22. Скорость радиально поляризованного света
Скорость света в вакууме, обозначаемая латинской буквой c, — одна из самых важных физических констант. Всем хорошо известно, что световой луч летит в вакууме именно с такой скоростью, какова бы ни была его интенсивность или длина волны. На самом деле это утверждение не совсем верно. Свет движется со скоростью, строго равной c, только в том случае, если он представляет собой бесконечную во всех направлениях плоскую волну. Но настоящих плоских волн в природе не бывает. Поэтому скорость любого реального светового луча в вакууме неизбежно отличается от c. В большинстве случаев угловая расходимость светового пучка невелика, и это отличие чрезвычайно мало. Однако можно создать такой пучок света, в котором отличие будет вполне существенным и измеримым. В этой задаче как раз и предлагается найти скорость распространения светового пучка с цилиндрической симметрией.
Рис. 1. Радиально поляризованный свет в поперечной плоскости. Оттенками серого показана интенсивность светового поля, стрелочки — векторы электрического поля в разных точках плоскости. Изображение из статьи []
Но для начала надо рассказать, что такое вообще бегущая волна и как она описывается. Вообще, волна — это колебание какой-либо физической величины, которое распространяется в пространстве (рис. 2). В случае света колеблются электрическое и магнитное поля, в случае звуковой волны колеблется плотность среды, в случае волны на воде колеблется уровень жидкости. Обозначим эту колеблющуюся величину через a и будем для простоты считать, что она колеблется относительно нуля.
Рис. 2. Характеристики плоской монохроматической волны. Слева: одномерная волна в разные моменты времени, справа: двумерная волна и направление волнового вектора
У всякой волны есть два типа периодичности — во времени и в пространстве. Для простейшей волны зависимость колеблющейся величины от времени в какой-то фиксированной точке пространства выражается законом a(t) = A cos (ωt), где A — это амплитуда волны, а ω — ее частота. Период колебаний связан с частотой: T = 2π/ω. Если же, наоборот, зафиксировать момент времени, у волны будет пространственная периодичность, которая выражается такой формулой: a(r) = A cos (kr). Все жирные буквы обозначают трехмерные векторы: r — вектор координат, k — так называемый волновой вектор, а kr — их скалярное произведение. Волновой вектор — это характеристика волны, показывающая ее пространственную периодичность, как бы пространственный аналог частоты. Направление вектора k показывает, в какую сторону смотрят «гребни волн», а длина волны связана с модулем этого вектора: λ = 2π/k.
Если мы хотим получить бегущую волну, движущуюся в направлении вектора k, надо записать и координатную, и временнýю зависимость: a(r, t) = A cos (kr − ωt). Все выражение, которое тут стоит под косинусом, называется фазой волны. Эта формула описывает монохроматическую плоскую волну. «Монохроматическая» означает, что у нее фиксированная частота (словно цвет у света), а «плоская» — что поверхности одинаковой фазы представляют собой плоскости, перпендикулярные волновому вектору.
Чтобы найти скорость плоской монохроматической волны, сделаем небольшое преобразование внутри косинуса:
a(r, t) = A cos (kr − ωt) = A cos [k(r − vt)].
Вектор v направлен вдоль k, а его модуль равен v = ω/k. Благодаря выражению r − vt видно, что v и является скоростью волны. Более точно, это фазовая скорость: с течением времени весь фронт волны (все точки определенной фазы) смещается вперед как раз с такой скоростью. Для света в вакууме эта скорость всегда по модулю равна с для любой частоты.
Важное свойство волн состоит в том, что их можно накладывать друг на друга. Если волна, условно говоря, не мешает сама себе, то отдельные волны будут просто проходить друг сквозь друга без взаимодействия. Например, выражение
a(r, t) = A1 cos (k1r − ω1t) + A2 cos (k2r − ω2t)
описывает две наложенные друг на друга волны с разными амплитудами, частотами и волновыми векторами. Если частоты совпадают, а направления волнового вектора — нет, то волна будет по-прежнему монохроматической, но уже не плоской. Разумеется, можно также накладывать друг на друга не только две, но и больше волн, и даже бесконечное их число.
Это было отступление, в котором мы напомнили, как именно описываются плоские волны. Перейдем теперь непосредственно к задаче и построим специальный пример неплоской электромагнитной волны, известной под названием радиально поляризованный свет. Для этого выберем ось z и наложим друг на друга бесконечное число монохроматических плоских волн одинаковой частоты и амплитуды, бегущих под углом α к оси z. Волновые векторы всех этих волн одинаковы по модулю, но отличаются азимутальными направлениями. В декартовой системе координат волновой вектор любой из этих плоских волн запишется так:
k = k(cosφ sinα, sinφ sinα, cosα),
где угол α фиксирован, а азимутальный угол φ — переменный, он как раз характеризует, в каком направлении бежит каждая конкретная плоская волна в этом семействе волн. Наконец, для каждой плоской волны зададим поляризацию. Будем считать, что волна линейно поляризована и что вектор электрического поля лежит в плоскости, заданной вектором k и осью z. И последний штрих: будем считать, что все волны скоординированы по фазе, то есть в точке r = 0 и в момент времени t = 0 у всех у них одинаковая нулевая фаза. Рис. 3, на котором волновые векторы «заметают» поверхность конуса, должен помочь визуализировать это построение.
Если рассечь этот рисунок поперечной плоскостью и спроецировать на нее векторы электрического поля, то они будут торчать «ежиком», вдоль радиального направления (рис. 1). Именно поэтому такой световой пучок называется радиально поляризованным.
Рис. 3. Световой пучок, состоящий из набора всевозможных плоских волн, волновые векторы которых подходят под углом α к оси z. Стрелками вдоль конуса показаны волновые векторы некоторых из плоских волн, перпендикулярными стрелками — векторы электрического поля для пары волн, чьи волновые векторы лежат в плоскости (x, z)
Задача
Выясните, в какую сторону движется такая волна и с какой фазовой скоростью.
