Геометрия пространства-времени и гравитация

98 лет тому назад, в начале XX века, в работах А. Эйнштейна по теории относительности пространство и время начинают собираться в некоторый универсальный комплекс. Этот комплекс, называемый интервалом, сохраняется при различных физических преобразованиях, при переходах от движущихся систем отсчета к неподвижным. Работы Эйнштейна привели нас к пониманию того, что пространство и время нельзя отделять одно от другого, в каком-то смысле это единая сущность. Но в то же время нельзя отождествлять время и пространство. Это все-таки разные физические понятия. И сейчас наши представления о пространстве и времени оказались уже существенно измененными в той эволюции знаний, которая прошла с конца XIX – начала XX века.

Если говорить о Вселенной, то даже во времена Эйнштейна казалось, что звезды и галактики на небе неподвижны. В 20-х годах XX века в библиотеке американского Конгресса прошла дискуссия о галактиках. Ее участники поделились на две группы: одни считали, что это газовые образования, а другие говорили, что галактики состоят из многих звезд, таких же, как и звезды, которые мы видим, но они отстоят от нас очень и очень далеко. И только благодаря развитию методов спектрального анализа, когда стали изучать свойства света от звезд и галактик, стало ясно, что все-таки по спектральным своим характеристикам галактики такие же, как звезды, а значит, они являются большим скоплением звезд.

В 1915 году А. Эйнштейн сформулировал теорию гравитации, самой неуловимой силы, которую, оказывается, труднее всего описать. В основу своей теории он положил очень элегантную идею: он ввел в физику геометрическое представление о гравитации, которое выдержало проверку временем. Прошло уже 85 лет, но мы считаем, что это одно из наиболее адекватных ее описаний. Хотя в уравнениях Эйнштейна пространство и было связано со временем, но при описании Вселенной это было некое статическое образование, которое никуда не исчезало, не сжималось, не расширялось. Единственное, что ввел Эйнштейн по сравнению с Ньютоном, это то, что пространство совсем не обязано быть евклидовым, то есть плоским, таким, к какому мы привыкли в повседневной жизни.

Возможность существования другой геометрии доказали математики XIX века. Например, в этой аудитории есть три измерения: координаты, связанные с длиной, с шириной и с высотой, это наше трехмерное пространство. Если мы начнем чертить здесь геометрические фигуры, например нарисуем треугольник на плоскости и измерим сумму его углов, то она окажется равной 180° – это хорошо известный факт из школьной геометрии. Однако тоже хорошо известно еще из школы, что нельзя из плоского листочка сделать сферу, и наоборот, из сферы невозможно сделать плоский листочек (говоря научным языком, топология сферы отлична от топологии плоскости). Геометрия пространства на сфере обладает той особенностью, что сумма углов треугольника всегда больше 180°. Действительно, если мы возьмем треугольник с двумя сторонами, идущими по меридианам, и подсчитаем сумму его углов, то можем получить любое число, но всегда больше, чем 180°. Это пример пространства положительной постоянной кривизны. А в XIX веке, еще до Лобачевского, Ф. Бойяи, очень талантливый венгерский математик, написал Гауссу письмо, в котором говорил, что существует пространство с постоянной отрицательной кривизной. Такое пространство вообразить достаточно сложно, его образом является поверхность седла. Хотя там кривизна не постоянная, но, тем не менее, этот пример дает правильное качественное представление. Если на поверхности седла нарисовать треугольник, то сумма его углов всегда меньше 180°. Других классификаций пространств в этом смысле не бывает. Пространство может обладать либо нулевой кривизной, как плоский листок, где сумма углов треугольника всегда 180° (причем как ни изгибай этот листок, как его ни крути, он всегда останется математически плоским), либо постоянно положительной кривизны, либо постоянной отрицательной кривизны.

