В офис вашего отряда экоспасателей по каналу экстренной связи поступает сообщение. Неподалеку от заповедника дикой природы, где обитают находящиеся под угрозой исчезновения морские птицы, млекопитающие и водные организмы, сел на мель танкер, из которого вытекают нефтепродукты. Танкер сильно поврежден, и экипаж не в состоянии самостоятельно остановить разлив. У вас есть запас надувных боновых заграждений (или просто бонов), с помощью которых можно сдержать загрязнение. По данным команды танкера, жидкость, вытекающая со скоростью 1000 л/ч, расползается пятном толщиной 0,002 мм; со спасательного вертолета, зависшего непосредственно над разливом, были сделаны фотографии, и у вас есть представление о форме пятна. Вашему отряду по силам установить надувные боны и затем откачать водно-нефтяную эмульсию, но у вас уйдет два часа на то, чтобы добраться до места. Монтируя боновые заграждения, судно движется со скоростью 1,7 км/ч. Если определить заранее длину требуемых бонов, вы сможете в предельно сжатые сроки снарядить экипаж и справиться с проблемой. Какое-то время преимущественное направление ветра и течение в этом районе останутся неизменными, поэтому пятно, которое распространяется под углом 60° от танкера, сохранит свою форму. По оценкам береговой охраны, в вашем распоряжении есть меньше 12 часов — потом пятно достигнет вод заповедника дикой природы. Сумеете ли вы добраться до места и, установив боновые заграждения, сдержать разлив нефтепродуктов, прежде чем те доберутся до охранной зоны?

Нефтяной разлив имеет форму, близкую к сектору — части круга. Чтобы упростить расчеты, следует предположить, что схема размещения бонов также будет похожей на сектор. Вычисления осложняются тем, что пятно растет, поэтому вам придется соотносить границы разлива нефтепродуктов со временем, прошедшим с момента аварии.

Круги издавна очаровывают людей. Независимо от размеров, все круги имеют одну и ту же форму и одинаковые пропорции; как говорят математики, они подобны. И во все века особый интерес ученых привлекало одно соотношение: если взять длину окружности (периметр круга, или протяженность внешней границы) и разделить на диаметр (отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через ее центр, а также длина этого отрезка), всегда будет получаться один и тот же ответ.

Найденное число чуть больше трех — 3,14159265356 при округлении до десятого знака после запятой. Это иррациональное число, то есть его нельзя записать в виде обыкновенной дроби. Будучи представленным в виде десятичной дроби, оно продолжается бесконечно — без групп повторяющихся цифр. Чтобы обозначить его как есть, мы используем греческую букву π («пи»), но если нужен числовой результат, приходится подставлять округленное значение. Число π применяется во многих областях математики, и его значение, похоже, определяет, как геометрия работает во вселенной. А еще оно, конечно, помогает вычислять длину кривых и площади криволинейных фигур. Вы можете преобразовать формулу, определяющую π:

Если умножим обе части уравнения на диаметр, получим:

π × диаметр = длина окружности.

Формула позволяет вычислить криволинейную, сложную в измерении окружность путем умножения прямого, простого для оценки диаметра на π. Это дает нам равенство, которое разве что не звенит подобно школьному звонку:

C = πd.

Если вы помните, радиус (расстояние от центра до окружности) равен половине диаметра. Значит, два радиуса образуют диаметр, и стоит нам только сказать, что d = 2r, как у нас появляется альтернативная формула:

C = π × 2r.

Математики обычно записывают ее следующим образом:

C = 2πr.

Нефтяное пятно напоминает сектор, который представляет собой часть круга, ограниченную двумя радиусами и частью окружности — дугой.

Чтобы вычислить длину дуги, нужно знать, насколько велик сектор, а это определяется его углом. Глядя на спутниковый снимок, вы понимаете, что угол составляет 60°. Учитывая, что круг — это 360°, наш сектор будет шестой частью фигуры. Значит, длина его дуги составляет одну шестую от длины окружности:

Превращаем уравнение в единую дробь:

Сокращаем ее и получаем:

Необходимая длина бонов равняется сумме длины дуги и двух радиусов:

Теперь вынесем r за скобки:

Пока все хорошо. Есть формула для вычисления длины боновых заграждений, которая принимает в расчет радиус пятна. Но не слишком радуйтесь: мы еще должны учесть, что нефтепродукты продолжают вытекать из танкера, и разлив станет расти. На то, чтобы добраться до места, нужно время, поэтому следует выяснить, каким будет радиус пятна к моменту вашего появления.

Составляя уравнение для расчета длины боновых заграждений, мы исходили из того, что пятно, имеющее форму сектора, двухмерное. На самом деле оно трехмерное и напоминает невероятно тонкий (толщиной 0,002 мм) срез пирога. Вы можете вычислить объем разлива, умножив его площадь на толщину: для этого вам снова понадобится π. Вот формула площади круга: S = πr2. У нас есть шестая часть круга, значит, объем пятна будет определяться так:

Толщина пятна составляет 0,002 мм — оно не толще человеческого волоса, чем и объясняется способность нефтяных разливов распространяться на огромную площадь и наносить ощутимый урон окружающей среде. Нам известно, что 0,002 мм — это две тысячных доли миллиметра, а миллиметр — тысячная часть метра, то есть толщина пятна равняется двум миллионным частям метра. Подставим это в формулу объема:

Превратим в единую дробь:

Избавимся от двойки в числителе, разделив обе части дроби на 2:

В итоге у нас остается такое уравнение:

Вы знаете, что объем пятна увеличивается на 1000 л/ч, то есть на 1 м3/ч. Другими словами, объем, выраженный в кубических метрах, — это скорость, умноженная на количество часов, прошедших с того момента, как танкер дал течь. Определив t как количество прошедших часов, что дает V = 1 × t, или просто V = t, подставляем выражение в формулу объема и изменяем ее таким образом, чтобы появилась возможность найти r:

Умножаем обе стороны на 3 000 000:

3 000 000t = πr2,

затем делим обе стороны на π:

Чтобы получить r, а не r2, извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

Подставив полученное выражение в формулу расчета длины бонов, вы сможете сказать, сколько боновых заграждений понадобится с учетом показателей времени, прошедшего с момента начала разлива:

Эта формула сообщает кое-что очень важное: требуемая длина боновых заграждений пропорциональна квадратному корню из времени. Ваше судно начнет монтаж спустя два часа после начала течи в танкере и каждый час будет устанавливать 1700 м бонов. Получается вот такой график:

Поначалу нефтяное пятно растет очень быстро, но со временем темп замедляется, и ваш отряд получает шанс наверстать упущенное. Если взглянуть на график, станет очевидно, что нужное (то есть превышающее внешние границы пятна) количество боновых заграждений — от 7000 до 7500 м — будет установлено всего за шесть часов.

Поняв, что возможность добраться до места, установить боны и защитить охранную зону все же существует, вы с облегчением выдыхаете, снаряжаете судно и пускаетесь в плавание.