Книга: Быстрая математика: секреты устного счета
Назад: Глава 8 Сложение
Дальше: Глава 10 Возведение в квадрат
Глава 9
Вычитание
Большинство людей считают, что вычитать сложнее, чем складывать. Вовсе не обязательно. В настоящей главе мы познакомимся с подходами, которые сделают для вас вычитание пустяковым делом.
Прежде всего рассмотрим, как вычитать числа в уме.
Чтобы вычесть два числа в уме, попробуйте округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.
Чтобы вычесть 9, отнимите 10, а затем прибавьте к ответу 1; чтобы вычесть 8, отнимите 10 и прибавьте 2; чтобы вычесть 7, отнимите 10 и прибавьте 3. Например:
Чтобы вычесть 9 из 56 в уме, самый простой способ сделать это — сначала вычесть 10 (получив в ответе 46), а затем прибавить 1 (47).
Вычитая 8 из 47, отнимите 10 (37) и прибавьте 2 (39).
Чтобы вычесть 38 из 54, отнимаем сначала 40 (что даст нам 14), а затем прибавляем 2, получив окончательный ответ 16.
На бумаге решение выглядело бы так:
54 минус 40 и плюс 2 (в кружке) дает 16.
Чтобы вычесть число, близкое по величине к 100, отнимайте 100 и прибавляйте разницу. Например, вычитая 87 из какого-нибудь числа, отнимаем 100 и прибавляем 13, поскольку 100 — 87 = 13.
Отнимем 100, что даст нам 336. Прибавим 13 (для чего сначала прибавляем 10, а затем еще 3), получив в ответе 349. Все очень просто.
Вычитание числа меньше 100 из числа больше 100
Если вычитаемое (число, которое вычитают) меньше 100, а уменьшаемое (число, из которого вычитают) больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме.
Например:
76 на 24 меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим легкий ответ: 58.
Решим другой пример:
Решите несколько примеров самостоятельно:
а) 142 — 88 = __; б) 164 — 75 = __; в) 123 — 70 = __; г) 114 — 80 = __; д) 112 — 85 = __; е) 136 — 57 = __
Просто, не так ли? Если знать, как это делается. Ответы:
а) 54; б) 89; в) 53; г) 34; д) 27; е) 79
Если вы допустили ошибку, прочтите заново описание метода. Затем попробуйте еще раз.
Тот же принцип применим и к числам, которые больше или меньше 10. К примеру:
Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:
а) 12 — 7 = __; б) 15 — 8 = __; в) 13 — 9 = __; г) 14 — 8 = __
Ответы:
а) 5; б) 7; в) 4; г) 6
Тот же подход справедлив и для вычитания трехзначных чисел:
Мы выполняем лишь одно несложное вычитание, все остальное в решении — это сложение.
Попробуем еще:
Про себя можно проговорить решение так: «Четырнадцать, которых не хватает до трехсот, плюс пятьсот, которых не хватает до восьмисот, дает пятьсот четырнадцать, плюс тридцать четыре — это пятьсот сорок восемь».
Чтобы прибавить 34, сначала приплюсовываем 30, а потом еще 4.
В этом состоит простой метод вычитания в уме. Не надо переносить или забирать разряды, и не представляет труда удерживание в уме сразу нескольких чисел.
Попробуйте решить следующие примеры сами:
а) 541 — 87 = __; б) 263–198 = __; в) 725–375 = __; г) 429–168 = __
Ответы:
а) 454; б) 65; в) 350; г) 261
В последнем примере можно было округлить 429 до 430, а потом отнять добавленную единицу в самом конце вычислений.
Вычитание на бумаге
Сейчас я расскажу о методе вычитания на бумаге, которому меня научили в третьем классе. Если вы достаточно освоили приемы умножения, описанные выше, данный метод не представит для вас труда.
Легкий способ вычитания используется в каждом из двух методов с переносом разрядов. О них вы непременно узнаете.
Разница между стандартным и легким способами вычитания является незначительной, но важной. Я объясню, как легче вычитать с помощью обоих методов, где используется перенос цифр из одного разряда в другой. Применяйте тот метод, который вам привычнее или кажется более простым.
