Математика

Когда Эйнштейн вернулся из Праги в Цюрих в июле 1912 года, один из первых визитов он нанес своему другу Марселю Гроссману – составителю конспектов, которыми пользовался и Эйнштейн, когда пропускал математические классы в Цюрихском политехникуме. По двум геометрическим курсам в Политехникуме Эйнштейн получил 4,25 из 6. Гроссман, напротив, по обоим геометрическим курсам получил высший балл – 6, написал диссертацию по неевклидовой геометрии, опубликовал семь статей по этой теме. В 1912 году он занимал пост декана математического факультета⁷.

Эйнштейн сказал ему: “Гроссман, ты должен помочь мне, или я сойду с ума”. Он объяснил, что ему нужен математический аппарат, с помощью которого можно было бы описать гравитационное поле, а возможно, даже установить законы, которым оно подчиняется. Эйнштейн вспоминал о реакции Гроссмана на этот призыв: “Он мгновенно загорелся”⁸.

До тех пор научный успех Эйнштейна основывался на его уникальном чутье, позволявшем ему ощущать основные физические законы природы, а найти лучшее математического описание этих законов казалось ему менее сложным и интересным делом, и он оставлял это другим. Например, подобную задачу в отношении специальной теории относительности выполнил его цюрихский коллега Минковский.

Но к 1912 году Эйнштейн пришел к выводу, что математика может быть полезным инструментом не только для описания законов природы, но и для их открытия. Математика была сценарием, по которому действует природа. “Основная идея общей теории относительности состоит в том, что гравитация возникает из кривизны пространства – времени, – говорит физик Джеймс Хартл. – Гравитация – это и есть геометрия”⁹.

“Сейчас я работаю исключительно над проблемами гравитации, и мне кажется, что с помощью здешнего друга-математика я смогу преодолеть все трудности, – писал Эйнштейн физику Арнольду Зоммерфельду, – у меня возникло огромное уважение к математике, наиболее сложные разделы которой я до сегодняшнего дня по своему невежеству считал чистым излишеством!”¹⁰

После разговора с Эйнштейном Гроссман отправился домой, чтобы подумать о проблеме, и, когда просмотрел соответствующую литературу, вернулся к Эйнштейну и порекомендовал ему неевклидову геометрию, которая была разработана Бернгардом Риманом¹¹.

Риман (1826–1866) был вундеркиндом, который в возрасте четырнадцати лет изобрел вечный календарь и подарил его родителям. Он продолжил учебу в крупном германском центре математической науки – Геттингене – под руководством Карла Фридриха Гаусса, первым заинтересовавшегося геометрией искривленных поверхностей. Эту тему Гаусс предложил Риману в качестве диссертационной, и результаты этой работы впоследствии изменили не только геометрию, но и физику.

Геометрия Евклида описывает плоские поверхности, а на искривленных поверхностях она перестает быть справедливой. Например, сумма углов треугольника, нарисованного на плоской странице, равна 180°. Но посмотрите на глобус и представьте себе треугольник, образованный экватором в качестве основания, меридианом, проходящим от экватора к Северному полюсу через Лондон (долгота 0°) в качестве одной боковой стороны, и меридианом, проходящим от экватора к Северному полюсу через Новый Орлеан (долгота 90°), в качестве второй боковой стороны. Если вы посмотрите на этот треугольник, вы увидите, что все три его угла прямые, что, конечно, невозможно в плоском мире Евклида.

Гаусс и другие математики разработали различные типы геометрий, которые описывали поверхность сферы и других криволинейных поверхностей. Риман пошел дальше: он нашел способ описания поверхности независимо от того, как изменяется ее геометрия, – даже если при переходе из одной точки в другую поверхность превращалась из сферической в плоскую и потом в гиперболическую. А потом он пошел еще дальше и не ограничился исследованием кривизны двумерной поверхности, а, опираясь на работу Гаусса, нашел, как математически можно описать кривизну трехмерного и даже четырехмерного пространства.

