Теперь подробнее
Рассмотрим квадратное уравнение общего вида
x² + bx + c = 0
где b и c — известные числа, а x — неизвестная величина, которую нужно найти.
Главная идея решения состоит в том, чтобы свести это уравнение к более простому виду, из которого значение x станет очевидным. Для этого используется метод выделения полного квадрата.
Сначала перенесём свободный член c в правую часть уравнения. Получим выражение
x² + bx = −c.
Теперь сосредоточимся на левой части. Наша цель — превратить её в квадрат некоторого выражения.
Чтобы это сделать, возьмём половину коэффициента при x, то есть b/2, и прибавим квадрат этой величины к обеим частям уравнения. Это важно: мы не можем изменить только одну сторону, иначе нарушится равенство. В результате уравнение примет вид
x² + bx + (b/2) ² = (b/2) ² — c.
Левая часть теперь легко узнаётся как полный квадрат:
(x + b/2) ² = b²/4 — c.
Далее извлекаем квадратный корень из обеих частей. От этого уравнение не перестанет таковым быть, ведь мы можем делать с уравнением многое, важно лишь сделать это симметрично: с обеими частями уравнения.
Нужно учитывать, что квадратный корень даёт два значения — положительное и отрицательное. Поэтому получаем
x + b/2 = ±√ (b²/4 — c).
Остаётся выразить x. Для этого вычтем b/2 из обеих частей:
x = −b/2 ± √ (b²/4 — c).
Если привести выражение под корнем к общему знаменателю, формула примет более привычный вид:
x = (−b ± √ (b² — 4c)) / 2.
Так мы получаем два решения, одно решение или ни одного действительного решения — в зависимости от того, положительно, равно нулю или отрицательно выражение под корнем b² — 4c, которое называют дискриминантом.
