Глава 23
Приближенное вычисление

Давать приближенную численную оценку тем или иным вещам приходится довольно часто в повседневной жизни. Во что обойдется содержание вашей машины в этом году? На сколько большими будут расходы на ремонт? Сколько придется заплатить банку в счет покрытия кредита? Точно так же, когда мы переводим одну валюту в другую, очень трудно получить точную сумму. Курс меняется каждый день. Мы не знаем, сколько банк захочет получить за сделку в качестве комиссии. В лучшем случае наши расчеты являются приближением того, что будет на самом деле.

Однажды в супермаркете я покупал продукты и вдруг сообразил, что у меня в кошельке всего одна 20-долларовая банкнота.

Я пересмотрел продукты в моей тележке и обнаружил, что их стоимость в сумме составляла около 22 долларов. Я вынул из тележки продукты на сумму около 3,5 доллара, положил обратно на полку и пошел к кассе.

Тогда еще не было сканеров, поэтому кассирша вручную пробила стоимость моих продуктов на кассовом аппарате.

Она сказала мне: «С вас двадцать шесть долларов и сорок центов».

Я ответил: «Извините, но вы ошиблись. Здесь продуктов меньше чем на двадцать долларов».

Кассирша возмутилась и вызвала менеджера.

«Что случилось?» — спросил он.

Она объяснила: «Вот, господин говорит, что я ошиблась, пробивая ему чек».

«А как вы это определили?» — спросил менеджер, с подозрением глядя на меня.

Я объяснил, что у меня в кошельке всего 20 долларов, поэтому я набрал продуктов на такую сумму.

Мы сверили то, что было в моей тележке, с чеком и обнаружили, что кассирша в одном случае забыла ввести десятичную запятую. Если бы я не подсчитал в уме, то никогда не заметил бы ошибки. Позднее я узнал, что кассирша в тот день впервые вышла на работу, и поэтому почувствовал себя немного виноватым.

В математике также нужны приближенные оценки. Речь идет о том, что иногда нам не требуется точный ответ, а лишь приближенное значение. Приближенная оценка — это навык, который вы легко можете приобрести и развить в себе.

Как нам оценить сумму, которую придется заплатить за товары в супермаркете? Следует округлить все цены до ближайшего числа. В одних случаях округление будет в сторону увеличения, в других — в сторону уменьшения. Это простой способ получить довольно точную оценку общей суммы, которую вам надо будет заплатить, и вы определите, хватит ли денег в вашем кошельке, чтобы рассчитаться с кассиром. Попробуйте проделать это во время очередного визита в супермаркет и посмотрите, насколько точной может быть ваша оценка.

Сколько человек сидит в аудитории?

Мы окидываем взглядом аудиторию и видим, что практически все места заняты. Считаем количество рядов. Их оказывается 16. Сколько человек сидит в одном ряду? Мы насчитываем 20 мест в ряду, однако среднее количество занятых мест составляет примерно 14. Количество студентов в рядах разное, но средним числом, как нам кажется, является 14.

Умножаем 14 на 16 и получаем 224. Хотя ответом является вполне реальное число, мы ведем речь всего лишь об оценке фактического количества. Мы сказали бы в такой ситуации: «Чуть больше двухсот человек».

Во сколько вам обойдется отпуск в этом году?

Следует учесть оплату стольких-то ночей в гостинице, такие-то расходы на бензин и аренду автомобиля, столько-то на еду, а также на прочие покупки, например сувениры. Сложив все это вместе, получим примерную стоимость отпуска. Опыт путешествий подсказывает нам, что к полученной сумме следует прибавить 50 процентов, поскольку цены на все, как правило, оказываются выше, чем мы предполагали.

Во сколько вам обойдется подержанная машина?