Это сложная для понимания математическая концепция. Мы еще можем представить себе кривую линию или поверхность, но трудно представить искривленное трехмерное пространство и еще труднее – искривленное четырехмерное пространство. Но для математиков обобщение понятия кривизны на разные измерения является несложным делом – по крайней мере выполнимым. Оно выполняется с помощью введения метрики, которая определяет способ расчета расстояния между двумя точками в пространстве.

На плоской поверхности любой старшеклассник, изучавший алгебру, зная всего две нормальные координаты X и Y, с помощью старины Пифагора может вычислить расстояние между точками.

Но представьте себе плоскую карту (карту мира, например), которая представляет собой проекции полусфер земного шара на плоскость. Местность вблизи полюсов растянута, и измерение расстояний становится более сложным. Если взять две пары точек с одинаковыми расстояниями между ними, но расположенные в разных местах карты, фактические расстояния между двумя соответствующими точками в Гренландии и вблизи экватора нужно вычислять по-разному. Риман разработал способы, позволяющие математически вычислить расстояние между точками в пространстве независимо от того, каким образом оно искривлено и искажено¹².

Для этого он использовал характеристику, называемую тензором. В евклидовой геометрии используются векторы – характеристики, которые имеют как величину, так и направление (например, и скорость, и сила являются векторами), и таким образом, для их описания требуется больше одного простого числа. В неевклидовой геометрии, где пространство искривлено, для его характеристики нам нужен какой-то более сложный геометрический объект, который определяется с помощью упорядоченного набора (матрицы) большего количества чисел (компонентов). Эти объекты называются тензорами.

Метрический тензор является математическим инструментом, который показывает, как рассчитать расстояние между точками в данном пространстве. Для двумерных карт метрический тензор имеет три компоненты. Для трехмерного пространства он имеет шесть независимых компонент. А когда вы переходите к нашему знаменитому четырехмерному пространству, называемому пространством – временем, метрический тензор определяется уже десятью независимыми компонентами.

Риман развил концепцию метрического тензора, обычно обозначаемого символом gμν (произносится как джи-мю-ню). Он имеет шестнадцать компонентов, десять из которых независимы друг от друга и могут быть использованы для определения и описания расстояний в искривленном четырехмерном пространстве – времени¹³.

В работе по обобщению теории относительности Эйнштейн с Гроссманом стали использовать и тензор Римана, и другие тензоры, введенные итальянскими математиками Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивитой. Полезное свойство этих тензоров состоит в том, что они общековариантны, и это свойство оказалось важным, поскольку их общековариантность означает, что отношения между их компонентами остаются постоянными, даже когда происходят произвольные изменения или вращения системы координат в пространстве – времени. Другими словами, компоненты этих тензоров могут подвергаться множеству преобразований, связанных с изменениями системы отсчета, но основные закономерности, определяющие соотношения компонент тензора, должны оставаться неизменными¹⁴.

Когда Эйнштейн формулировал свою общую теорию относительности, главной его целью было найти математические уравнения, описывающие два взаимодополняющих процесса.

1. Нужно определить закон движения материи при воздействии на нее гравитационного поля.

2. Нужно определить, как искривится пространство – время под действием гравитационного поля, создаваемого в нем материей.

Его невероятно проницательная догадка состояла в том, что гравитация может быть определена как кривизна пространства – времени, и поэтому ее можно описать метрическим тензором. На протяжении более трех лет он будет судорожно искать правильные уравнения для того, чтобы связать воедино геометрические и физические характеристики¹⁵.

Годы спустя, когда его младший сын Эдуард спросит, чем он так знаменит, Эйнштейн ответит, используя простой образ для описания его грандиозной идеи о том, что гравитация – это искривление самой ткани пространства – времени. “Когда слепой жук ползет по поверхности изогнутой ветки, он не замечает, что в действительности движется по искривленной поверхности, – скажет он. – Мне повезло заметить то, что не заметил жук”¹⁶.