Войти в систему
Войти с помощью соц. сетей:
8
Наши умственные способности ограниченны… а мир вокруг нас бесконечен, и цель человеческой жизни — познать как можно больше из этой бесконечности.
Если вы стремитесь к определенности в безумной жизни, то лучшего места для ее обретения, чем сказочный остров Математики, не найти. Его жители проводят дни и ночи за созданием вожделенного противоядия от неопределенности: 100%-ного доказательства, не требующего веры.
Ведь так?
Нет, не так.
Некоторые математики, несомненно, хотели бы жить на таком волшебном острове. Покойная математик Джулия Робинсон считала, что математики — «это особая нация, принадлежность к которой не зависит от места рождения, расы, вероисповедания, пола, возраста и даже времени».
Но я, как математик, уверяю вас, что такой вещи, как доказательство, не требующее веры, не существует. На самом деле, как вы увидите, мифический остров Математики — доказательства по своей сути — находится в огромном море веры. Математика зависит от убеждений, которые невозможно доказать или вообразить и которые во многих случаях являются откровенно сверхъестественными.
Конечно, вслух заявлять об этом рискованно — в этом в 2017 г. на собственном опыте убедился один из посетителей Stack Exchange, онлайновой платформы, где размещаются «вопросы и ответы для тех, кого интересует изучение фундаментальной природы знаний, реальности и бытия». Он задал математическому сообществу форума такой простой вопрос: «Требует ли математическое доказательство веры?» Как технарь, он надеялся, что его вопрос вызовет содержательное обсуждение глубокого предмета. «Но, — как он выразился, — меня фактически изгнали из города».
Так требует ли математическое доказательство веры?
Чтобы получить честный ответ, перенесемся в Афины и Александрию 24-вековой давности. И познакомимся с парой молодых людей, которых, подобно Мадонне и Принцу, все знают по имени: Аристотелем и Евклидом.
Аристотель, эдакое олицетворение левого полушария мозга, только что сформулировал правила логики — новый строгий образ мышления. В качестве примера можно привести так называемый силлогизм, который работает следующим образом:
Все вороны черные.
Эдгар — ворон.
Следовательно, Эдгар — черный.
Первое утверждение — это аксиома, предположение, высказанное убеждение — надо полагать, просветленное. Его нельзя доказать, но если вы принимаете его — если вы верите в него, — то увидите нечто важное в Эдгаре. Помните: поверь и увидишь.
Потрясенный логикой Аристотеля, молодой Евклид использует ее для вывода всего, что существует в планиметрии — науке о плоских фигурах. Для этого Евклид должен принять не менее 33 аксиом — убеждений, которые он не может доказать. В частности, это 23 определения, пять постулатов и пять так называемых основных понятий. Перечислю для примера последние:
Все они очевидны, не так ли? Но спросите себя: почему так? Почему эти аксиомы кажутся столь очевидными? Потому, что это логические утверждения, которые можно легко проверить, проведя несколько простых подсчетов с шариками или бусинками. Это тривиальные истины, которые требуют только веры, основанной на IQ.
Но некоторые аксиомы Евклида не столь очевидны, не столь логичны, не столь тривиальны. На самом деле они просто поражают воображение и требуют веры, основанной на SQ.
Например, Евклид определяет точку как нечто не имеющее ни ширины, ни глубины, ни длины. Это одновременно и что-то, и ничто! Ну прямо как квантовый вакуум. Точка не имеет смысла. Она нелогична. Это даже не то, что можно увидеть или вообразить. Попробуйте сформировать целостную мысленную картину точки. Вы не сможете сделать это, так же как не сможете представить себе нечто одновременно живое и мертвое, черное и белое, истинное и ложное.
Однако определение точки, данное Евклидом, не является бессмыслицей, его нельзя просто отбросить. Почему? Потому что это глубинная, транслогическая, основанная на SQ аксиома, которую молодой новатор использует для доказательства всей планиметрии.
