Как мы уже отметили, в СТО пространство и время нужно рассматривать как единый четырёхмерный континуум — его называют пространством Минковского. Тогда непривычные (для бытового восприятия) свойства теории объяснять и интерпретировать значительно легче. Пространство Минковского представляют в виде диаграммы

Рис. 5.2. Путь частицы на диаграмме пространство–время

с временной и пространственными осями. На временной оси в качестве отсчёта используется время, умноженное на скорость света — ct, это упрощает анализ, поскольку все данные имеют одинаковую размерность. Пространственные координаты, также для простоты, часто представлены только координатой x, хотя, конечно, подразумеваются все три. Кроме того, в отличие от общепринятых диаграмм, здесь роль функции играет время, а аргумента — пространственные координаты.

Диаграмма пространства Минковского, точно так же, как обычные диаграммы, используется для отображения в виде графика пути, который проходит материальная частица с течением времени. Если частица движется равномерно и прямолинейно — её путь будет прямой линией, а котангенс угла наклона к оси x равен скорости частицы в долях скорости света. На рис. 5.2 изображён путь такой частицы от начала координат до точки А. Прямые, направленные под углом 45°, отображают пути фотонов, движущихся со скоростью света как через начало координат, так и через точку А в разные стороны. Позже мы определим такие «фигуры» как световые конусы. Движение частицы от точки А возможно только внутри конуса, поскольку её скорость не может превышать световую.

Если частица движется произвольно, то её путь будет представлен кривой, а котангенс угла наклона касательной к оси x в какой-либо точке будет равен скорости частицы в момент, соответствующий этой точке.

Как в СТО, так и в общей теории относительности (мы увидим это позднее) ключевым понятием является метрическое пространство. Под этим понимается некое множество точек, переход между которыми осуществляется непрерывным образом и определено понятие расстояния между ними. Вспомним обычное пространство Евклида. Квадрат расстояния r между началом координат и точкой с декартовыми координатами х, у, z определяется по правилу: r² = х²+ у²+ z². Эта величина всегда положительная, за исключением случая, когда длина равна нулю.

Пространство Минковского тоже метрическое. Однако в нем расстояние между двумя точками называется интервалом и определяется непривычным образом. Квадрат интервала s между началом координат и какой-либо точкой 4–мерного пространства–времени (рис. 5.2) определяется по правилу:

s² = c²t² — х² — у² — z² = c²t² — r².

Временную координату ct и пространственные координаты Декарта х, у, и z, представляющие единую координатную сетку в пространстве Минковского, обычно называют координатами Лоренца. Как видно, временная и пространственные части в определении интервала входят с разными знаками. Из-за этого квадрат интервала может быть положительным, нулевым и даже отрицательным. Пространства, в которых расстояния определяются таким образом, называются псевдоевклидовыми.

Итак, пространство Минковского — это псевдоевклидово метрическое пространство, объединяющее время (длительность) и пространство (протяжённость, 3–мерное пространство Евклида).

Точки в пространстве Минковского называют событиями или мировыми точками. Таким образом, каждой мировой точке соответствует момент времени и точка в 3–мерном пространстве. А интервал — это расстояние между двумя мировыми точками или, в ряде интересных случаев, промежуток времени между двумя событиями.

Теперь попытаемся понять, как в рамках исходной системы отсчёта в пространстве Минковского выглядит другая инерциальная система отсчёта. Оси 0ct и 0x (см. рис. 5.2) в исходной системе образуют базис. Путь наблюдателя, связанного с исходной системой, направлен вдоль оси 0ct. Для него же ось 0x и параллельные ей линии — это сечения одновременности. Наблюдатель другой инерциальной системы движется прямолинейно и равномерно по отношению к первой. Тогда ясно, что его путь направлен вдоль наклонной прямой, например, 0A на рис. 5.2. Для движущегося наблюдателя сечения одновременности также наклонятся. Остаётся сделать вывод: чтобы перейти к базису движущейся инерциальной системы отсчёта нужно осуществить поворот исходного базиса. При этом угол поворота соответствует относительной скорости между системами. Вспомним, что две системы отсчёта связаны преобразованиями Лоренца. Именно поэтому такие повороты базиса называют лоренцевыми вращениями.

