В 2000 году Математический институт Клэя опубликовал список семи «Проблем тысячелетия» – наиболее важных нерешенных математических задач. В него вошли: гипотеза Ходжа, гипотеза Пуанкаре, гипотеза Римана, квантовая теория Янга – Миллса, проблема существования и гладкости решений уравнений Навье – Стокса, гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера и проблема равенства классов P и NP. Эти имена и названия мало что говорят подавляющему большинству людей – за исключением тех немногих, кто имеет отношение к специфическим разделам математики, – но главный спонсор института Лэндон Клэй четко обозначил исключительную важность этих гипотез, пообещав выплатить 1 миллион долларов за доказательство или опровержение любой из них. На момент написания книги решена была только проблема с гипотезой Пуанкаре. Гипотеза Пуанкаре – это проблема из области математической топологии. Топологию можно представить как геометрию (математику форм), которая имеет дело с тестом для выпечки. В топологии фактические формы самих объектов неважны, объекты группируются по количеству отверстий, которыми они обладают. Так, для тополога нет разницы между теннисным мячом, мячом для регби или даже фрисби. Если бы все они были сделаны из теста, то теоретически их можно было бы раздавить, растянуть или иным образом переконфигурировать, чтобы они выглядели похожими друг на друга, не прокалывая новых дыр в тесте и не закрывая тех, что есть изначально. При этом эти объекты принципиально отличаются от резинового кольца, камеры шины или обруча баскетбольной корзины – каждый из этих объектов имеет отверстие в середине, как бублик. Фигура в виде восьмерки с двумя отверстиями и крендель с тремя – опять же разные топологические объекты.

В 1904 году французский математик Анри Пуанкаре (тот самый Пуанкаре, который вмешался, чтобы прекратить издевательства над математикой и оправдать капитана Альфреда Дрейфуса в третьей главе), предположил, что самой простой формой в четырехмерном пространстве является четырехмерная проекция сферы. Чтобы объяснить, что для Пуанкаре означало понятие «простой», представьте, будто вы пытаетесь обвязать веревку вокруг некоего объекта. Если вы сможете стянуть эту веревку с объекта так, чтобы при этом она не отрывалась от его поверхности, и чтобы на веревке не завязался узел, то с точки зрения топологии объект тождественен сфере. На языке математики это называется односвязность. Если же трюк у вас не удастся, то вы имеете дело с более сложным топологическим объектом. Представьте, что вы протягиваете струну через центр бублика и делаете петлю. Снять эту струну с бублика, не разомкнув петлю, вы не сможете. Бублик, имеющий одно отверстие, принципиально более сложная фигура, чем футбольный мяч, который отверстий не имеет. Результат в трехмерном пространстве был уже хорошо известен, но Пуанкаре предположил, что та же идея окажется верной и в четырех измерениях. Позднее его предположение обобщили – идея должна быть верной в пространстве с любым количеством измерений. Однако к моменту объявления приза за решение «Проблем тысячелетия» верность гипотезы подтвердили для всех других измерений, и только первоначальная гипотеза Пуанкаре о четырехмерном пространстве оставалась недоказанной.

В 2002 и 2003 годах российский математик-отшельник Григорий Перельман поделился с сообществом топологов тремя сложными для понимания математическими статьями . Эти работы предполагали решение проблемы в четырех измерениях. Несколько групп математиков потратили три года, чтобы удостовериться в верности его доказательств. В 2006 году, в год, когда Перельману исполнилось 40 лет – предельный возраст для получения премии, – он был награжден медалью Филдса, математическим эквивалентом Нобелевской премии. Вручение премии произвело некоторый шум в кругах, далеких от математики, но настоящей сенсацией стал отказ Перельмана от почестей. Он оказался первым человеком, отказавшимся от медали Филдса. В своем заявлении об отказе Перельман сказал: «Меня не интересуют ни деньги, ни слава. Я не хочу, чтобы меня выставляли напоказ, как животное в зоопарке». В 2010 году Математический институт Клэя наконец признал, что Перельман все же заслужил 1 миллион долларов за решение одной из «Проблем тысячелетия», но питерский математик отказался от их денег.