Голова пошла кругом?
Вспомните Джо, пациента с разделенным мозгом, с которым мы познакомились в главе 6. Он не мог видеть фотографию сковороды, поставленную перед ним. Но стоило ему закрыть глаза, как правое полушарие его мозга — с присущей ему сверхъестественной интуицией, или SQ, — позволяло нарисовать сковороду, хотя и довольно грубо.
Здесь наблюдается то же самое явление. Евклидова точка — это то, чего ваши глаза не видят, ваш IQ не может понять, а ваше воображение не может даже представить. Но правое полушарие вашего мозга, задействующее SQ, способно воспринимать ее без описания и наблюдения и позволяет нарисовать грубое подобие точки с помощью остро заточенного карандаша.
Вернемся теперь в настоящее.
SQ Евклида — его почти религиозная вера в аксиомы, которые не поддаются логическому объяснению, которые нельзя увидеть или даже вообразить, — оказалась настолько просветленной, что произвела революцию в математике.
Уже более 2000 лет мы используем историческое достижение Евклида — бесчисленные теоремы его геометрии — для строительства мостов и небоскребов, планировки помещений, расчета траекторий полета на Луну и в другие миры. Именно поэтому, по некоторым данным, в мире продано и прочитано больше учебников по геометрии, чем любых других книг, разве что за исключением Библии.
Евклидова геометрия — потрясающее доказательство того, что логика, основанная на просветленной вере, может быть могущественной. Но есть ли пределы могуществу логики? Или она всесильна, как многие сегодня хотят верить?
Ответ: нет, логика не всесильна. У нее есть ограничения. И, как выяснилось, серьезные.
Поразительная сага об эпическом разгроме логики началась с гениального немецкого логика Фридриха Людвига Готлоба Фреге. Он был подражателем Евклида. Ему хотелось сделать для арифметики (науки о числах) то, что Евклид сделал для геометрии (науки о фигурах). Фреге начал с формулировки шести аксиом — гораздо меньше, чем евклидовы 33. Он был уверен, что они позволят доказать все теоремы арифметики, начиная с 1 + 1 = 2. Фреге трудился много лет и наконец в 1893 г. опубликовал первую часть своего трехтомного фундаментального труда «Основные законы арифметики».
Через девять лет Фреге закончил второй том. Но как раз в тот момент, когда он собирался сдать рукопись в издательство, ему пришли плохие новости от легендарного математика Бертрана Рассела. В письме от 16 июня 1902 г. он сообщал Фреге, что обнаружил в первом томе ошибку. Не опечатку, а катастрофический изъян в логике Фреге.
Я не буду вдаваться в детали, но вот в чем суть: Рассел обнаружил в рассуждениях Фреге проблему, которая восходит к его пятой аксиоме, определяющей принадлежность к группе, или множеству. Множества являются важным элементом математики и должны иметь четкое определение.
Например, группа живущих на Земле людей — это множество, включающее в себя всех и только тех людей на Земле, которые не умерли. Довольно просто, не так ли?
А теперь представьте себе деревню, где живут чисто выбритые мужчины. В их числе единственный в деревне парикмахер, который хвастается: «Я брею всех и только тех, кто не бреется сам». Вопрос: что можно сказать о множестве всех мужчин, которые бреются сами? Включает ли это множество парикмахера? Другими словами, является ли парикмахер мужчиной, который бреется сам?
Не торопитесь отвечать, этот вопрос не так прост.
Предположим, вы скажете, что да, парикмахер бреется сам. Это противоречит его утверждению, что он бреет только тех, кто не бреется сам.
Предположим, вы скажете, что нет, парикмахер не бреется сам. Это противоречит его похвальбе, что он бреет всех мужчин, которые не бреются сами.
Получается, что логического ответа на мой вопрос нет. Логика совершенно не в состоянии раскрыть эту тайну.
Вот другой взгляд на проблему. Вопрос: истинно или ложно следующее предложение?
