Формула Больцмана

Эрнст Мах был не первым физиком, поднявшим вопрос о существовании Я. За сто лет до него примерно о том же говорил Георг Лихтенберг (1742–1799), когда отметил, что нам следует говорить не “я думаю”, а безлично – “думается”. А венский коллега Маха Людвиг Больцман, несомненно, разделял взгляды Лихтенберга, когда разоблачал “странное мнение, что мы будто бы можем думать, как сами захотим”. Жизнь и мысли Маха и Больцмана были тесно переплетены.

Людвиг Больцман родился в Вене в 1844 году и происходил из такой же скромной семьи среднего класса, как и Эрнст Мах. Вскоре после рождения Людвига его отец, налоговый чиновник, получил назначение в финансовый департамент города Линца. Там быстро заметили незаурядные дарования мальчика, особенно в математике и музыке. И точно так же, как Эрнст Мах в детстве, маленький Больцман до поступления в гимназию учился дома. Его молодой учитель фортепиано, некто Антон Брукнер, только начал делать себе имя как главный органист Линца.

В пятнадцать лет Людвиг лишился отца. Овдовевшая мать потратила все наследство на образование сыновей. Когда Людвиг окончил обучение в гимназии, семейство вернулось в Вену. Здесь юноша изучал математику и физику, в 1866 году получил докторскую степень и, в точности как Мах, начал читать лекции в университете в нежном возрасте двадцати трех лет. Однако Больцмана интересовала в основном не экспериментальная, а теоретическая физика. Потом он шутил: “Я презираю эксперименты, примерно как банкир презирает мелочь”.

Его научный руководитель Йозеф Стефан советовал ему читать трактаты по физике Джеймса Клерка Максвелла, а заодно подарил и учебник по английской грамматике, поскольку в то время Больцман не знал ни единого слова по-английски. Оказалось, что учится он быстро. Уже вторая его статья – “О механической интерпретации второго закона термодинамики” (Über die mechanische Bedeutung des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie) – оказалась революционной. Вскоре научное сообщество признало, что именно Больцман лучше всех способен понять и развить труды Максвелла по электромагнетизму и термодинамике.

К двадцати пяти годам Больцмана сделали профессором математической физики в Граце. В 1875 году он стал профессором математики в Вене, однако оставался там всего три года, а затем вернулся в Грац и получил кафедру экспериментальной физики – на эту вакансию рассматривали и кандидатуру Маха. Разумеется, на самом деле Больцман, вопреки собственному утверждению, не презирал экспериментов и был в восторге от такой должности; однако у него была и другая причина снова оказаться в Граце.

Еще раньше, живя в Граце, он познакомился с девушкой по имени Генриетта фон Айгентлер, питавшей необычную любовь к математике и физике. Больцман уговорил руководство университета разрешить ей посещать лекции – в те времена это было неслыханно. Его мотивы были не вполне бескорыстны. В 1875 году он написал Генриетте письмо с предложением руки и сердца:

Хотя я отнюдь не убежден, что холодные и неизбежные следствия из точных наук должны или способны подавлять наши чувства, тем не менее нам как представителям вышеуказанных наук подобает действовать лишь после взвешенных размышлений, а не следовать мимолетным прихотям. Вы как математик, несомненно, не сочтете числа непоэтичными – ведь они правят миром. Так вот: в настоящее время мое жалованье составляет 2400 флоринов в год. Нынешняя ежегодная премия – 800 флоринов. В прошлом году плата за лекции и экзамены составила около 1000 флоринов, однако последняя сумма дохода год от года меняется… Общая сумма не мала, ее достаточно на ведение хозяйства; однако, учитывая стремительный рост цен в наши дни, вы не сможете позволить себе на эти деньги много развлечений и увеселений.

Отменно составленное, пусть и чопорное, предложение Больцмана было принято, и в браке родилось пятеро детей – столько же, сколько в семействе Эрнста Маха.

Следующие пятнадцать лет в Граце стали самым плодотворным временем в жизни Больцмана – не только в смысле продолжения рода, но и с точки зрения научных достижений. Он стоял у истоков кинетической теории газов, которая обеспечивает механическую основу термодинамики. Это не просто было огромным шагом вперед для физики, но имело значение и для философии, поскольку обеспечивало причинно-следственное объяснение с опорой на механическую модель – черта, с которой Мах смирился не сразу.