Нестационарная Вселенная

Одна из колоссальных заслуг Эйнштейна состояла в том, что он создал теорию всемирного тяготения, в которой пространство, удовлетворяющее уравнениям этой теории, может иметь либо постоянную положительную кривизну, либо постоянную отрицательную, либо быть плоским. Но уже в 1915 году он заметил совершенно необыкновенную вещь. Он записал свои знаменитые уравнения и обнаружил, что независимо от того, какова геометрия пространства Вселенной, оно у него получалось нестационарным. Что это означает? Это означает, что между двумя точками в таком пространстве расстояние не могло оставаться постоянным, оно либо уменьшалось, либо увеличивалось. Это его озадачило, потому что не было ни одного факта, астрономического или какого-то еще, который бы утверждал, что Вселенная нестационарна. Даже следов этого не было, и для того, чтобы убрать нестационарность, которая получалась из его уравнений, он просто насильно, «руками» ввел некое дополнительное слагаемое, которое называется космологической постоянной и компенсирует действие гравитации. Потом он писал, что введение космологической постоянной было самой крупной ошибкой в его жизни. Почему? Да потому, что в 1929 году Хаббл обнаружил, что Вселенная расширяется, то есть все галактики не неподвижны, а разбегаются, происходит постоянное расширение пространства всей Вселенной.

Иногда задают вопрос: «А что, в этой аудитории пространство расширяется или не расширяется?» Раньше мы говорили: «Не бойтесь, не расширяется». Можете себе представить, как быстро все меняется! Еще пять лет назад я говорил студентам, что гравитационно связанные системы, такие, как Земля, Луна, Солнечная система или наша Галактика, находятся в стационарном состоянии и в космологическом расширении Вселенной не участвуют, а в последние годы в этом представлении произошла целая революция, связанная с открытием ускоренного расширения Вселенной, и поэтому вопрос о космологическом расширении даже в малых масштабах (включая атомные) приобрел определенный смысл.

Итак, Вселенная расширяется. Первым, как известно, это теоретически заметил Александр Александрович Фридман, было это в 1924 году. В Петербурге, тогда он назывался Петроградом, он преподавал в Артиллерийском училище, читал красноармейцам курс баллистики, а вечерами решал уравнения Эйнштейна. Он первым нашел решение этих уравнений в применении ко всей Вселенной и обнаружил, что стационарных решений нет. Фридман как математик всесторонне исследовал эту задачу и показал, что если описывать Вселенную в рамках общей теории относительности, то она обязательно должна или расширяться, или сжиматься и никогда не должна находиться в каком-то статическом состоянии. Он написал об этом Эйнштейну, Эйнштейн даже не ответил на его письмо, хотя было известно, что он его получил и читал. Он считал, что это полная чепуха, что нет оснований считать, что во Вселенной должна быть какая-то нестационарность.

Американский астроном Эдвин Хаббл открыл свой знаменитый закон в 1929 году, и пришлось признать, что Вселенная расширяется, хотя попытки сделать Вселенную стационарной продолжались и продолжаются до сих пор (сейчас не так активно), но тем не менее у нас нет ни одного серьезного указания, что это не так. Расширение Вселенной проявляется в разных экспериментах, по разным данным. Но раз это так, раз Вселенная расширяется, раз пространство нестационарно, возникло сразу несколько вопросов.

В начале времени

Если Вселенная расширяется сейчас, то в прошлом она должна была быть более компактной, все расстояния между объектами должны были быть меньше, и, соответственно, плотность должна быть выше. Если мы все это будем экстраполировать в далекое прошлое, то вообще должны придти к моменту, когда все физические величины, как говорится, уходят в бесконечность. Должны были существовать нулевой размер, бесконечная плотность. Мы не имеем права в физике работать с бесконечными величинами, и уж если говорить серьезно, то давайте будем работать до тех масштабов, до которых еще применимы известные законы физики. Эти малые масштабы получили название планковских. Их ввел в физику Макс Планк в начале XX века. Можно взять мировые постоянные: скорость света, постоянную Планка и постоянную гравитации, – и из них составить три величины с размерностями массы, длины и времени. Эти величины и носят название планковских единиц, и можно сказать (очень грубо, но правильно), что мы не можем идти в своем анализе на масштабы меньше планковских. Потому что тогда гравитация становится столь сильной, что нужно учитывать ее квантовые свойства. А все попытки проквантовать гравитацию до последнего времени не увенчались успехом. Сейчас есть некоторые идеи, но это уже отдельный разговор. Так вот эти масштабы очень маленькие, 10^-33 см. То есть, зная современную физику, подтвержденную огромной совокупностью лабораторных, астрономических и других экспериментов, мы имеем право идти на пространственные масштабы лишь до 10^-33 см.