Это утверждение неверно.
Если предложение истинно, то оно ложно. Если оно ложно, то оно истинно!
И снова логика выходит из-под контроля, засасывая нас в круговорот рассуждений, из которого нет выхода.
В этом, по сути, и заключается тот недостаток логики Фреге, который обнаружил Рассел. Только представьте, как это потрясло подражателя Евклиду.
«Ваше открытие противоречия удивило меня несказанно, — писал Фреге Расселу. — Можно даже сказать, поразило меня громом, поскольку оно выбило из-под ног почву, на которой я намеревался строить арифметику».
В 1903 г. Фреге все же опубликовал второй том, но с такой оговоркой: «Едва ли бывает что-то более прискорбное для автора научного труда, чем потрясение основы его здания после завершения работы. Именно в такое положение меня поставило письмо г-на Бертрана Рассела, когда печать этого тома близилась к завершению».
Фреге так и не опубликовал ни третий том своего несостоявшегося шедевра, ни многое другое. К 1923 г. он полностью отказался от идеи использования логики для доказательства в арифметике и умер 26 июля 1925 г. в безвестности. Впрочем, сегодня он по праву считается выдающимся логиком.
Все математики, не только Фреге, были обескуражены таким ужасным поворотом событий. К 1925 г. Давид Гильберт, пожалуй, самый талантливый математик столетия, признал, что «нынешнее положение дел, когда мы сталкиваемся с парадоксами, невыносимо. Подумать только, определения и дедуктивный метод, которые все изучают, преподают и используют в математике, эти образцы истины и достоверности, приводят к абсурду! Если математическое мышление ущербно, то где же нам искать истину и достоверность?»
В самом деле, где?
Гильберт призвал своих коллег не терять надежды. Парадоксы, по его словам, являются лишь признаком ошибочности аксиом, одной из которых является пятая аксиома Фреге. Поэтому решение заключается в более тщательном отборе аксиом… в поиске просветленных аксиом… таких, которые, проще говоря, были бы самосогласованными.
Математики с энтузиазмом откликнулись на боевой клич Гильберта, в том числе Бертран Рассел и его блестящий старший коллега Альфред Норт Уайтхед. В 1910 г. они опубликовали (подражание Фреге!) первый том запланированного трехтомного труда под названием «Основания математики». Он обещал проложить путь к возвращению математики на прочную логическую основу, свободную от парадоксов.
Новый труд приветствовали математики всех мастей, пока на него не обратил внимание Курт Гёдель. В 1931 г. этот гений-затворник обнаружил серьезный изъян не только в книге, но и в самой логике. Ее фундаментальный недостаток, как доказал Гёдель, преодолеть нельзя. Никогда.
Сенсационное открытие Гёделя имело две части, которые сейчас принято называть теоремами о неполноте. Вот немного упрощенное их описание:
Если взять любую формальную систему логики, достаточную для описания всех истин арифметики, то она будет либо неполной (останутся истины, которые она не сможет доказать), либо противоречивой (содержащей парадоксы и поэтому абсолютно ненадежной).
У вас опять голова идет кругом? Так и должно быть.
Вот более простой способ объяснения теорем Гёделя. Всякий раз, когда вы пытаетесь логически осмыслить сложный вопрос, происходит одно из двух.
Вариант 1: вы верите в истинность чего-либо, но не можете это доказать. Как бы вы ни старались, логика неизменно подводит, поскольку она недостаточно сильна, чтобы справиться с этой задачей.
Покойный швейцарско-американский логик Верена Хубер-Дайсон выразила это так: «Истина — это нечто большее, чем можно доказать». Я предпочитаю говорить проще: «Истина важнее доказательства».
Вариант 2: вы доказываете истинность чего-либо, используя, казалось бы, железную логику. Но на самом деле, даже если логика кажется безупречной, это не так: в ней масса скрытых парадоксов.