Больцман делает предложение

По мысли Больцмана, газы состоят из частиц, которые постоянно мечутся и сталкиваются, будто бильярдные шары, и чем выше температура, тем быстрее они двигаются, хотя скорость у них разная. Сталкиваясь друг с другом и со стенками сосуда (таким образом оказывая на стенки давление, которое можно измерить), одни частицы ускоряются, а другие замедляются. Уравнения Больцмана, статистически обобщавшие такое поведение частиц, стали столпами физики и сегодня играют важнейшую роль во многих отраслях техники, например в теории полупроводников.

Разумеется, на самом деле частицы газа – не миниатюрные бильярдные шары. Должны ли мы с учетом этого сказать, что статистическая теория газов дает лишь картину, а не объяснение? Но ведь крошечные частички в сосуде гораздо реальнее, чем просто картина, не так ли? И разве их постоянное мельтешение – не причина давления? Даже загадочная идея энтропии, которая в замкнутой системе со временем всегда повышается, становится интуитивно понятной и простой, если переформулировать ее в терминах статистической механики.

По мысли Больцмана, энтропия связана с вероятностью того или иного состояния частиц в сосуде, а эта вероятность тем выше, чем случайнее система (как перетасованная колода карт с большей вероятностью окажется сложена в случайном порядке, чем новая, нетронутая). Иначе говоря, энтропия – это мера беспорядка системы при исследовании на микроскопическом уровне. Если предоставить систему самой себе, беспорядок возрастет, и удивляться тут нечему: сами посмотрите, что творится у вас на столе!

Однако Мах сохранял скептицизм. “Примирение молекулярной гипотезы с энтропией – это преимущество для гипотезы, но не для закона энтропии”. По его мнению, единственная обязанность теории – сжато описывать наблюдаемые переменные вроде давления и температуры. Поэтому статистическое переосмысление термодинамики, которое предпринял Больцман, выходило за рамки.

Более того, новая теория вынуждала задавать неприятные вопросы. В частности, если беспорядок со временем всегда возрастает, то сам этот факт должен определять направление течения времени. Поясним на конкретном примере. Предположим, все молекулы газа поместили в левую половину сосуда, а затем предоставили самим себе. Налетая друг на друга, молекулы быстро заполнят весь объем сосуда. Если им не мешать, они больше никогда не скопятся в левой половине. Ничто никогда не возвращается в более простое и упорядоченное первоначальное состояние. По крайней мере до сих пор не удалось пронаблюдать ни одного случая подобного возвращения. Значит, такой эффект постоянно возрастающего беспорядка явным образом отличает прошлое от будущего, создавая таким образом однозначно направленную ось времени.

Молекулы газа, сначала помещенные в левую половину сосуда, а затем выпущенные на свободу

Против теории Больцмана были выдвинуты два возражения, и до сих пор ни одно из них не удалось опровергнуть ко всеобщему согласию. Это парадокс периодичности и парадокс обратимости.

О парадоксе обратимости первым заговорил Иоганн Йозеф Лошмидт, старший друг и наставник Больцмана. Законы механики, управляющие столкновениями бильярдных шаров и всех прочих объектов, не отличают будущее от прошлого. То есть, если мы смотрим фильм про бильярдные шары, абсолютно упруго соударяющиеся на столе, мы не можем определить, в каком порядке нам его показывают – в прямом или обратном. Но если мы смотрим фильм про каплю сливок, растворяющуюся в чашке кофе, мы без труда понимаем, какова последовательность событий. Так откуда время получило направление?

Парадокс повторяемости восходит к немецкому математику Эрнсту Цермело (1871–1953). Согласно законам вероятности, любое состояние, однажды достигнутое, должно быть достигнуто снова – и снова, и снова. Это безупречно доказанная теорема. Следовательно, частицы в сосуде рано или поздно должны вернуться в левую половину, где когда-то содержались. Но ведь этого не происходит!

Подобные трудные загадки беспокоили даже самых собранных и хладнокровных мыслителей, а Больцмана едва ли можно было назвать собранным и хладнокровным.