Это, конечно, очень маленькая величина. Размер атома водорода – 10^-9 см, атомного ядра – 10^-13 см. А дальше мы ничего не знаем. Почему? Потому что если мы зондируем микромир с помощью ускорителей, с помощью экспериментов ядерной физики, то чем меньше масштаб, который мы хотим изучить, тем большую энергию мы должны придать частицам, и таким образом мы ограничены в своих возможностях просто мощностью современных ускорителей. С их помощью мы можем зондировать масштабы до 10^-16 см. От современных ускорителей – 10^-16 см, до планковских величин 10^-33 см, т. е. еще 17 порядков. Ясно, что таких ускорителей никто никогда не создаст, потому что просто не видно путей, как можно их сделать, тем более что каждый порядок по энергии дается колоссальным трудом, требует колоссальных денег, которые ни Конгресс США, ни наше правительство, просто никто не хочет выделять. А там может быть интересная физика.

Итак, астрономические наблюдения доказали, что пространство во Вселенной является нестационарным, а из физических соображений следует, что его можно анализировать вплоть до масштабов 10^-33 см. Если отвлечься от физики и говорить только о пространстве, долгое время, когда делали этот анализ, наталкивались на так называемый парадокс фридмановской космологии. Решения, которые получил Фридман, вошли в науку под названием «фридмановская космология». Если вы откроете какую-нибудь энциклопедию, изданную лет 10–15 назад, то там будет написано, что Вселенная может быть открытая или замкнутая. Открытая Вселенная бесконечно расширяется, замкнутая Вселенная расширяется до какого-то момента, а потом сжимается, плоская Вселенная тоже будет расширяться бесконечно, но по другому закону. Причем слова «открытая», «замкнутая» и «плоская» отождествлялись с геометрией Вселенной. У открытой Вселенной была геометрия пространства постоянной отрицательной кривизны, в ней сумма углов треугольника меньше 180°, у плоской – 180° и у замкнутой Вселенной сумма углов треугольника больше 180°.

Любопытно, что еще в конце 20-х годов XIX века Гаусс в Тюрингии пытался измерить кривизну пространства. На трех горах методом триангуляции он измерял углы треугольников и получал 180°. И хотя, согласно общей теории относительности, кривизна пространства у поверхности Земли все-таки есть, потому что Земля – это тяготеющее тело, но кривизна эта очень мала, а точность измерения была такая, что не позволяла ее заметить. Поэтому из его результатов автоматически не следовало, что пространство плоское.

«Раздувающаяся Вселенная»