На рис. 5.3 на диаграмме пространства Минковского изображён базис неподвижной системы K с не штрихованными координатами, и базис движущейся в направлении оси 0x со скоростью V инерциальной системы отсчёта K’ с штрихованными координатами. Теперь выпишем преобразования Лоренца от одних координат к другим:

Преобразования дают возможность заключить, что обе системы отсчёта эквивалентны. Действительно, если выразить штрихованные координаты через не штрихованные, то получим те же самые преобразования:

с заменой знака «плюс» перед V на «минус» — по отношению к штрихованной системе не штрихов энная движется в противоположном направлении.

Одно из достоинств геометрической интерпретации пространства Минковского состоит в том, что лоренц-инвариантность выражается в инвариантности относительно лоренцевых вращений. В частности, значение интервала, записанного выше, не изменяется после поворота базиса, хотя теперь выражается через новые (штрихованные) координаты нового базиса. Чтобы убедиться в этом нужно лоренцевы преобразования (А) подставить в выражение для квадрата интервала, записанного выше. В результате получим:

то есть s = s'.

В инвариантности интервала нет ничего удивительного — это лишь геометрическое свойство пространства Минковского, а не следствие каких-то принципов. Действительно, поскольку интервал — это длина в метрическом пространстве, то эта величина не зависит от способов измерения (использования той или иной координатной сетки). Замечательно другое — известные геометрические свойства псевдоевклидовых пространств оказались весьма полезными для описания СТО.

Эффекты сокращения длины, замедления времени, сложение скоростей в СТО являются следствием лоренц-инвариантности. Остановимся на первых двух. Рассмотрим линейку, собственная длина которой l₀ — это длина в её системе покоя. Пусть система покоя для выбранной линейка — это система K' , которая движется относительно нас (системы К) со скоростью V. Тогда, если кон

Рис. 5.3. Переход к другой инерциальной системе на диаграмме пространства Минковского

цы линейки имеют координаты x₁' и x₂', то l₀ = x₂' - x₁'. Определим длину этого отрезка с точки зрения наблюдателя системы K. Для этого нужно в один и тот же (!) момент времени t определить координаты концов линейки x₂ и x₁ в системе К. Тогда для нас длина линейки буде иметь величину l = x₂ — x₁. Чтобы определить каждое из значений x₂ и x₁ через соответствующие штрихованные координаты используем первую часть преобразований Лоренца (Б) каждый раз с одним и тем же значением t. Затем составим разницу и получим l = l₀sqrt(1–V²/c²), то есть для нас (покоящейся системы K) движущаяся линейка становится короче.

Подтвердим вывод о замедлении времени. Находясь в системе К будем отслеживать ход часов в системе К' которые находятся в точке х'. Для нас часы в системе К идут одинаково во всех точках, поэтому часы системы K' можно сравнивать с любыми нашими. Не теряя общности, можно предположить, что х' = 0 и моменты первого сравнения в обеих системах также нулевые: t₁' = t₁ = 0.

Вопрос в том, как начнут разниться показания в любой следующий момент сравнения t₂ (а для системы K' — t₂'). Теперь удобнее использовать вторую часть преобразований Лоренца (А). Получаем t₂ = t₂'/sqrt(1–V²/c²). Как видно, показания часов в нашей системе К будут больше, чем в К', хотя в обоих случаях отсчёт начинался с нуля. Таким образом, движущиеся часы идут медленнее.

На этом этапе важно сделать замечание. Мы все больше убеждаемся, что пространство и время физически объединены в единое целое — пространственно–временной континуум. Действительно, и пространственные, и временные координаты участвуют в единых преобразованиях; инвариантная величина интервал построена как из временных промежутков, так и из пространственных отрезков. Несмотря на это, и пространство, и время сохраняют свою физическую сущность — протяжённость и длительность. Формально это различие состоит в том, что временная часть входит в интервал со знаком «плюс», а пространственная — со знаком «минус».