Правильно будет, сколько бы вы ни заплатили за саму машину, добавить еще 1000 долларов на ремонтные работы, которые, скорее всего, потребуется выполнить после того, как машина станет вашей. Я всегда говорю своим друзьям: включайте в стоимость приобретаемой машины будущий ремонт. Если он не потребуется, то вы выиграете в деньгах. Это как премия. Если же ремонт все-таки будет нужен, тогда вы не будете чувствовать себя так, будто вас обобрали.

Сколько примерно будут стоить 227 штук товара по цене 485 долларов за каждую?

Если мы не знаем, какую окончательную сумму у нас попросят, можно оценить ее приблизительно и затем попытаться сбить цену. Какой приблизительно будет общая стоимость? Округлим числа до 200 и 500 соответственно, перемножим и получим в результате 100000. (Обратите внимание, что я округлил одно число в сторону увеличения, а другое — в сторону уменьшения, чтобы свести к минимуму ошибку приближения.)

Можно оценить и по-другому, перемножив 230 и 480 с использованием методов, рассмотренных в настоящей книге:

Таким образом, результатом нашей оценки является сумма, примерно равная 110000 долларов. Этот и полученный ранее результаты могут быть взяты за основу. С учетом этого можно, наверное, надеяться на то, что цену удастся сбить до 105000 долларов.

Простым способом приближенного вычисления является округление чисел до значимых для ответа цифр. Остальные цифры при этом превращаются в нули.

Ваш брат купил 253 подержанных копировальных аппарата за 10000 долларов. Сколько он заплатил за каждый из них?

Чтобы вычислить точный ответ, необходимо разделить 10000 на 253. Если при вас нет калькулятора, можно дать достаточно близкий к фактическому приближенный ответ путем округления соответствующих чисел.

Для оценки ответа разделим 10000 на 250. 250 — это четверть тысячи, поэтому можно разделить на 1000 и умножить результат на 4.

10000 при делении на 1000 дают 10. (По сути, вы задаете следующий вопрос: сколько тысяч содержится в десяти тысячах?)

10 х 4 = 40. Фактическая цена за один копировальный аппарат составляет чуть меньше 40 долларов, а именно — 39,53 доллара. Нашу оценку следует признать достаточно точной.

Вычисляя приближенное значение результатов сложения, вычитания, умножения и деления, мы просто округляем каждое число до ближайшего. Если одно число мы округляем в большую сторону, тогда другое следует округлять в меньшую.

Зачем нам нужны приближенные вычисления, если калькулятор всегда даст точный ответ?

Во-первых, в вышеприведенных примерах вы не уверены, какими являются величины, поэтому ввести в калькулятор можно лишь приближенные числа. Во-вторых, калькуляторы на самом деле сделали приближенное вычисление в уме еще более необходимым, и сейчас я объясню почему.

Однажды я попросил класс выполнить следующее вычисление.

Цена бензина составляет 1,30 доллара за галлон. Вы заправляете 18 галлонов в бак. Сколько вы заплатите за бензин?

Один ученик получил ответ в несколько миллионов долларов. Я спросил у него, считает ли он свой ответ правильным. Он ответил, что да, считает, поскольку получил его с помощью калькулятора.

Тогда я спросил его, является ли 1,30 доллара нормальной ценой за галлон бензина. Ученик ответил: «Да, конечно». Тогда я спросил, может ли вместить 18 галлонов бензобак автомобиля его отца. Он опять ответил утвердительно и даже указал, какая в действительность вместимость бака в автомобиле его отца.

Наконец я спросил, платил ли его отец когда-нибудь три миллиона долларов за бак горючего. Тогда до него дошло. Калькулятор дал ответ, но неправильный. Ученик, скорее всего, нажал не на ту кнопку. Настоящий ответ у этой задачи — 23,40 доллара.

Многие люди принимают ответ, полученный на калькуляторе, за истину в последней инстанции. Нужно уметь вычислять в уме приближенное значение ответа, чтобы быть уверенными в том, что мы не допустили ошибки, считая на калькуляторе.