18. Парадокс звуковой волны
Из повседневной жизни известно, что звук хорошо, без искажений, передается по воздуху как минимум на сотню метров. Если бы мы могли создать плоскую звуковую волну в однородной газовой среде и исключить все посторонние факторы, искажающие распространение звука (предметы, ветер, турбулентность атмосферы и так далее), было бы совершенно естественно ожидать, что звуковая волна так и будет распространяться вперед без искажения профиля. В конце концов, при описании волновых явлений именно звук часто приводится в качестве простейшего «стандарта» волны.
Однако эти основанные на повседневном опыте ожидания наталкиваются на неожиданный парадокс, который мы сейчас разберем.
В плоской звуковой волне имеются чередующиеся области сгущения и разрежения газа, которые зависят как от времени, так и от координаты, вдоль которой распространяется волна (рис. 1, слева). Из-за колебаний плотности в каждой точке пространства существуют небольшие течения газа вперед-назад. Будем считать, что звук при таком свободном распространении не искажается, то есть профиль звукового колебания не меняется со временем.
Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся со скоростью звука (рис. 1, справа). В этой системе существует встречный поток газа с небольшими модуляциями, но звуковая волна в этой системе отсчета неподвижна. Значит, давление P, плотность ρ и скорость течения газа v в этой системе отсчета зависят только от координаты, но не от времени. Такое течение называется стационарным: течение газа есть, но профиль неоднородностей неподвижен. Кроме того, поскольку мы изначально взяли плоскую волну, движение газа одномерно и не зависит от поперечных координат. Значит, вязкость воздуха тут не играет роли, поскольку никакие слои газа не трутся друг о друга.
Рис. 1. Плоская звуковая волна неизменного профиля, наблюдаемая из неподвижной (слева) и сопутствующей (справа) систем отсчета. В неподвижной системе отсчета в газе имеются локальные течения вперед-назад, однако в среднем газ покоится, а профиль плотности бежит вперед со скоростью звука. В сопутствующей системе, наоборот, профиль звуковой волны неподвижен, зато имеется встречный стационарный поток газа, скорость которого зависит от координаты (но не от времени!)
К такому течению применимы два основных закона гидродинамики: стационарное уравнение неразрывности ρv = const и уравнение Бернулли
В этих уравнениях плотность, скорость течения и давление — переменные величины, они меняются от точки к точке. Но они меняются скоррелированным образом, так, чтобы выписанные величины оставались постоянными повсюду.
Но тогда, выразив скорость из первого уравнения и подставив во второе, можно получить уравнение состояния газа, в котором распространяется звук, то есть связь между давлением и плотностью:
где величины P0 и a — некоторые константы. Однако неизвестно ни одного вещества с таким уравнением состояния. И уж точно оно не отвечает реальным газам — их-то уравнения состояния мы знаем! Более того, можно показать, что вещество с таким уравнением состояния было бы термодинамически неустойчиво.
Задача
Таким образом, теория утверждает, что самая простая звуковая волна, которую только можно себе представить, невозможна в реальных средах, — и это, казалось бы, находится в противоречии с опытом. Разрешите возникший парадокс.
