Почему нужны общие знаменатели

Если знаменатели разные, это означает, что части разного размера.

Складывать половины с третьями напрямую нельзя — сначала нужно договориться, какими частями мы считаем.

Приведение к общему знаменателю — это не трюк, а способ привести дроби к одному масштабу.