Как написал известный американский математик Моррис Клайн в своем учебнике «Математика для нематематиков», «логика — это искусство ошибаться уверенно».
Вариант 2 был проблемой Фреге, а теперь, как доказал Гёдель, он стал проблемой Рассела и Уайтхеда. Какая горькая ирония.
Огорченный Рассел быстро понял, что он, не желая того, подтвердил обескураживающее открытие Гёделя. Тремя десятилетиями ранее Рассел нашел неувязку в работе Готлоба Фреге, теперь Гёдель ткнул в нее носом его самого. При этом Гёдель развенчал не только «Основания математики», но и саму концепцию математического доказательства.
Рассел был потрясен, причем не только как математик. Он всегда был искренним и откровенным атеистом, с удовольствием поносящим христианство и другие религии — примерно так, как это делает сегодня Ричард Докинз. В 1927 г. он даже набрался смелости и написал эссе «Почему я не христианин», в котором красноречиво защищал атеизм.
По этой причине можно сказать, что Рассел был ходячим, говорящим логическим парадоксом. Уничтожая все, что не было атеизмом, он фанатично верил в логику и математику. Как оказалось, это была ложная вера, которую Гёдель окончательно и бесповоротно разрушил.
«Я стремился к определенности так, как люди стремятся к религиозной вере, — горюет пожилой Рассел в "Портретах по памяти". — Я думал, что в математике можно найти больше определенности, чем где-либо еще. Но… после 20 лет очень напряженной работы я пришел к выводу, что больше ничего не могу сделать для обеспечения бесспорности математического знания».
Сегодня последствия теорем Гёделя о неполноте выходят далеко за пределы острова Математики. Вот три иллюстрации.
Во-первых, теоремы Гёделя серьезно подрывают веру в теорию всего, например в великую единую теорию — Святой Грааль физики. Эта теория претендует на единое, согласованное объяснение четырех сил природы: гравитации, электромагнетизма, сильного и слабого взаимодействия.
Последние годы своей жизни Эйнштейн упорно работал над созданием единой теории, но потерпел неудачу. Доказывая, что логика недостаточно сильна для описания арифметики, не говоря уже о Вселенной, теоремы Гёделя показывают, что стремление к созданию любой логически самосогласованной теории всего является таким же заблуждением, как и вера в Зубную фею.
Во-вторых, теоремы Гёделя допускают, что утверждение: «Бог существует» может быть истинным, но недоказуемым логически. Помните: истина важнее доказательства.
Иначе говоря, если логика не может справиться даже с арифметикой, то у нее нет никаких шансов разрешить спор о Боге, который является чуть более сложным объектом, чем 1 + 1 = 2.
В-третьих, теоремы Гёделя утверждают, что остров Математики окружен морем веры. Чтобы добиться чего-то, математики должны прежде всего поверить в недоказанные и, возможно, недоказуемые аксиомы.
Ни один математик, каким бы гениальным он ни был, — ни Евклид, ни Фреге, ни Рассел — не может создать логический аргумент, не поверив предварительно в ряд допущений. В худшем случае предположения опираются на ложную веру и приводят к катастрофическим результатам, как это было в случае Фреге и Рассела. В лучшем случае они основаны на просветленной вере, как в случае Евклида и Гёделя.
В любом случае теоремы Гёделя с помощью логики доказывают, что математика — это дисциплина, основанная на вере. В принципе она ничем не отличается от любой религии.
«Если "религия" определяется как система идей, содержащая недоказуемые утверждения, — отмечает в книге "Загадочная Вселенная" выдающийся математик Кембриджского университета Джон Барроу, — то, по словам Гёделя, математика — это не только религия, но и единственная религия, которая может доказать, что она таковой является».
Несмотря на то, что математики восхищались логикой Аристотеля и геометрией Евклида, они задавались вопросом: является ли эта логика единственно возможной? Это единственно возможная геометрия?