Мы уже отметили, что квадраты интервалов могут быть положительными, нулевыми и даже отрицательными. Для положительных — временная часть превосходит пространственную, и они называются времениподобными. Нулевые соответствуют распространению света и называются светоподобными; совокупность светоподобных, представляющая распространение световых лучей из какой-либо мировой точки, образует, так называемый, световой конус в пространстве Минковского. На рис. 5.4 такой световой конус относится к началу координат и делит прост ранет в о–время на две части: внутри и вне конуса. Наконец, для отрицательных квадратов интервалов, пространственная часть превышает временную, и они называются пространственноподобными.

Для нас более интересны времениподобные интервалы. Почему? Отрезок прямой 0А, соединяющий мировую точку внутри конуса и начало координат на рис 5.4 вполне можно интерпретировать как путь материальной частицы, движущейся прямолинейно и равномерно. Скорость её меньше скорости света, и поэтому путь находится внутри конуса. Квадрат интервала между точкой А и началом координат s² = c²t² — х_А² — положительный, и это относится ко всем мировым точкам внутри конуса, скажем А'. Наклон соответствующих отрезков пути меньше, чем у светового конуса. Если бы мы попытались интерпретировать отрезки пути с наклоном больше, чем у светового конуса, как путь материальной частицы, то

Рис. 5.4. Интервалы в пространстве Минковского

нужно было бы говорить о скоростях больших скорости света. Но для материальной частицы это невозможно, мы об этом ещё скажем.

Продолжим обсуждение времениподобных интервалов. На рис. 5,4 отрезок на временной оси, скажем, от начала координат до точки ct, определяет, конечно, такой интервал. В чем его смысл? Он соответствует наблюдателю, который покоится в этой инерциальной системе отсчёта, а соответствующий интервал определяет промежуток времени жизни наблюдателя между этими событиями: s = ct. После лоренцева вращения этот отрезок станет наклонным. (Другими словами: в другой инерциальной системе этот наблюдатель будет двигаться прямолинейно и равномерно.) Однако, в силу лоренц–инвариантности значение интервала для этого отрезка не изменится, хотя примет другое выражение: s = (c²t'² — х'²)^1/2. Это позволяет сделать важный вывод, давайте его зафиксируем:

Времениподобный интервал s между двумя событиями на мировой линии наблюдателя определяет промежуток собственного времени наблюдателя между этими двумя событиями: τ = s/с. Ещё и поэтому такие интервалы называют времениподобными.

Перейдём к обсуждению с вето подобных интервалов. Отрезок прямой ОС на конусе на рис. 5.4 вполне можно интерпретировать как путь фотона (луча света), движуще го прямолинейно и равномерно со скоростью света. Действительно, лучу света отвечают прямые х = ct и х = -ct. Это как раз подтверждает, что интервал между любыми двумя мировыми точками на такой прямой равен нулю, т. е. светоподобный. Например, между началом координат и точкой С: s² = c²t² — х_с² = 0, или между началом координат и точкой С', или между точками С и C' и т. д.

А теперь дадим ещё одно определение. Множество мировых точек, описывающее движения в зависимости от времени материальной частицы (в том числе и безмассовой, как фотон) на пространственно–временной диаграмме (в данном случае на диаграмме пространства Минковского) называется мировой линией. Если интервалы для любых двух точек на прямых мировых линиях времениподобны или светоподобны, то сами линии, соответственно, времениподобные или светоподобные. Конечно, мировые линии могут быть и искривлёнными, В этом случае, чтобы они соответствовали реальным частицам необходимо, чтобы углы наклона всех касательных не превышали угол наклона светового конуса. Тогда скорость частицы не превысит световую.

Также не нужно путать понятие мировой линии с обычной траекторией частицы в 3–мерном пространстве. Мировая линия — это путь на пространственной–временной диаграмме, траектория — это след, который оставляет зверёк в зимнем лесу.

