух далеких событий. Зато, если рассмотреть очень близкие друг к другу события (как в пространстве, так и во времени), квадрат интервала будет определяться достаточно простой математической формулой, хотя и более сложной по сравнению с соответствующей формулой для пространства-времени Минковского. Как понял Эйнштейн в 1912 г., квадрат интервала между двумя событиями в деформированном пространстве-времени весьма напоминает квадрат расстояния между двумя точками искривленной поверхности, вложенной в обычное евклидово пространство.

В качестве примера искривленной поверхности возьмем поверхность Земли. Если рассмотреть небольшой участок земной поверхности, например участок в один квадратный метр, то, в принципе, его можно отождествить с небольшой частью плоскости (достаточно рассмотреть касательную плоскость к точке, расположенной недалеко от центра рассматриваемого участка). Таким образом, квадрат расстояния (т. е. расстояние, возведенное в квадрат) между двумя точками на этой небольшой поверхности будет в очень хорошем приближении равен квадрату расстояния между двумя точками на плоскости, который в свою очередь может быть получен с помощью теоремы Пифагора. Единственная сложность заключается в невозможности покрыть всю поверхность Земли с ее горами и долинами абсолютно регулярной сеткой координат (таких как длина и ширина).

На плоской поверхности, например на лежащем на столе листе бумаги, можно легко определить местоположение точки с помощью обычной прямоугольной сетки, какая используется в школьных тетрадках или на миллиметровой бумаге. Такую регулярную сетку уже невозможно реализовать на поверхности, имеющей всевозможные выпуклости и впадины. Чтобы зафиксировать любую точку на искривленной поверхности, мы, таким образом, используем два параметра, скажем x и y, которые больше не имеют простого смысла длины и ширины. Например, на поверхности Земли в качестве «первой координаты» x можно использовать долготу, а в качестве «второй координаты» y – широту. Следует отметить, что такие координаты можно использовать, даже когда земную поверхность невозможно аппроксимировать сферой: например, на возвышенности или в низине. При этом нет необходимости вводить третью координату (скажем, высоту над уровнем моря), поскольку двух первых координат (долготы и широты) будет достаточно, чтобы определить положение на Земле, а высота будет определяться некоторой функцией долготы и широты. Отсюда легко видеть, что если использовать сетку, определяемую долготой и широтой, на небольшой части поверхности Земли на склоне горы или ущелья, то эта сетка будет представлять собой деформацию привычной сетки из школьной тетрадки в клетку: поверхность по-прежнему будет разбиваться на ячейки двумя семействами линий, но каждая ячейка будет не квадратом, а чем-то вроде параллелограмма, точнее, ее стороны просто не будут равны друг другу и перестанут пересекаться под прямым углом.

Итак, локально можно сопоставить каждый небольшой фрагмент получившегося разбиения на ячейки с обычным разбиением на параллелограммы, сделанном на касательной плоскости. Обобщение теоремы Пифагора применительно к непрямоугольным треугольникам говорит нам, что квадрат расстояния между двумя узлами такой (плоской) сетки дается суммой квадратов разностей координат между двумя узлами и их удвоенным произведением. Чтобы определить квадрат расстояния между близкими точками вообще любой искривленной поверхности, точки которой фиксируются двумя координатами x и y, необходимо, таким образом, задать в каждой точке три величины: коэффициент перед квадратом dx² разности dx между первыми координатами двух точек, коэффициент перед квадратом dy² разности dy между вторыми координатами и коэффициент перед удвоенным произведением 2dxdy. [Мы рассматриваем математический предел, в котором точки бесконечно близки, отсюда символ d, обозначающий бесконечно малую разность.] Эти три коэффициента определяют геометрию (geometry) рассматриваемой поверхности и по этой причине обозначаются соответственно как g_xx, g_yy и g_xy, где буква g напоминает нам, что речь идет о геометрии.