Но вот к 80-м годам XX века появилось слишком много указаний на то, что ранняя Вселенная ведет себя совсем не так, как Вселенная, которую мы сейчас видим. Стало ясно: чтобы разрешить парадоксы, которые возникали при анализе очень ранней Вселенной, нужно так изменять пространство Вселенной, чтобы оно вело себя не так, как оно вело себя даже в соответствии с обычными классическими уравнениями Эйнштейна. В это время была предложена гипотеза, которая получила название «инфляционная Вселенная». Основная ее идея состоит в том, что для того, чтобы согласовать все наблюдения в нашей Вселенной, в очень ранние времена на планковских масштабах, при возрасте 10^-40–10^-43 секунды, надо вводить некую субстанцию, которую физики называют «скалярным полем». На самом деле эта субстанция не похожа на обычную материю, она не состоит из атомов – в те времена и атомов, конечно, никаких не было, ни молекул, ни электронов, ни фотонов, то есть ничего похожего на обычную материю, которая наблюдается сейчас во Вселенной и из которой состоит видимый мир. А было скалярное поле, которое обладало совершенно удивительными свойствами. Математически и физически правильная аналогия скалярного поля состоит в том, что рассматривается горка и шарик, который начинает медленно скатываться по горке, – и это скалярное поле тоже начало «скатываться» по этой «горке». Это наглядная аналогия уравнениям инфляционной модели. Причем оно скатывалось не просто так. В обычной жизни если вы станете на лыжи, то поедете с горки с ускорением. Здесь же введена еще некоторая сила трения, так что это скалярное поле начинает скатываться очень медленно, оно «ползет» по этой самой стеночке и в это время эффективно создает в той маленькой Вселенной колоссальную антигравитацию. Если гравитация действует как притяжение, то антигравитация действует как отталкивание. В результате Вселенная от этого маленького размера за очень короткое время, буквально за 10^-30 сек., увеличила свой размер в е⁷⁰ раз (е=2.71828… – это основание натурального логарифма). Маленький (планковский) размер первоначальной Вселенной на этой стадии превратился в колоссально большую область пространства. Причем нельзя думать, что эта Вселенная была погружена, как шарик, в некое объемлющее его еще большее пространство, и этот шарик увеличивал свои размеры относительно каких-то координат, – это неверная аналогия. Правильнее рассматривать равномерное увеличение всего пространства (хорошо известная двумерная аналогия – увеличивающаяся поверхность надуваемого воздушного шара; если бы мы были некими двумерными существами, живущими на этой – хочется сказать «в этой» – поверхности и не знающими о существовании «объемлющего» поверхность пространства, вопрос о том, куда расширяется эта поверхность, для нас не имел бы никакого смысла!).

Быстрое (говорят, инфляционное) расширение происходило, пока шарик падал «в самую низкую точку», в минимум потенциала. Здесь начинаются затухающие колебания (так как есть эффективное «трение»). Когда поле начинает колебаться вблизи минимума, оно теряет свою энергию. По современным представлениям, эти потери тратились на рождение элементарных частиц (кварков, лептонов, фотонов и др.), из которых впоследствии и образовалось современное вещество. В тот момент, через 10^-30 сек. после начала расширения Вселенной, стало рождаться обычное вещество. Это были не металлы какие-нибудь или атомы, это были кварки, электроны и фотоны, то есть самые элементарные частицы, и температура их была колоссальна. Здесь ничто не могло больше образоваться. Потом в расширяющейся Вселенной весь этот «первичный бульон» стал остывать, из него сначала появились протоны, нейтроны. Потом протоны и нейтроны через одну секунду после «начала» расширения (которое в англоязычной литературе называют Большим Взрывом) стали образовывать легчайшие ядра элементов (это называется эпохой первичного нуклеосинтеза) – в основном водорода, гелия и их изотопов. А Вселенная в это время продолжала расширяться и остывать (но уже, так сказать, по инерции – первичная субстанция, порождавшая антигравитацию, распалась). Температура в ту эпоху была примерно миллиард градусов.

