Глава 21
Умножение и деление дробей
Когда вы суммируете дроби, в результате получается число, которое больше каждого из слагаемых. И когда вы вычитаете дроби, результат оказывается меньше, чем уменьшаемое, как и следует ожидать.
Операции умножения и деления дробей весьма отличаются от таких же операций с целыми числами, и поэтому многим кажутся сложными. Обычно при делении число (делимое) уменьшается, в случае же деления числа на дробь происходит увеличение делимого. И наоборот, умножение на дробь уменьшает число, произведение которого с дробью мы находим. Иными словами, это будто мир, в котором действия производят обратный эффект вопреки здравому смыслу.
Будучи подростком, я играл в юниорской футбольной команде. У нас была традиция: в третьем перерыве игры мы ели апельсины. Каждый получал четверть. В моей команде было 20 игроков, включая запасных. Сколько апельсинов требовалось, чтобы угостить каждого игрока его долей? Напомню, что каждый получал четверть апельсина.
Одного апельсина хватает на четверых, поэтому пять апельсинов хватит на 20 игроков. Из апельсина, деленного на четверти, получается 4 кусочка. Из пяти апельсинов, деленных на четверти, получается 20 кусочков. Пяти апельсинов, деленных на половины, хватило бы только на 10 игроков. Деление апельсинов увеличивает количество кусочков, которые можно раздать.
А как насчет умножения? Если бы четверть игроков были травмированы во время игры — это сколько игроков? Четверть от 20 равна 5. Почему бы нам не делить, чтобы узнать количество травмированных игроков? Делить на 4 — это то же самое, что умножать на четверть.
• Сколько получится, если 6 умножить на 10? 60.
• Сколько получится, если 6 умножить на 8? 48.
• Сколько получится, если 6 умножить на 5? 30.
• Сколько получится, если 6 умножить на 2? 12.
• Сколько получится, если 6 умножить на 1? 6.
• Сколько получится, если 6 умножить на 1/2? 3.
• Сколько получится, если 6 умножить на 1/3? 2.
Это кажется логичным. Чем меньше число, на которое вы умножаете, тем меньшим является результат.
Таким образом, сказать: «Возьмите половину от шести» — то же самое, что сказать: «Умножьте шесть на одну вторую». Мы также знаем, что «половина от 6» является тем же самым, что и «6, деленное на 2».
Вернемся к определению, которое мы даем произведению. Произведение 3 х 7 равняется сумме трех семерок, то есть 7 плюс 7 плюс 7.
2 х 10 = 10 + 10.
А как насчет 11/2 х 10?
Речь идет о сумме 10 и половины от 10. Таким образом, произведение 10 х 11/2 — равно 15.
1/2, взятая 10 раз, просто равняется половине от 10, то есть 5.
Умножение дробей
Возможно, вы без вычислений знаете ответ на следующий пример:
1/2 х 1/4 =
Посмотрим, как ответ можно было бы рассчитать. Перемножаем верхние числа, то есть числители, и получаем числитель дроби ответа.
1 х 1 = 1
Перемножаем числа внизу, то есть знаменатели, и получаем знаменатель дроби ответа.
2 х 4 = 8
Ответ: 1/8.
Вот и вся операция умножения. Кто сказал, что с дробями трудно иметь дело? Совсем нетрудно. Попробуем решить еще один пример:
1/3 х 1/4 =
(Мы, по сути дела, спрашиваем: «Сколько будет четверть от одной трети или треть от одной четверти?»)
1 х 1 = 1 (числитель)
3 х 4 = 12 (знаменатель)
1/12 ОТВЕТ
Решим еще один пример:
2/3 x 1/2 =
Перемножим числители:
2 х 1 = 2
Затем знаменатели:
3 х 2 = 6
В ответе получаем дробь 2/6, которую можно сократить 1/3
Опять-таки, можно сразу догадаться, если спросить себя: с каким количеством третей мы имели дело с самого начала? С двумя. Теперь надо узнать, сколько будет половина от двух третей. Половина от 2 равна 1, поэтому ответом будет одна треть.
Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:
а) 1/2 x 1/3 = __; б) 1/2 х 1/5 = __; в) 2/3 х 2/5 = __; г) 1/12 х 1/14 = __
Чтобы решить последний пример, используйте метод умножения в уме чисел, которые больше 10, но меньше 20.
Ответы:
а) 1/6; б) 1/10; в) 4/5; г) 1/182
А как нам умножить 11/2 на 31/4?
Для начала мы преобразуем каждый множитель из смешанного числа в неправильную дробь. Смешанным называется число, содержащее как целую, так и дробную часть. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. 1
Чтобы перевести 11/2 в неправильную дробь, надо умножить целую часть (1) на знаменатель дробной части (2) и прибавить результат (2) к числителю дробной части (1), получая числитель неправильной дроби (3). Ответ: 3/2. (Полтора — это то же самое, что и три половины.)
Для того чтобы понять механизм перевода смешанного числа в неправильную дробь, посмотрим на 1 и половину. Сколько половин содержится в 1? Ответ прост: 2. Плюс одна половина, обозначаемая дробью, что дает в сумме 3 половины.
Проделаем то же самое с 31/4. Умножим целую часть (3) на знаменатель дробной части (получаем 12/4) и прибавим результат к числителю дробной части (1). Ответ: 13/4. Теперь можно записать исходный пример так:
3/2 х 13/4 =
Перемножим числители: 3 х 13 = 39. Получили числитель искомой дроби. Теперь перемножим знаменатели:
2 х 4 = 8.
Ответ: 39/8.
Как нам снова преобразовать ответ в смешанное число?
Для этого разделим 39 на 8. Ответом будет 4 (8 х 4 = 32) с остатком 7.
Получаем: 39/8 = 47/8.
А что, если вам нужно умножить целое число на дробь?
Попробуем перемножить 7 и 3/4. Это можно выразить по-другому: «Сколько будет три четверти от 7?» Три четверти от 8 равны 6, поэтому наш ответ будет немного меньше 6.
Выразим 7 в виде дроби, а именно: 7/1.
7/1 х 3/4 =
7 х 3 = 21
1 х 4 = 4
21/4 ОТВЕТ
Чтобы перевести ответ в смешанное число, разделим 21 на 4 и получим 51/4. (21 делится на 4 пять раз с остатком 1.)
Деление дробей
Чтобы найти половину любого числа, необходимо разделить его на 2. Например, половина от 6 равна 3. Это можно записать следующим образом:
6/1 х 1/2 = 3
Или же можно выполнить одно из следующих действий:
6: 2 = 3
6/1: 2/1 = 3
Правило такое:
Чтобы разделить число на дробь, ее необходимо перевернуть, то есть поменять местами числитель и знаменатель, а затем умножать число на полученную дробь.
6: 1/4 = 6 х 4/1 = 24
Выразить иначе это можно так: «Сколько четвертей можно получить из шести апельсинов?» Вы делите 6 апельсинов на четверти и в итоге получаете 24 четверти — достаточное количество, чтобы угостить всех игроков (вместе с запасными), тренера и массажиста, и при этом пару штук еще останется.
Разделив 2 торта на кусочки величиной в одну шестую (1/6), вы получите 12 кусочков. В итоге вы смогли бы угостить тортом 12 человек.
Таким образом, 2 при делении на 1/6 дает 12.
Вычисление выглядит следующим образом:
2: 1/6 = 2/1 х 6/1 = 12/1
Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:
а) 1/3: 3/4 = __; б) 7/8: 2/3 = __; в) 2/7: 4/5 = __
Ответы:
а) 4/6; б) 21/16; в) 5/14
в) Третий пример решается так:
2/7: 4/5 = 2/7 х 5/4
2 х 5 = 13 (числитель)
7 х 4 = 28 (знаменатель)
Ответ: 10/28. Оба — и числитель, и знаменатель — являются четными числами, поэтому мы можем разделить их на 2, получив в качестве окончательного ответа 5/14.
