Предки Круза были выходцами из Дании. Дед будущего русского адмирала Эген фон Крюйс служил полковником в датской армии, имел небольшие поместья в Скогорской и Остергорской провинциях. Брат его Корнелий записался на службу к Петру I, а через несколько лет Эгер отправил к нему своего сына Иоганна. К этому времени Корнелий стал уже адмиралом, отличился в ряде баталий и был высоко ценим Петром. Рядом с дядей продвигался по службе Иоганн (ставший теперь Иваном). Изменения претерпела и фамилия Крюйсов, постепенно превратившаяся в Крюз, а затем в Круз.

Шли годы. В 1725 году не стало Петра. Вскоре капитан бригадного ранга Иван Круз, не поладив со всесильным Меншиковым, был вынужден подать в отставку и уехал с молодой женой в Москву. Там в октябре 1727 года у него появился первенец, наречённый Александром. Над колыбелью младенца отец повесил написанную маслом картину Гангутской виктории.

Детские годы Саши Круза были наполнены встречами с интересными людьми. Бывал неоднократно в доме отставного бригадира его земляк Витус Беринг, заходил почаёвничать сосед Василий Суворов, а с ним и сын, тоже Саша. Иван Круз денег на воспитание сына не жалел, нанимая ему лучших учителей и гувернёров. Оправдывая ожидания отца, мальчик рос не по годам смышлёным и любознательным. К двенадцати годам младший Круз уже владел несколькими языками, серьёзно увлекался геометрией, отлично чертил и рисовал. А ещё через пару лет с отцовского благословения надел зелёный кафтан морского кадета.

Учился Саша Круз блестяще и по выпуску был одним из первых. Медлительный, но обстоятельный, он всегда любил разбираться во всём до тонкостей, иногда изводя учителей своей въедливостью и дотошностью. По итогам первой морской кампании усердного гардемарина в числе нескольких наиболее способных молодых офицеров отрядили для получения практики дальних вояжей в английский флот. Без малого семь лет отплавал Круз под британским флагом, где только не побывал. Много полезного узнал, но и характером испортился: стал зол и беспощаден, чуть что — сразу матроса кулаком в зубы, и весь разговор! Тяжко служилось потом нижним чинам под его началом, потому и прозвище дали — Бешеный.

В Семилетнюю войну Круз, уже в лейтенантском чине, отличился при бомбардировке прусской крепости Кольберг, где получил сразу две тяжёлые раны. Долго лечился, снова плавал, а несколько лет спустя, уже в чине капитана 1-го ранга, принял под команду новейший 66-пушечный корабль «Святой Евстафий Плакида». В самое короткое время довёл его Круз до высшей степени совершенства. Нигде не было такой чистоты и такой обученной команды.

В июне 1769 года на грот-стеньге «Евстафия» поднял свой флаг командующий Средиземноморской эскадрой адмирал Григорий Спиридов. Шла русско-турецкая война, и эскадра спешила в эгейские воды. Плавание было не из лёгких. Под адмиральским флагом Круз участвовал в осаде крепости Корон. А затем была многодневная погоня за турецким флотом через всё Эгейское море.

Сражение при Хиосе было яростным. «Евстафий» дрался сразу с несколькими вражескими кораблями на предельно короткой дистанции. Стих ветер, и, влекомый течением, корабль Круза свалился на абордаж с флагманским турецким кораблём. Вскоре «Реал-Мустафа» был захвачен, но возникший на нём пожар потушить не сумели. Прогоревшая мачта рухнула прямо на крюйт-камеру «Евстафия», раздался взрыв…

Взрывом Круза отбросило в море. Вынырнув, он скинул с себя камзол, ботфорты и поплыл саженками к обломку мачты, за который уже держалось несколько человек. Существует легенда о спасении Круза, весьма, впрочем, правдоподобная. Когда к держащимся за мачту людям подошла шлюпка с одного из судов эскадры, в неё втащили всех, кроме Круза. Каперанг умолял взять и его, но матросы отталкивали Круза прочь. Узнав в обожжённом офицере ненавистного всем нижним чинам капитана «Евстафия», матросы схватили вёсла, чтобы забить его до смерти. Тогда-то захлёбывающийся каперанг и поклялся им, что, если ему сохранят жизнь, он больше никого пальцем не тронет. Крузу поверили, и жизнь сохранили. К чести каперанга, он не только не предпринял впоследствии никаких попыток разыскать своих обидчиков, которых за покушение на жизнь офицера ожидала бы неминуемая смерть, но и сдержал слово. На протяжении всей дальнейшей службы он пальцем не тронул ни одного матроса, запретив при этом заниматься рукоприкладством на своих кораблях и другим офицерам.

Через сутки после Хиосской баталии турецкий флот был решительно атакован и полностью уничтожен. По указу Екатерины II за проявленную храбрость в сражении Круз был награждён Георгиевским крестом 4-го класса.