В самом начале математика развивалась, обслуживая нужды торговли и сельского хозяйства, но, помимо того, она также была связана с выполнением религиозных обрядов и наблюдением за движением небесных светил. Созданием календарей занимались астрономы-священники — картография небес требовала разработки специальных математических знаний. Поскольку в древности космология была геоцентрической, термин «планета» относится к Солнцу, Луне и пяти небесным телам, видимым невооруженным взглядом, — Уран, Нептун и Плутон были обнаружены относительно недавно. Различные цивилизации, существовавшие в самых разных уголках Земли, фиксировали движения небесных тел и создавали календари, и все они должны были найти способ сопоставить два самых важных временных цикла — лунный месяц и солнечный год.

Классический период цивилизации майя, существовавшей в Центральной Америке и формировавшейся до десятого века до нашей эры, относится к 300–900 годам нашей эры. Испанское нашествие 1519 года пережило очень небольшое число документов (самый значительный из них — рукопись с астрономическими таблицами, известная как Дрезденский кодекс), но, к счастью, от майя также остались высеченные на камне барельефы. Каждые двадцать лет майя устанавливали каменные стелы, или столбы, на которых отмечались дата строительства, основные события предшествующих двадцати лет, а также имена знатных людей и служителей храмов. Иероглифы, при помощи которых делались надписи, были стилизованными изображениями богов майя. Но для обозначения чисел они часто использовали нотацию, ныне известную как «точка и черточка». В этой лаконичной системе счисления с соблюдением знакоместа точка изображала единицу, горизонтальная черта изображала «пять», а ноль отображался символом, похожим на раковину. Эта система счисления, похоже, использовалась приблизительно с V века до нашей эры и, по существу, была двадцатеричной, то есть с основой 20, кроме аномалии в третьем разряде. В настоящей двадцатеричной системе числа выстраивались бы в последовательности 1, 20, 202, 203 и так далее, но в системе майя используется последовательность 1, 20,18 х 20,18 х 202, и так далее. Это усложняет вычисления, но на основании того, что 18 х 20 = 360, мы можем понять то значение, которое майя придавали своему календарю.

У майя было три календаря. Священный год, состоящий из 260 дней, был получен путем наложения двух циклов: один цикл состоял из чисел от 1 до 13, а другой был 20-дневным циклом божеств. Таким образом, каждый день в священном году был уникальным образом определен числом и божеством. Этот календарь был не слишком полезен для фермеров, поэтому они ориентировались также на обычный год, состоявший из 365 дней. В нем было 18 месяцев 20 дней плюс дополнительные 5 дней, известные как «период без названия». Иероглиф, обозначающий дополнительные дни, также использовался для изображения хаоса и беспорядка, и любой человек, рожденный в эти дни, оставался проклятым до конца жизни. Третий календарь, используемый для «длинного счета», был основан на хронологии, начинающейся 12 августа 3013 года до нашей эры. В нем использовался цикл из 360 дней. Кроме того, существовали жертвенные циклы из 4, 9 и 819 дней. В результате большую часть своего времени писцы тратили на вычисление календарей и важных дат. Не сохранилось явных свидетельств использования дробей или тригонометрических функций, однако майя умели очень точно предсказывать циклы, основываясь на огромном объеме накопленных ими астрономических наблюдений. Например, астрономы майя утверждали: 149 лунных месяцев равняются 4400 дням, что эквивалентно одному лунному месяцу в 29,5302 дня — очень близко к вычисленному в наши дни значению 29,53 059 дня. В Дрезденский кодекс входят таблицы лунных и солнечных затмений, а также предсказанные положения Венеры, которую они называли «утренняя звезда» и «вечерняя звезда». К сожалению, больше о математической астрономии майя почти ничего не известно.