Вычитание: первый метод
Возьмем типичный пример вычитания: 7254–3897 =
Вычтем 7 из 4. Это сделать невозможно, поэтому забираем 1 из разряда десятков. Вычеркиваем 5 и пишем выше 4. И вот в чем отличие. Вы не говорите «четырнадцать минус семь», а произносите: «Семь вычесть из десяти равно три», а затем прибавляете число, записанное над 7 (4), и получаете 7 — это первая цифра ответа.
Пользуясь таким подходом, вы никогда не вычитаете из числа, большего чем 10. Все остальное представляет собой операцию сложения. 9 вычесть из 4 невозможно, поэтому забираем 1 из разряда сотен. 10 минус 9 дает 1, 1 плюс 4 равно 5 — следующая цифра ответа.
8 вычесть из 1 нельзя, поэтому снова переносим 1 из следующего разряда. 10 минус 8 равно 2; 2 плюс 1 равно 3 — следующая цифра ответа.
6 минус 3 дает 3 — последняя цифра ответа.
Вычитание: второй метод
Вычитаем 7 из 4. Этого сделать нельзя, поэтому переносим 1 из разряда десятков. Ставим 1 перед 4, чтобы получилось 14, а также записываем маленькую 1 перед 9 в колонке десятков. Вы не говорите «семь вычесть из четырнадцати», а произносите: «Семь вычесть из десяти дает три», плюс 4 сверху — получается 7 — это первая цифра ответа.
10 (9 плюс перенесенная 1) вычесть из 5 не удается, поэтому забираем 1 из следующего разряда, как и раньше.
10 при вычитании из 15 дает 5, или 10 минус 10 получается 0, прибавляем 5, равно 5.
9 из 2 не вычитается, поэтому опять переносим 1. 9 из 10 дает 1, прибавляем 2 и получаем 3.
7 минус 4 равно 3. Ответ готов.
Вам не надо запоминать комбинации однозначных чисел, которые дают в сумме числа, превышающие 10. Используя способ простого вычитания, вы никогда не отнимаете от чисел, больших 10. Это упрощает вычисления и снижает вероятность ошибки.
Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:
Данный подход очень важен. Если вы вполне овладели умножением с помощью простых подходов, с которыми я познакомил вас ранее, то должны были усвоить комбинации чисел, дающих в сумме 10. Существует всего пять таких комбинаций.
С другой стороны, если бы вам пришлось выучить все комбинации однозначных чисел, которые дают в сумме число больше 10, то их уже 20. Используя же рассматриваемый подход, эти комбинации вообще не придется запоминать. Чтобы вычесть 8 из 15, отнимаем 8 от 10 (получаем 2), а затем прибавляем 5 и получаем ответ: 7.
а)
7325
- 4568
¯¯¯¯¯
б)
5417
- 3179
¯¯¯¯¯
Ответы:
а) 2757; б) 2238
Мой преподаватель в третьем классе учил меня никогда не вычитать из числа больше 10. Вероятность того, что вы допустите ошибку, вычитая из числа больше 10 и меньше 20, гораздо выше, нежели при вычитании из 10. Пользуясь таблицей умножения и правилами умножения из первых глав этой книги, вы почти никогда не допустите ошибок, вычитая из 10: ответы у вас будут получаться почти автоматически.
Вычитание из чисел, кратных 10
Правило такое:
Вычитайте цифру разряда единиц из 10, каждую последующую — из 9, а затем уменьшите на 1 крайнюю левую цифру.
Например:
1000
- 574
¯¯¯¯¯
Можно начинать либо с левой стороны, либо с правой.
Попробуем сначала справа. Вычитаем цифру, соответствующую разряду единиц, из 10.
10 — 4 = 6
Это последняя цифра ответа. Теперь вычтем остальные цифры из 9. А из первой цифры уменьшаемого (1000) вычтем 1.
10 минус 4 дает 6, 9 минус 7 дает 2, 9 минус 5 дает 4, 1 минус 1 дает 0. Таким образом, ответ равен 426.