Во времена обучения в Цюрихском политехническом Эйнштейн высоко ценил курс Карла Фридриха Гёйзера, посвященный «инфинитезимальной геометрии» поверхностей. Гёйзер читал лекции по теории, разработанной знаменитым математиком Карлом Фридрихом Гауссом и фактически изучающей тот самый квадрат расстояния между бесконечно близкими точками, про который мы только что говорили. В связи с этим в 1912 г. Эйнштейн вспомнил, что геометрия «деформированной» (или неплоской) поверхности определяется с помощью трех величин g_xx, g_yy, g_xy, заданных в каждой точке поверхности. Этот набор данных, определяющий для каждой точки поверхности значения трех величин g_xx, g_yy, g_xy, называется «геометрическим тензором», а точнее, «метрическим тензором» g. Эйнштейн понял, что ему требуется обобщение этого понятия на случай, когда (двумерная) поверхность заменяется на (четырехмерное) пространство-время. Математик Бернхард Риман, студент Гаусса, уже обобщил теорию Гаусса для деформированных пространств произвольных размерностей. Однако Риман рассматривал исключительно случай пространств, которые локально, т. е. в окрестности каждой точки, напоминают обычное евклидово пространство. Другими словами, он изучал пространства, в которых геометрическое место точек, разделенных с данной центральной точкой малым значением квадрата расстояния ε², имеет форму деформированной (гипер)сферы, т. е. представляет своего рода «мяч для регби». Эйнштейн понял, что ему требуется обобщить теорию Римана на случай, когда геометрическое место точек, разделенных с данной центральной точкой малым (положительным) значением квадрата интервала ε², имеет форму деформированных песочных часов.

Деформированное пространство-время, таким образом, определяется заданием для каждой точки такого рода деформированных песочных часов. На рис. 8 можно увидеть графическое представление этой идеи, а также сравнить ее с недеформированным случаем пространства-времени специальной теории относительности (см. рис. 3). Затем Эйнштейн понял, что такое деформированное пространство не может быть покрыто обычной квадратной сеткой, подобной той, что мы видим в школьных тетрадях, т. е. с помощью четырех обычных координат (длины, ширины, высоты и времени), использованных им в специальной теории относительности. Как и в случае поверхности Земли, нужно было использовать более общие координаты (аналогичные долготе и широте для деформированной сферы, см. рис. 7). Поскольку пространство-время является четырехмерным, необходимо иметь четыре координаты, чтобы точно определить какое-либо событие. Можно обозначить эти координаты различными способами, из которых наиболее распространенные: (x, y, z, t), (x₁, x₂, x₃, x₄) или (x₀, x₁, x₂, x₃).

Эйнштейн обнаружил (хотя и после долгих лет блужданий, колебаний и сомнений), что в выборе этих четырех координат имеется полная математическая свобода или, другими словами, что никакой конкретный способ фиксации точек пространства-времени не является заведомо предпочтительным. Исходя из этого он пришел к следующему выводу: законы физики должны иметь одинаковый вид в любой системе координат. Эйнштейн назвал этот постулат принципом общей относительности, так как изначально думал, что он является обобщением принципа относительности 1905 г., который ограничивался рассмотрением систем координат, используемых наблюдателями при равномерном относительном движении. Введение этого постулата позволило очень сильно ограничить допустимую форму законов «релятивистской гравитации» и, таким образом, приблизило Эйнштейна к его самому замечательному открытию, которое Дж. Томсон, Дирак и многие другие физики считали «величайшим достижением в истории человеческой мысли», а именно к созданию общей теории относительности или теории гравитации Эйнштейна.

Итак, первый этап создания общей теории относительности привел к утверждению, что хроногеометрия деформированного пространства-времени задается структурой, представленной на рис. 8: набор событий, удаленных от заданного на бесконечно малый (положительный) квадрат интервала ε², суть деформированные песочные часы (или на математическом языке – обобщенный гиперболоид). Для явного описания этой структуры необходимо в каждой точке пространства-времени определить математический объект, обозначаемый g и называемый хроногеометрическим или метрическим тензором. Этот тензор представляет собой набор из 10 коэффициентов, которые определяют форму теоремы Пифагора – Эйнштейна в произвольной системе координат. Отметим, что по счастливому стечению обстоятельств символ g может одинаково подразумевать как геометрию пространства-времени, так и гравитацию.