Вы выбраны официальным фотографом саммита глав государств, поскольку вам нет равных в искусстве запечатлевать моменты. Организаторы саммита просят сделать как можно больше кадров с рукопожатиями руководителей разных стран. Но есть одна закавыка. Остается всего час до прибытия последних лидеров — парочки самовлюбленных клоунов-популистов с сомнительными прическами и еще более сомнительной политикой: с ними никто не захочет прилюдно здороваться за руку. И, сами понимаете, все рукопожатия с их появлением прекратятся. Успеете ли вы сфотографировать официальное приветствие каждой возможной пары руководителей до того, как на саммит явятся два последних участника?

Задачи о рукопожатиях — хорошо изученная область математики, а сами решения разнообразны и занимательны. В вашем случае самое разумное — узнать требуемое количество фотографий. Для уточнения давайте рассмотрим небольшую группу людей.

Анна приветствует Боба — получаем одно рукопожатие:

Появляется Валентина. Ей предстоит пожать руку Анне и Бобу — вот уже два приветствия.

Показывается Герман. Ему нужно обменяться рукопожатиями с Анной, Бобом и Валентиной, а значит, количество встреч увеличивается на три.

Далее следует Диана, которой придется приветствовать уже четверых. И так далее. Так, прибывшему на саммит двадцать пятым придется обмениваться рукопожатиями с двадцатью четырьмя персонами, которые его опередили. Из всего этого следует, что человеку, чей порядковый номер в череде явившихся на саммит — n, предстоит пожать руку n – 1 уже присутствующих гостей. Итак, чтобы определить, какое количество приветствий приходится на 100 человек, следует сложить 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99.

Можно, конечно, какое-то время повозиться с калькулятором, однако сумма последовательных целых чисел — это еще одна классическая математическая задача. Один из способов ее решения — использование точечных треугольников. При наличии на встрече пятерых человек вам пришлось бы фотографировать 1 + 2 + 3 + 4 рукопожатий, что можно представить в виде треугольного массива точек:

Разумеется, вы не отказались бы от формулы для подсчета точек в треугольнике. Но если отталкиваться от прямоугольника, это упростит вычисления. Поэтому добавляем второй треугольник с таким же количеством точек и получаем прямоугольник размером 4 на 5 точек.

В прямоугольнике 4 × 5 = 20 точек, а в каждом треугольнике по 20 ÷ 2 = 10 точек. Обобщаем полученные данные: если треугольник имеет r линий с точками, то у прямоугольника, образующегося при его удвоении, таких линий будет r + 1. Это означает, что прямоугольник окажется состоящим из r × (r + 1) точек. Чтобы вернуться к точкам первого треугольника, это количество понадобится уменьшить в два раза:

Математики знают и саму эту формулу, и связанную с ней байку. В конце XVIII века учитель задал гениальному немецкому математику Карлу Гауссу задачу — сложить все числа от 1 до 100. Утверждается, что Гаусс прибегнул к вышеизложенному простейшему способу и нашел решение почти мгновенно. Это и рассердило, и обескуражило учителя, а Гаусс стал одним из величайших математиков всех времен.

Для n людей, обменивающихся рукопожатиями, учтем, что r = n – 1, поскольку приветствий будет на единицу меньше, чем человек. Заменяем в формуле r на n – 1 и получаем:

n – 1 + 1 — это просто n.

Для 100 глав государств n = 100:

Получается 4950 рукопожатий. Фотосъемка — даже если допустить, что на каждый снимок уйдут несчастные десять секунд, — продлится 49 500 секунд, или 13 часов 45 минут. Так что способа сделать все нужные фотографии за отведенный час не существует. Однако организаторы саммита наняли вас отнюдь не для того, чтобы вы беспомощно развели руками, поэтому давайте подумаем, что можно предпринять.

Предположим, что сначала вы сделаете по одному фото с рукопожатием каждого главы государства. На саммите 100 человек: число кадров будет равняться 50, и на съемку понадобится 500 секунд. Далее попробуем правильно распорядиться оставшимся временем — прикинем, для многих ли руководителей вы успеете сделать полный комплект фотографий. Время съемки — это количество рукопожатий, умноженное на 10 секунд, так что получаем:

Упрощаем — умножаем на 10 и получаем 5:

Время = 5(n – 1) n.

В вашем распоряжении есть час, то есть 60 × 60 = 3600 секунд. Однако вы уже потратили 500 секунд, чтобы снять каждого участника хотя бы по разу, так что у вас всего 3100 секунд. Нужно решить вот такое уравнение:

3100 = 5(n – 1) n.

Сначала обе части делим на 5:

620 = (n – 1) n.

Потом раскрываем скобки:

620 = n2 – n.

Поскольку неизвестное n у нас возведено в квадрат, мы имеем дело с квадратным уравнением. Подобные выражения решаются сложнее линейных, но если получится придать нашему уравнению такой вид, чтобы одна его часть стала бы равной нулю, мы сможем воспользоваться знакомой формулой. Чтобы преобразовать наше уравнение, из обеих частей вычитаем 620:

n2 – n – 620 = 0.

Затем подставляем значения (a = 1, b = –1 и c = –620) в вышеупомянутую формулу:

Вычисляем каждую часть:

С точностью до одной десятой получаем одно положительное решение n = 25,4. Это означает, что, израсходовав 5 × 24 × 25 = 3000 секунд, вы успеете запечатлеть рукопожатия 25 человек со всеми остальными. В запасе останутся еще 100 секунд — потратьте их на десяток случайных кадров или просто утрите пот со лба.

Глав государств вместе со всеми рукопожатиями можно изобразить в виде диаграммы. Представив 100 руководителей точками на окружности круга и соединив эти точки отрезками, вы получите сложную диаграмму — она называется «полный граф», или «роза» (возможно, название связано с тем, что отдаленно она напоминает окна-розы — круглые витражи, которые можно встретить в старинных церквях). Удивительное дело: диаграмма, состоящая исключительно из прямых линий, выглядит так, словно представляет собой концентрические круги и кривые. Выше представлена роза, созданная из расчета на 25 человек при помощи генератора Эдварда Платта (см. ).

В вашем случае такая диаграмма совершенно бесполезна, но согласитесь, смотрится она очень круто.

Организаторы встречи остаются довольны вашим предложением, и вы доводите его до ума еще до прибытия здоровенного вертолета и автомобильного кортежа.