Мы начали с возраста Вселенной в 10^-43 сек. и дошли до одной секунды, за это время распалось первичное скалярное поле и Вселенная обрела колоссальный размер. Насколько велик этот размер, сказать трудно. Размер современной причинно-связанной области Вселенной (как говорят, горизонта событий), определенный по недавним блестящим экспериментами по наблюдениям реликтового 3-градусного фона, порядка 10²⁸ см, а что за ней – мы не знаем. Границы этой области расширяются со скоростью света. Но сама Вселенная значительно больше, чем эти 10²⁸ см, во сколько раз – никто не знает. Может, она во столько же раз больше, может, еще в 10¹⁰⁰ раз больше V – все зависит от того, как происходило первичное расширение. При этом получается замечательный факт: какой бы топологически сложной ни была Вселенная на ранней стадии, невероятно сложную можно придумать топологию, но из-за того, что она в краткий миг расширилась в е⁷⁰ раз, все неоднородности, которые у нее были, выровнялись до такой степени, что внутри причинно-связанной области осталась практически плоская поверхность. Это основное предсказание этой теории – то, что мы должны жить в пространстве плоском, евклидовом. Ни геометрии Лобачевского, ни геометрии на сфере во Вселенной быть не должно (точнее говоря, поправки отличия свойств пространства от евклидовой геометрии могут сказываться на масштабах, заметно превосходящих размер современного горизонта событий, – так, для муравья на идеальной сфере с радиусом Земли в 6 тысяч километров его среда обитания с радиусом в несколько десятков метров кажется совершенно плоской!). И понадобилось 19 лет для того, чтобы в 1999 году с помощью наблюдений реликтового излучения удалось измерить эти самые знаменитые «углы треугольника» во Вселенной, причем сделано это было очень остроумным способом.

Пусть имеется некий стандартный метр. Если я буду удалять его от наблюдателя, его угловой размер будет уменьшаться и в конце концов превратится в очень маленькую точку, но если я знаю расстояние до этого объекта и знаю его угловые размеры, то я могу сказать, чему равны углы между лучами, которые исходят от краев этого метра, который мы наблюдаем. Итак, нужен был «стандартный метр», унесенный на далекое расстояние. Естественно, что во Вселенной с отрицательной кривизной наблюдался бы один угловой размер, с положительной – другой угловой размер, в плоской – третий. Причем, зная расстояние до «метра», эти углы можно было вычислить. Вот такой стандартный метр нашелся, он оказался скрыт в реликтовом микроволновом излучении. Оно образовалось примерно через 300 тысяч лет после начала расширения, когда протоны и электроны образовали атомы водорода, и фотоны стали свободно распространяться; до этого момента фотоны фактически были «заперты» среди большого количества рассеивающих их заряженных частиц. А после рекомбинации фотоны стали свободно распространяться и доходят до нас в настоящий момент времени. Естественно, из-за расширения Вселенной длины волн фотонов увеличиваются из-за эффекта Допплера, их энергия уменьшается и мы регистрируем «холодные» фотоны реликтового фона с температурой около 2,7 градуса Кельвина. По флуктуациям, то есть по неоднородностям температуры этого реликтового фона, который является наибольшим носителем информации о ранней Вселенной в настоящее время, удалось измерить геометрию Вселенной. Она оказалась с высокой степенью точности плоской. Если у нее и есть кривизна, то она совершенно ничтожная, необыкновенно маленькая, т. е. ее радиус гигантский. Если даже мы стоим на Земле и не замечаем ее кривизны, а ее радиус всего 6400 км, то представьте, что мы живем на шаре с радиусом 10²⁸ см! Свет будет идти до границы этой области 13 миллиардов лет, это невероятно далеко. И поэтому сумма углов треугольника в таком пространстве с колоссальной точностью составляет 180°. Любое пространственное сечение четырехмерной Вселенной в фиксированный момент времени обладает геометрией Евклида.

Евклид был гениальным человеком. Как всякий гениальный человек, несмотря на то, что он ничего не знал о современной Вселенной, он вывел верную геометрическую теорию, адекватно описывающую мир. Эйнштейн, несмотря на то, что ругал себя за введение космологической постоянной в уравнения гравитации, тоже был гениальным человеком. Почему? Потому что в конце 90-х годов из астрономических наблюдений выяснилось, что наша Вселенная, помимо того что расширяется, расширяется с ускорением. А это означает, что во Вселенной на больших масштабах действует сила антигравитации, сила отталкивания. Природа этой силы совершенно неясна, поэтому ее еще называют «темной энергией» по аналогии с загадочной «темной материей» вокруг галактик. Однако в отличие от «темной материи», которая создает силу гравитационного притяжения, как и обычная материя, «темная энергия» вызывает отталкивание в больших масштабах, Космологическая постоянная Эйнштейна является лишь одной из ряда возможностей для этого, но это не умаляет глубокое предвидение Эйнштейна, которое он сделал совсем с другой целью!

