Правильный многоугольник — это двумерная фигура с определенным числом η одинаковых сторон. В случае η = 3 получается равносторонний треугольник, при η = 4 — квадрат, при η = 5 — правильный пятиугольник и т. д. Многогранник — это трехмерная фигура, все стороны которой являются многоугольниками. Например, куб имеет шесть квадратных граней. Правильным называют многогранник, все грани которого представляют собой одинаковые правильные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Для работ пифагорейцев и Кеплера фундаментальное значение имеет факт, что существует пять, и только пять, правильных тел. Простейшее доказательство этого факта можно получить из открытого значительно позже Декартом и Леонардом Эйлером соотношения, связывающего число граней F, число ребер Е и число вершин И в любом многограннике:

Так, у куба 6 граней (F = 6) и 8 вершин (V = 8). Отсюда получаем: 8 — Ε + 6 = 2; 14 — Е = 2 и Ε = 12.

Уравнение (2) предсказывает, что у куба 12 ребер, и это соответствует действительности. Простое геометрическое доказательство уравнения (2) можно найти в книге Куранта и Роббинса «Что такое математика?». Пользуясь уравнением (2), легко доказать, что существует всего пять правильных тел.

Каждое ребро правильного многогранника является общей стороной двух прилегающих друг к другу граней. Возвращаясь к примеру с кубом: каждое ребро — это граница между двумя квадратами. Если мы подсчитаем все стороны всех граней многогранника ηF, то каждое ребро окажется сосчитанным дважды, то есть

ηF = 2E (3)

Обозначим r число ребер, которые сходятся в одной вершине. Для куба r = 3. Кроме того, каждое ребро соединяет две вершины. Если мы подсчитаем концы всех ребер /V, то вновь сосчитаем каждую вершину дважды, то есть

rV = 2E (4)

Подставляя выражения для V и F из уравнений (3) и (4) в уравнение (2), получаем:

Деление обеих частей уравнения на 2Е дает:  (5)

Мы знаем, что значение η не может быть меньше 3, поскольку треугольник является простейшим многоугольником. Нам также известно, что r не может быть меньше 3, поскольку в каждой вершине многогранника сходится не меньше трех граней. Если η и r одновременно будут больше 3, то с учетом того, что они являются целыми числами, левая часть уравнения (5) окажется меньше либо равна ¹/₂, и ни при каком значении Е оно не будет превращаться в равенство. Таким образом, осуществив reductio ad absurdum, мы доказали, что либо π =3 и r ≥ 3, либо r = 3 и π ≥ 3.

Если η = 3, уравнение (5) принимает вид

(1/3) + (1/r) = (1/2) + (1/Е) или  (6)

В данном случае r может принимать только значения 3, 4 и 5. (При η, равном и большем 6, уравнение не имеет решений.) Значения n = 3, r = 3 соответствуют многограннику, у которого в каждой вершине сходится по три треугольника. Согласно уравнению (6) он имеет 6 ребер; согласно уравнению (3) у него 4 грани; согласно уравнению (4) — 4 вершины. Очевидно, что это пирамида, или тетраэдр. При n = 3, r = 4 получаем восьмигранник, у которого в каждой вершине сходится по четыре треугольные грани, — октаэдр. Значения n = 3, r = 5 соответствуют икосаэдру — многограннику с двадцатью треугольными гранями, в каждой вершине которого сходится по пять треугольников.

Если r = 3, уравнение (5) приобретает вид и, повторив аналогичные рассуждения, мы получим, что η может принимать только значения 3, 4 и 5. При η = 3 вновь получается тетраэдр. Значению η = 4 соответствует многогранник, составленный из 6 квадратов, — куб, а при η = 5 результатом будет 12-гранник, состоящий из пятиугольников, — додекаэдр.

Другие сочетания целых чисел не подходят в качестве значений η и r, а значит, существует только 5 правильных многогранников. Этот вывод, полученный в результате красивых абстрактных математических рассуждений, оказал, как вы уже знаете, весьма глубокое воздействие на практические дела людей.