Ответ: нет — существует множество возможных логик и множество возможных геометрий. Каждая из них зависит от своего набора аксиом, или убеждений.
Одно из основных положений Аристотеля называется принципом исключенного третьего. Согласно ему нечто либо истинно, либо ложно; промежуточного варианта не существует.
Однако, как оказалось, есть множество рациональных альтернатив принципу исключенного третьего, и у математиков в ходу масса неаристотелевских логик. Например:
Нечеткая логика используется при программировании электронных устройств, которые должны реагировать на внезапные события с учетом нюансов, не являющихся черно-белыми, например, микросхем, управляющих антиблокировочной системой автомобиля. Такие микросхемы должны определять тормозное усилие, взвешивая истинные значения множества факторов, в том числе «скорость автомобиля, давление в тормозной системе, температуру тормозов, интервал между приложением тормозного усилия и угол бокового смещения автомобиля».
Открытие множества видов логики уже давно затмило великолепное достижение Аристотеля. «Аристотелевская логика, — объяснял математик Принстонского университета Эдвард Нельсон, ныне покойный, — не подходит для математики. Она не подходила уже для математики времен Аристотеля».
Вот так-то.
В настоящее время в обществе много говорят о важности критического мышления, о том, что нужно учить студентов критически смотреть на вещи. Я с этим полностью согласен. Но, с учетом поразительного развития математики, необходимо понимать, что критическое мышление сейчас означает нечто гораздо более разнообразное и сложное, чем просто логическое мышление.
Оригинальный рецепт Аристотеля — лишь один из бесчисленных подходов к разумному рассуждению, позволяющих докопаться до истины, и даже не самый эффективный. Знатоки относят обычную аристотелевскую логику к категории двузначной четкой логики — примитивной модели критического мышления.
Аналогичная судьба постигла и геометрию Евклида.
Одна из основных аксиом Евклида гласит, что параллельные прямые никогда не пересекаются, даже в бесконечности. Однако это справедливо только для плоских, но не для криволинейных поверхностей. Уже одно это осознание привело к появлению множества неевклидовых геометрий. Например:
Многомерные римановы поверхности мы не можем ни увидеть, ни даже вообразить — как и глубинную, транслогическую концепцию точки у Евклида. Это впечатляющие, непостижимые продукты человеческого интеллекта. Вместе с тем, подобно точке Евклида, римановы поверхности оказались весьма полезными. Для описания поведения гравитации Эйнштейн в общей теории относительности использует четырехмерную риманову поверхность. Она имеет три пространственных измерения (вверх/вниз, вправо/влево, вперед/назад) и одно временное измерение.
За прошедшие годы эксперименты неоднократно подтверждали теорию Эйнштейна. Из этого следует, что не только сама теория, но и римановы поверхности, которыми она оперирует, являются порождением просветленной веры, основанной на IQ и SQ.
Ошеломляющий успех на протяжении всей истории научных теорий, опирающихся на трудные для понимания, транслогические математические аксиомы и концепции, будь то четырехмерный риманов мир, геометрическая точка, квантовый вакуум, виртуальная частица и т.д., удивлял Эйнштейна. «Каким образом математика, являясь в конечном счете продуктом человеческого мышления, не зависящим от опыта, так замечательно подходит к объектам реальности?»
Много лет назад на семинаре по физике в Университете штата Луизиана я на протяжении нескольких дней общался с Юджином Вигнером, легендарным венгерско-американским математиком и нобелевским лауреатом.
Вигнер ничего не знал о моих предположениях относительно SQ, но он по-своему признавал, что математика, по-видимому, опирается не только на правила логики, не только на механический образ мышления, но и на откровения и шепот сверхинтеллекта, превосходящего простой IQ.
В эссе, опубликованном в 1960 г., Вигнер заметил, что «огромная польза математики в естественных науках — это нечто граничащее с загадкой и… рационального объяснения не имеет».