Реликтовое излучение и о чем оно повествует

Такова космическая история в кратком изложении. Осталось добавить несколько важных штрихов. Все галактики, которые мы видим и в одной из которой мы с вами живем, все структуры Вселенной образовались из ничтожных первичных квантовых флуктуаций (например, первичного скалярного поля в инфляционной модели). Что такое квантовые флуктуации? Это неустранимые колебания физических полей, которые нельзя убрать никакими преобразованиями. Согласно квантовой механике, любое физическое поле в своем минимальном состоянии должно немного колебаться. Это предсказание теории подтверждается экспериментально: например, при наблюдении Лэмбовского сдвига уровней в атоме водорода и в эффекте Казимира (притяжение проводящих пластинок в вакууме на малых расстояниях). Амплитуды этих квантовых флуктуаций выросли на стадии инфляции. И в момент, когда Вселенной было 300 000 лет (эпоха рекомбинации) и не было еще никаких галактик и звезд, они оставили свои следы в реликтовом излучении, потому что эти флуктуации носили характер звуковых волн, то есть существовали возмущения плотности, которые распространялись по всей тогдашней Вселенной. Никаких галактик еще не было, а возмущения плотности были. А когда у вас где-то сжато, где-то разрежено, то там, где сжато, температура больше, а где разрежено, температура меньше, и поэтому температура реликтового фона должна иметь неустранимые флуктуации, их открыли в 1992 году (эксперименты Реликт и Кобе). В январе 2003 года опубликовали последние карты неба, полученные со спутника WMAP, где отмечены эти флуктуации, они ничтожно малы. Так, средняя температура реликтового фона 2,7 градуса Кельвина, а флуктуации имеют температуру порядка нескольких стотысячных долей градуса Кельвина, то есть надо измерить на небе флуктуацию температуры реликтового фона с точностью до миллионных долей градуса Кельвина. Эти флуктуации за вычетом галактик изображены на рисунке. Видно, что излучение где-то горячее, где-то холоднее, но они действительно существуют. Это следы той эпохи, которая была в период между 10^-43 сек. и 300 000 лет с момента рождения Вселенной. А потом из этих флуктуаций родились галактики, в галактиках звезды, и поэтому все, что мы имеем, вся богатая астрономия и астрофизика ближнего космоса, ближней Вселенной – это все следы тех квантовых флуктуаций.

Это тоже не все. Оказалось, что львиную долю энергии во Вселенной занимают не материя, не излучение, а некая субстанция, о которой мы уже упоминали выше и которую обобщенно называют «темной энергией» или квинтэссенцией. Она разлита по всей Вселенной, как некая жидкость. Все вещество, из которого состоим мы с вами, все в этой аудитории, вся наша Земля, все звезды, все барионное вещество занимают примерно 4 % всей энергии во Вселенной, 27 % – это непонятная «темная материя», и около 70 % – это еще более непонятная «квинтэссенция».

Это непреложный наблюдательный факт, он удивителен, он непонятен. Это парадоксально. Начало XXI века, мы многое умеем, но мы понимаем только 4 % всего, из чего состоит Вселенная! Если о прошлом Вселенной можно говорить сколько-нибудь уверенно, потому что у нас есть астрономические наблюдения галактик и реликтового излучения, то о будущем Вселенной надо говорить с большой осторожностью. Прошедшие пять лет убеждают, что свойства пространства могут быть настолько сложными, непонятными, и через пять лет может оказаться, что все устроено еще тоньше. Хотя я думаю, что здесь работает принцип дополнительности, и ни один из экспериментов, ни одна из новых концепций не отменяет предыдущие.

Уверенно можно сказать только одно – каждое новое глобальное открытие в космологии ставит больше вопросов, чем дает ответов на уже существующие. Это и является важной движущей силой познания мира.

 

Константин Постнов, д-р физ. – мат. наук, МГУ

По материалам доклада на научном семинаре «Нелинейные системы»