Бертран Рассел

На протяжении девятнадцатого века математику постоянно контролировали, укрощали и проверяли железной логикой. Мало того, что ради строгости пришлось пожертвовать интуитивным обаянием математики – сам метод логических рассуждений стал жестко регламентирован и расписан по шагам. Более того, стало очевидно, что старой доброй аристотелевой логики математикам уже не хватает. В ответ на такой спрос англичанин Джордж Буль (1815–1864), немец Рихард Дедекинд (1831–1916) и итальянец Джузеппе Пеано (1858–1932) разработали свои версии чистой символической логики, которая дает возможность формализовать даже самые сложные математические доказательства. А предельным случаем такой логики стало “понятийное письмо” – Begriffsschrift, – которое создал немецкий логик Готлоб Фреге (1848–1925).

Такую же двойную задачу – поставить математику на логические основания и превратить логику в математическую дисциплину – поставил перед собой и юный Бертран Рассел (1872–1970).

Рассел родился в британской аристократической семье, его дед дважды был премьер-министром. Маленький Берти рос как сиротка – до того строго воспитывала его глубоко верующая бабка. Он получил домашнее образование, а затем поступил в Кембридж, чтобы изучать математику. Много лет его преследовал панический страх душевной болезни. В его семье были подобные случаи. А великое утешение и возможность отвлечься от мыслей о самоубийстве дала ему математика с ее холодной определенностью. Однако в 1902 году Бертран Рассел обнаружил парадокс, который заставил сильно усомниться в этой холодной определенности. А самое неприятное – этот парадокс относился к теории множеств, теории, которую в то время начали считать незыблемым фундаментом, на котором предстояло возвести всю остальную математику. Катастрофа!

“Невозможно, пожалуй, переоценить значение его способа философствования. Я твердо убежден, что это метод будущего – единственный метод, способный воплотить мечту Лейбница о строгом математическом подходе к философским вопросам” Мориц Шлик

Множества – это наборы элементов. Эти элементы, в свою очередь, тоже могут представлять собой множества, подобно тому как папки могут содержать в себе другие папки. Нетрудно представить себе множество, которое содержит как элемент само себя (например, множество всех множеств – это тоже множество). Однако многие множества, естественно, сами себя не содержат (например, множество всех котов, ведь само оно не кот).

А тогда как насчет множества Х всех множеств, которые не содержат сами себя? Содержит ли Х само себя? Если да, то нет, а если нет, то да. Разберем подробнее: если Х не содержит самого себя, то по определению, которое мы дали Х, Х должно быть одним из элементов Х, а следовательно, содержит само себя; напротив, если Х содержит само себя, то оно, опять же по определению, не может быть элементом Х, а следовательно, не содержит самого себя. Такие безостановочные метания между да и нет, безусловно, не могут не тревожить.

Родственный парадокс придумал немецкий философ Курт Греллинг (1886–1942), некоторое время работавший с Куртом Гёделем и входивший в так называемый Берлинский кружок, группу философов, тесно связанную с Венским кружком. Греллинг был еврей и погиб в Аушвице.

Его парадокс выглядит следующим образом. Говорят, что слово автологично, если оно точно описывает само себя. Например, слово “русское” – русское, то есть автологичное, а слово “немецкое” – не немецкое (оно тоже русское), а значит, не автологичное. Еще примеры: слово “пятисложное” имеет ровно пять слогов, а значит, автологично. А слово “двухсложное” состоит не из двух, а из четырех слогов и поэтому не автологично. Прилагательное “раритетное” само по себе довольно редко и потому раритетно, а следовательно, автологично, а прилагательное “непроизносимое” вполне произносимо, а следовательно, неавтологично.

Так вот, если мы только что придумали слово “неавтологичное”, будет ли оно автологичным? Если да, то нет, а если нет, то да. Опять же неприятная ситуация.

Сам Рассел описал свой парадокс на примере цирюльника, который бреет всех мужчин в деревне, которые не бреются сами. Бреет ли цирюльник сам себя? Если да, то нет, а если нет, то да. Мы снова попали в крайне неприятную ситуацию.

Когда Рассел сообщил о новом парадоксе логику Фреге, тот был потрясен до глубины души. Он сразу понял, что вся его теория пошла насмарку. Второй том “Основ арифметики” Фреге (Grundgesetze der Arithmetik) уже готовился к печати, и вносить правку в текст было поздно. Фреге мог разве что добавить послесловие. И то, что он написал, по сей день служит памятником интеллектуальной честности: “Мало что может быть неприятнее автору научного труда, чем по завершении работы узнать, что один из столпов его творения обрушен”.

В отчаянной попытке вырваться из смертельной хватки собственного парадокса Рассел изобрел теорию типов, которая запрещала множеству содержать само себя (или двум множествам содержать друг друга и т. д. и т. п.). Такой подход, более осмотрительный, и другие тщательно продуманные подходы, разработанные другими учеными – некоторые из них сегодня более популярны, – сделали возможным обойти парадокс Рассела и другие родственные ему парадоксы.

Когда в 1903 году вышла в свет книга Рассела “Основания математики”, он всего в тридцать лет стал самым знаменитым логиком своего времени. Основная мысль его книги была программной: математика должна строиться на логике и только на логике. А затем вместе со старшим коллегой философом Альфредом Нортом Уайтхедом (1861–1947) Рассел взялся за проработку этого грандиозного проекта в мельчайших подробностях, и их совместный трехтомный труд Principia Mathematica вышел в 1910–1913 годах.

Principia Mathematica стали библией математической логики. Доказательство теоремы “1 + 1 = 2” появляется лишь на 362-й странице второго тома и написано на таком узкоспециальном и заковыристом языке, что ее в глаза не узнает большинство читателей, а преимущественно математики.

Согласно Principia Mathematica, парадокс Рассела вроде бы удалось обойти, однако он оставил по себе неприятный осадок. Можно ли рассчитывать, что не появится никаких неожиданных противоречий, которые еще просто не открыты? Кому нужны самые изящные логические доказательства, если нельзя полагаться на логику как таковую?

Анри Пуанкаре описал это притчей: математик подобен пастуху, который, чтобы уберечь свое стадо от волков, окружает его высоким забором. Через него не может перебраться ни один зверь. Но вдруг волк спрятался где-то внутри забора?

Поэтому в число двадцати трех задач, которые Давид Гильберт поставил перед математиками наступающего века, входила и такая: как доказать, что внутри математики нет скрытых противоречий?