Наконец, обсудим пространственноподобные интервалы. Если мы возьмём любую мировую точку вне конуса, скажем В, как на рис 5.4, то квадрат интервала между этой точкой и началом координат s² = c²t² — х_В² будет отрицательным, и он будет как раз пространственноподобным. Точно так же, это относится ко всем мировым точкам вне конуса, скажем B', поскольку пространственная часть интервала превышает временную. Наклон соответствующих отрезков больше, чем у светового конуса.

При лоренцевых вращениях в силу инвариантности все интервалы сохранят свои значения, а значит и тип, к которому относятся. То есть все мировые точки, которые были внутри конуса, там и останутся, то же относится к точкам вне конуса. Интересным является поведение светового конуса при таких вращениях. Поскольку скорость света во всех инерциальных системах отсчёта одинакова, то угол светоподобных отрезков не изменится (!), а это значит, что световой конус останется на месте.

На рис. 5.3 световой конус после лоренцева вращения не изменил своего положения, он относится как к покоящейся системе отсчёта с нештрихованными координатами, так и к движущейся — со штрихованными.

Теперь определим ещё одно важное понятие. Если для интервала между двумя событиями s² ≥ 0, то эти события могут быть соединены мировой линией, которая отвечает реальной частице или лучу света. Такие два события называют причинно связанными.

Если для интервала между двумя событиями s² < 0, то как бы мы не соединяли эти мировые точки непрерывными линиями, найдутся участки, где наклон касательной превышает наклон светового конуса. Такая линия не может быть отнесена к мировой линии какой-либо реальной частицы, а события, для которых s² < 0, называют причинно несвязанными.

Чтобы чувствовать себя уверенней, используя свойства пространства Минковского, полезно осознать, как сравниваются времениподобные интервалы на пространственно-временной диаграмме. Снова возьмём отрезок на временной оси от начала координат до момента f, квадрат его интервала — s² = c²t². Затем рассмотрим наклонный отрезок прямой (времениподобной), также от начала координат до какой-либо мировой точки, но с той же временной координатой t (например, точки А, рис. 5.4). Его квадрат интервала — это s² = c²t²- х_А². Мы видим, что интервал наклонного отрезка меньше, чем интервал вертикального для одинакового значения t!

Это выглядит парадоксально, ведь визуально все наоборот. Но вспомним, что интервал — это не длина траектории, а время, которое в движущейся системе отсчёта (наклонный отрезок) течёт медленнее, чем в покоящейся. Действительно (рис. 5.3), из преобразований Лоренца следует, что время t'₂ движущихся часов меньше времени t₂ покоющихся. Ясно, что интервал наклонного отрезка станет ещё меньше, если мы увеличим наклон. Если наклон сравняется с наклоном светового конуса, то интервал обратится в нуль.

В заключение перечислим основные понятия, определённые только что, и утверждения, важные для понимания свойств пространства Минковского:

   • метрическое пространство — множество точек, переход между которыми осуществляется непрерывным образом и введено правило определения расстояния между точками;

   • мировая точка или событие — точка на диаграмме пространства Минковского (в 4–мерном пространстве-времени);

   • мировая линия — совокупность мировых точек на диаграмме пространства Минковского, описывающая движение в зависимости от времени материальной массивной или безмассовой частицы;

   • пространство Минковского — псевдоевклидово метрическое пространство, в котором связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, определяется интервалом, сохраняющимся при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой;

•интервал времениподобнып, если его квадрат положительный; в этом случае он эквивалентен промежутку собственного времени наблюдателя, следующего от одного события к другому прямолинейно и равномерно;

интервал светоподобный, если его квадрат равен нулю;

интервал пространственноподобный, если его квадрат отрицательный;

   • световой конус в данной мировой точке — совокупность всех с вето подобных прямых, проходящих через эту точку;

   • причинно связанные события — события, которые могут быть соединены мировой линией, все касательные к таким линиям имеют наклон, не превышающий наклона с вето подобных прямых;

   • лоренцевы вращения — переход в пространстве Минковского из одной инерциальной системы отсчёта в другую;

Теперь, используя представления о пространстве Минковского, продвинемся дальше.