Теперь попробуем слева направо: 1 минус 1 дает 0, 9 минус 5 равно 4, 9 минус 7 равно 2, 10 минус 4 равно 6. Ответ: 426.
Если нужно вычислить 40000 минус 2748, последовательность ваших действий должна быть такой:
40000
- 2742
¯¯¯¯¯
Вычитаем 1 из крайней левой цифры (4) и получаем 3 — это первая цифра ответа. 9 минус 2 дает 7, 9 минус 7 дает 2, 9 минус 4 дает 5 и 10 минус 8 дает 2.
Таким образом, ответ равен 37252.
Используя этот способ, нам нужно лишь вычитать из чисел, не превышающих 10, а также выполнять сложение, когда это нужно.
Сам подход точно такой же, как и прежде. Единственная разница состоит в том, что вы произносите про себя свои действия.
Решите самостоятельно:
а)
10000
- 3456
¯¯¯¯¯
б)
50000
- 27214
¯¯¯¯¯
Ответы:
а) 6544; б) 22786
Вычитание малых чисел из больших
Если вычитаемое число имеет меньше разрядов, чем уменьшаемое, тогда прибавьте нули перед числом (по крайней мере, мысленно), перед тем как вычислять.
Например:
Вычитаемое (число, которое вычитают) следует дополнить слева нулями до первой цифры уменьшаемого (число, из которого вычитают), отличающегося от нуля. Из этой цифры вы отнимаете 1. 3 минус 1 дает 2.
Отнимите каждую последующую цифру от 9, пока не дойдете до последней цифры, которую следует вычитать из 10.
Согласно методу, которому обучают в школе, вы выполняете точно такое же вычисление, однако вам необходимо все время помнить о цифрах, переносимых из разряда в разряд. Преимущество метода, который предлагаю я, состоит в том, что вычисления с его помощью становятся механическими и выполняются с меньшей вероятностью ошибки.
Проверка результата вычитания при помощи выбрасывания девяток
Для операции вычитания метод, используемый нами для проверки ответов, похож на тот, который мы применяли в отношении примеров на сложение. Но есть небольшое отличие.
Рассмотрим пример:
8465
- 2897
¯¯¯¯¯
5568
Верен ли полученный ответ?
Давайте выбросим девятки и посмотрим.
5 минус 8 равно 6? Может ли такое быть? Хотя в исходном примере мы вычитаем меньшее число из большего, в случае с подстановками вычитаемое больше, чем уменьшаемое.
Есть два пути. Один из них состоит в том, чтобы прибавить 9 к числу, из которого мы вычитаем.
5 плюс 9 дает 14. Задача выглядит так:
14 — 8 = 6
Имеет место равенство с контрольным числом, значит, наши вычисления верны.
А вот путь, который предпочитаю я. Решим ту же задачу в обратном направлении. Скорее всего, именно так вас учили проверять ответ в примерах на вычитание. Прибавьте ответ к числу, которое вычитали, и если получили уменьшаемое (контрольное число), значит, ответ правильный.
Проделаем то же самое с числами-подстановками. Сложим их в направлении снизу вверх:
6 + 8 = 5
6 + 8 = 14 и 1 + 4 = 5
Ответ верный.
Теперь проверьте правильность решения нижеприведенных примеров посредством выбрасывания девяток. Если обнаружите ошибку, исправьте ее и еще раз проверьте ответ.
Все примеры были решены правильно, за исключением
в). Исправили ли вы этот ответ и проверили ли снова полученный ответ путем выбрасывания девяток? Правильный ответ — 7047.
а)
5672
- 2596
¯¯¯¯¯
3076
б)
5967
- 3758
¯¯¯¯¯
2209
в)
8542
- 1495
¯¯¯¯¯
7147
г)
3694
- 1236
¯¯¯¯¯
2458
Данный метод позволяет выявить большинство ошибок в примерах на сложение и вычитание. Используйте его и сделайте неотъемлемой частью своих вычислений. Займет он совсем немного времени, но поможет вам заслужить репутацию человека, исключительно точного в операциях с числами.
Назад: Глава 8 Сложение
Дальше: Глава 10 Возведение в квадрат