В египетском календаре использовалась такая же система, как у майя. У них было 12 месяцев по 30 дней и 5 дополнительных дней в конце года. Именно египтяне первыми начали делить день на 24 отрезка, хотя неясно, когда именно была зафиксирована длительность одного часа. Они использовали то, что можно назвать «сезонными часами», — делили как дневное, так и ночное время на 12 отрезков, поэтому в течение года отрезки светлого и темного времени суток были разными. У египтян был свой набор маленьких созвездий — деканов, которые восходили на небе с промежутком в десять дней. В эллинистические времена они были объединены с вавилонским зодиаком, так что каждое зодиакальное созвездие, занимающее 30 градусов небесного круга, делилось на три декана. Деканы изображены на потолках царских гробниц и на крышках усыпальниц Среднего царства (ок. 2100–1800 до н. э.). Но сопоставить деканы с известными сейчас звездами оказалось довольно трудной задачей. Единственное исключение — звезда Сириус, восход которой в определенное время года был связан с разливом Нила, что было очень важно для ирригации. На более поздних захоронениях мы находим подробное изображение звезд на сетке координат. Расшифровать эти надписи помог демотический папирус, созданный в греческую эпоху. Однако создается впечатление, что мастера, наносившие эти изображения на гробницы, слишком свободно подошли к интерпретации исходной астрономической информации, хотя базовые рисунки, лежавшие в основе изображений, были значительно точнее. У нас нет письменных свидетельств о том, проводили ли египтяне астрономические наблюдения и создавали ли таблицы; даже Птолемей, перечисливший использованные им источники древней астрономии, не упоминает никаких египетских трудов.

С момента падения Ассирийской империи и до эллинских времен вавилоняне занимались созданием астрономии, пригодной для эффективного прогнозирования. Птолемей упоминает о том, что начиная с VIII века до нашей эры они вели запись лунных затмений, но данные о планетах были не слишком надежными. Вавилонский календарь был исключительно лунным. Начальный день месяца выпадал на первое появление полумесяца, каждый день длился от заката до заката. Поэтому вавилонян больше всего интересовала возможность предсказать время появления полумесяца, а также определить в зависимости от положения Солнца и Луны, сколько дней будет в предстоящем месяце — 29 или 30. То же самое и в случае с другими планетами — самым интересным для вавилонян было их первое появление на небе. Особенно важное место в ранних таблицах занимала планета Венера. Для того чтобы составить эфемериды — так назывались таблицы местоположения планет, — зодиакальную область делили на три зоны, куда входили двенадцать поименованных созвездий, а положения планет указывались относительно звезд. Есть также таблицы восхода и захода созвездий. Самые ранние эфемериды относятся к периоду Селевкидов, чаще всего они описывают движения Луны, но есть таблицы и для других планет.

Одним из величайших достижений этого периода был анализ видимых путей Солнца и Луны по небу — основы для определения начала каждого месяца. Вавилоняне установили, что угол между горизонтом и эклиптикой — видимым путем Солнца по небу — в течение года меняется. Кроме того, путь Луны периодически отклоняется от эклиптики примерно на 5° в ту и другую сторону. Более того, перемещение обоих небесных тел варьируется. Эти периодические отклонения от курса, которые на самом деле представляют собой синусоиды, были с высокой степенью точности описаны так называемыми «зигзагообразными функциями». Они рассчитывались арифметически как возрастающие и убывающие последовательности чисел. На многих вавилонских табличках представлены упражнения на арифметические прогрессии, которые, возможно, были подготовкой к созданию таблиц движения Солнца и Луны. Эти таблицы могли использоваться, чтобы заранее, на три года вперед, предсказать появление нового месяца, зависящее от относительных положений Луны и Солнца. На основании имеющихся у нас свидетельств мы, вероятно, можем заключить, что методы арифметической интерполяции использовались для скругления орбит, созданных на основании доминирующих показаний. В теории Птолемея (см. ниже) применялся противоположный подход — попытка построить наиболее точную планетарную модель, на основании которой можно было бы определить положения планет в конкретные моменты времени.

Какой была самая поздняя планетарная теория вавилонян, неясно. Согласно ранним описаниям, это геоцентрическая вселенная с круговыми орбитами планет. В эллинском мире Аристарх Самосский (ок.310 — ок.230 до н. э.) предложил гелиоцентрическую систему, по-видимому основанную на собственных вычислениях, согласно которым Солнце было самым большим небесным телом. Но в то время его теория не получила одобрения современников и не была принята вплоть до шестнадцатого столетия. Греческая планетарная теория находилась во власти представлений Аристотеля (384–322 до н. э.), согласно которым планеты двигаются с постоянной скоростью по идеальным круговым орбитам. Это философское положение сохраняло свои позиции, несмотря на явные признаки переменной скорости движения планет, фактов их ретроградного движения и изменения видимой яркости. Несоответствия между теорией и наблюдениями сглаживались за счет введения эпициклов: планета больше не двигалась вокруг самой Земли, она вращалась по эпициклу — круговой орбите, центр которой двигался по деференту — воображаемой окружности, в центре которой находится Земля. Благодаря этой уловке постоянная скорость планеты преобразовалась в наблюдаемую скорость, и при этом планеты оставались на округлых, если не идеально круговых орбитах. Наиболее полное выражение эта система нашла в работе Птолемея.

Прежде чем обратиться к Птолемею, мы должны упомянуть одного из наиболее известных его предшественников — Гиппарха (ок. 190 — ок. 120 до н. э.), математика из Никеи, города, находящегося в современной Турции. Его считали величайшим астрономом своего времени. Считается, что именно он создал астрономию, базирующуюся на греческих геометрических принципах. Как основу тригонометрии он использовал деление круга на 360 градусов, где каждый градус делился еще на шестьдесят минут. Его трактат на эту тему включал таблицу хорд — аналог современных таблиц тригонометрических функций (хорды Гиппарха — это, по современным понятиям, синусы). Значения хорд были вычислены для круга с радиусом 3438 минут — именно такой радиус необходим для того, чтобы окружность составила 360 х 60 = 21 600 минут. Эти таблицы, очень похожие на те, что существовали в индийской математике, позволили Гиппарху более точно описать положения небесных тел. Он смоделировал движение Солнца и Луны, используя геоцентрическую систему эпициклов. Гиппарх признавал: его данные были недостаточно точными, для того чтобы рассуждать об орбитах других планет. К сожалению, до нас дошла лишь одна из незначительных его работ, и он, как многие другие греческие астрономы, потерялся в тени Птолемея.

Клавдий Птолемей (ок. 87–165) жил в Александрии, и мы знаем, что он начал заниматься астрономическими наблюдениями 26 марта 127 года. О его семье известно очень немногое, неясны также точные даты его рождения и смерти. Птолемей оставил несколько сочинений, самое известное из них называется «Синтаксис» («Математическое построение»). Эта работа была повсеместно признана, и впоследствии, около 820 года нашей эры, когда ее перевели на арабский язык, заслужила название «Аль-Маджисти» («Величайшая»). Затем, после перевода на латынь, она стала известна как «Альмагест». Этот труд Птолемея для астрономии — то же, что «Начала» Евклида для геометрии. В результате, большая часть трудов, написанных до Птолемея, канула бы в небытие, если бы не собственный исторический комментарий автора «Синтаксиса». Он начинается с некоторых предварительных замечаний из области тригонометрии и расчета хорд, после чего излагается теория движения Солнца по круговой орбите. Однако, по мнению Птолемея, Земля располагалась не совсем в центре орбиты, несколько сместившись, — это положение он назвал эксцентрикой. Создавая теорию движения Луны, Птолемей многое позаимствовал у Гиппарха, но изменил к лучшему его модель эпициклов. Затем, комбинируя движения Солнца и Луны, Птолемей обсуждал лунные и солнечные затмения. После этого следовало доказательство, что сфера из неподвижных звезд — внешняя оболочка эллинского космоса — действительно неподвижна. Этот вывод делается из собственных наблюдений Птолемея за звездами; здесь он соглашается с мнением Гиппарха, составленным на основании наблюдений, которые были проведены приблизительно за двести лет до него. Птолемей приводит обширный каталог с описанием более тысячи звезд, а затем обозначает орбиты остальных пяти планет. В этой изобретательной конструкции использовался эквант — точка, находящаяся на таком же расстоянии от Земли, как и эксцентрик, но с противоположной стороны. Птолемей строит циклы планет так, чтобы они имели постоянную скорость относительно экванта. Вращение Земли вокруг Солнца было несовместимо с пониманием земной динамики того времени — считалось: если бы Земля двигалась, мы обязательно слетели бы с ее поверхности. Модель Птолемея, безусловно, самая успешная попытка создания прогнозирующей астрономии за все время существования этой науки, она воспроизводила видимые движения планет, включая ретроградные петли. Любые несоответствия в измерениях обычно не выходили за пределы погрешности методов измерения. Эта система не вызывала серьезных сомнений вплоть до шестнадцатого века, так что до этого времени, в течение 1400 лет, «Альмагест» Птолемея был непререкаемым авторитетом.