Пять пифагоровых тел

Правильный многоугольник — это двумерная фигура с определенным числом n одинаковых сторон. В случае n = 3 получается равносторонний треугольник, при n = 4 — квадрат, при n = 5 — правильный пятиугольник и т.д. Многогранник — это трехмерная фигура, все стороны которой являются многоугольниками. Например, куб имеет шесть квадратных граней. Правильным называют многогранник, все грани которого представляют собой одинаковые правильные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Для работ пифагорейцев и Кеплера фундаментальное значение имеет тот факт, что существует пять, и только пять, правильных тел. Простейшее доказательство этого факта можно получить из открытого значительно позже Декартом и Леонардом Эйлером соотношения, связывающего число граней F, число ребер Е и число вершин V в любом многограннике:

V − E + F = 2. (2)

Так, у куба 6 граней (F = 6) и 8 вершин (V = 8). Отсюда получаем: 8 − Е + 6 = 2; 14 − Е = 2 и Е = 12. Уравнение (2) предсказывает, что у куба 12 ребер, и это соответствует действительности. Простое геометрическое доказательство уравнения (2) можно найти в книге Куранта и Роббинса «Что такое математика?». Пользуясь уравнением (2), легко доказать, что существует всего пять правильных тел.

Каждое ребро правильного многогранника является общей стороной двух прилегающих друг к другу граней. Возвращаясь к примеру с кубом: каждое ребро — это граница между двумя квадратами. Если мы подсчитаем все стороны всех граней многогранника nF, то каждое ребро окажется сосчитанным дважды, то есть

nF = 2E. (3)

Обозначим r число ребер, которые сходятся в одной вершине. Для куба r = 3. Кроме того, каждое ребро соединяет две вершины. Если мы подсчитаем концы всех ребер rV, то вновь сосчитаем каждую вершину дважды, то есть

rV = 2E. (4)

Подставляя выражения для V и F из уравнений (3) и (4) в уравнение (2), получаем:

Деление обеих частей уравнения на 2Е дает:

Мы знаем, что значение n не может быть меньше 3, поскольку треугольник является простейшим многоугольником. Нам также известно, что r не может быть меньше 3, поскольку в каждой вершине многогранника сходится не меньше трех граней. Если n и r одновременно будут больше 3, то с учетом того, что они являются целыми числами, левая часть уравнения (5) окажется меньше либо равна 1/2, и ни при каком значении Е оно не будет превращаться в равенство. Таким образом, осуществив reductio ad absurdum, мы доказали, что либо n = 3 и r ≥ 3, либо r = 3 и n ≥ 3.

Если n = 3, уравнение (5) принимает вид

или

В данном случае r может принимать только значения 3, 4 и 5. (При n, равном и большем 6, уравнение не имеет решений.) Значения n = 3, r = 3 соответствуют многограннику, у которого в каждой вершине сходится по три треугольника. Согласно уравнению (6) он имеет шесть ребер; согласно уравнению (3) у него четыре грани; согласно уравнению (4) — четыре вершины. Очевидно, что это пирамида, или тетраэдр. При n = 3, r = 4 получаем восьмигранник, у которого в каждой вершине сходится по четыре треугольные грани, — октаэдр. Значения n = 3, r = 5 соответствуют икосаэдру — многограннику с 20 треугольными гранями, в каждой вершине которого сходится по пять треугольников.

Если r = 3, уравнение (5) приобретает вид

и, повторив аналогичные рассуждения, мы получим, что n может принимать только значения 3, 4 и 5. При n = 3 вновь получается тетраэдр. Значению n = 4 соответствует многогранник, составленный из шести квадратов, — куб, а при n = 5 результатом будет 12-гранник, состоящий из пятиугольников, — додекаэдр.