Было время, когда математические доказательства оставались достаточно краткими и доступными для проверки и перепроверки вручную. Я много раз приводил подобные доказательства в школе на уроках геометрии, и за каждый неверный шаг учитель снижал мне оценку. Тогда я этого не понимал, но именно знакомство с такой фанатичной строгостью положило начало моему научному образованию.
Доказательства на уроках геометрии в старших классах по-прежнему короткие и милые. Но в профессиональной математике высокого уровня эти времена давно прошли.
Нет какой-то одной точки во времени, на которую можно было бы указать и сказать: «Вот! Вот тогда-то и произошли катастрофические изменения». Но к 1993 г., когда в журнале Scientific American появилась статья ветерана научной журналистики Джона Хоргана «Смерть доказательства», стало совершенно ясно, что времена кристальной ясности в математике ушли в прошлое, как динозавры. «На протяжении тысячелетий математики оценивали прогресс с точки зрения того, что они могли продемонстрировать с помощью доказательств, т.е. ряда логических шагов, ведущих от выбора аксиом к неопровержимому заключению, — писал Хорган. — Теперь сомнения, пронизывающие современное человеческое мышление, заразили и математику».
Статья Хоргана была опубликована в 1993 г., поскольку именно тогда британский математик Эндрю Уайлс заявил, что нашел доказательство математической загадки 350-летней давности, известной как последняя теорема Ферма. Предложенное им доказательство занимало сотни страниц, поэтому проверить его было непросто. Хуже того — когда математикам наконец удалось это сделать, они обнаружили серьезную ошибку.
Это перечеркивало все доказательство Уайлса.
Через год, когда он заявил, что исправил ошибку, его коллеги, естественно, отнеслись к этому скептически. Но после тщательной проверки окончательного доказательства жюри, состоявшее из авторитетных математиков, подтвердило правильность исторической работы Уайлса, и в 1995 г. она была опубликована.
Я подготовил об этом репортаж для программы Good Morning America. Я прилетел в Принстонский университет и взял интервью у человека, чье доказательство возвестило о наступлении новой эры в математике. Эры растущей неопределенности.
С тех пор кризис только усугубился. Доказательства не просто стали более длинными и трудно поддающимися верификации — они все чаще и чаще создаются с помощью компьютеров. Это вносит в современную математику еще больше неопределенности и непроверяемости.
«Мы вступаем в эпоху настолько сложных математических выкладок, что, наверное, никогда не узнаем наверняка, истинны они или ложны, — говорит Кит Девлин, британский математик из Стэнфордского университета. — Это ставит нас на одну доску со всеми остальными учеными».
На данный момент самое длинное математическое доказательство в истории было приведено в 2016 г. тремя людьми и суперкомпьютером, занимающим площадь 1000 кв. м в Техасском университете в Остине. Суперкомпьютер Stampede — это электронный гигант электрической мощностью 3 МВт.
Объем рекордного доказательства Stampede и др. составляет 200 терабайт. Это цифровой эквивалент всей библиотеки Конгресса США. Чтобы просто прочитать его, потребуется 10 млрд лет (почти возраст Вселенной), а для подтверждения каждого шага — еще больше.
Море веры, которое окружает мифический остров Математики, гораздо глубже и шире, чем кто-либо мог себе представить. Конечно, ни Аристотель, ни Евклид не предвидели ничего из того, что произошло.
Но это плохая новость только для тех, кто заблуждался настолько, что верил в существование 100%-ного доказательства без веры. На острове Математики такой вещи нет и никогда не было, так же как и снежного человека.
Именно так. Как мы только что убедились, море веры, в котором находится математика, изобилует недоказуемыми, невообразимыми, транслогическими, основанными на SQ убеждениями.
Убеждениями, не поддающимися простому IQ.
Убеждениями, которые описывают реальный мир с удивительной правдивостью.
Убеждениями, которые вы должны принять, если хотите увидеть их удивительные откровения.
Войти с помощью соц. сетей: