9. Прыжок с обрыва
(Монастырь Ганден, Тибет, 1612 год)
Ты мирно сидишь, читаешь книгу и наслаждаешься закатом в горах, как вдруг в поле твоего зрения появляется Трипа Драгпа. Ты поднимаешь глаза и видишь, как просвечивающее через копну его волос солнце образует фантастическое гало вокруг его головы.
«Брось книгу подальше, – приказывает он. – Брось ее! Ответь, полетит ли она по прямой? Если скажешь да, ты на правильном пути, но тебе придется выколоть глаза. Если же скажешь нет, тебе придется прыгнуть с обрыва».
Так как она полетит?
Я сидел в кресле в патентном бюро в Берне, и в этот момент мне пришла в голову неожиданная мысль: «Если человек находится в свободном падении, он не чувствует своего веса». Я был потрясен.
Эйнштейн
Если бросить предмет, его траектория окажется искривленной (нужно быть слепым, чтобы не заметить этого), поскольку гравитация тянет предмет к земле. Эйнштейн описал мысль, которая его осенила, когда он сидел в кресле в патентном бюро, как «самую счастливую в жизни», поскольку в конце концов она привела ученого к пониманию того, что траектория, которая выглядит искривленной, должна считаться прямолинейной.
Представьте себе, что вы прыгаете с обрыва, держа в руках эту самую книгу. Поскольку все это происходит лишь в воображении, вам не нужно волноваться по поводу того, что случится, когда вы долетите до дна. Вы также можете при падении пренебречь сопротивлением воздуха и считать, что гравитация – это единственное, что на вас действует. Лучше всего просто расслабиться, насладиться свободным падением и провести эксперимент с книгой. Бросайте ее. Что можно сказать о траектории книги, вспоминая об экспериментах Галилея в Пизе? Будет она криволинейной или прямолинейной?
Давайте проанализируем. Согласно изысканиям Галилея (сейчас точно подтвержденным экспериментально), и вы, и книга, и все остальное ускоряется Землей одинаково. Когда вы бросаете книгу (или воображаете, что делаете это) и она летит по воздуху, ее траектория искривляется, поскольку в каждый следующий момент времени притяжение Земли увеличивает вертикальную составляющую ее скорости. А вот в экспериментах Галилея, о которых мы рассказывали раньше, прямолинейное движение в пространстве характеризовалось постоянной скоростью.
Если, однако, вы собираетесь бросить книгу во время падения, для вас ее траектория будет выглядеть иначе. В этом случае, как и раньше, вертикальная составляющая скорости книги будет постоянно возрастать из-за гравитации, но то же самое будет происходить и с вашей скоростью. Таким образом, скорость книги относительно вас будет оставаться постоянной, и траектория книги будет вам казаться прямолинейной, в точности как если бы гравитации не существовало вообще. Представьте себе, что и вы, и книга помещены в некий воображаемый ящик, падающий вместе с вами. В этом случае вам казалось бы, что книга уплывает от вас с постоянной скоростью (рис. ниже).
Для наблюдателя, который смотрит на эту картину с края обрыва, траектория книги, так же, как и ваша, выглядит искривленной, но для вас, прыгнувшего с обрыва, она будет выглядеть прямолинейной. Так кто тут прав? Прямолинейная она или нет? Этот вопрос очень похож на вопрос о расстоянии между двумя различными событиями или о временном интервале между ними: каждый наблюдатель описывает происходящее по-своему, в зависимости от того, в какой системе отсчета он находится, – и все описания одинаково правильны. Однако есть и нечто объективное, что характеризует «расстояние» между двумя событиями, а именно – пространственно-временной интервал. Можем ли мы и в этом случае, используя свойства пространства-времени, как-то устранить противоречия в вопросе о прямолинейности пути? И если мы используем пространственно-временной подход, станет ли траектория прямолинейной?
Траектория падающей книги в двух разных системах координат.
Эйнштейн сказал «да» и еще раз «да», и в этих «да» заключен весь новый взгляд на гравитацию, пространство и время. Чтобы понять, в чем он состоит, мы должны собрать вместе три линии рассуждений, которым мы следовали до сих пор, и присовокупить к ним те несколько подсказок, которые были сделаны по пути. Давайте вспомним про эти три нити и попытаемся сплести их вместе.
Первая нить повела нас от стрелы Муненори к экспериментам с передвигаемыми холодильниками и катящимися мячами; потом мы блуждали по местности, составляя идеальную карту; затем спускались с горного перевала. В этих «путешествиях» мы увидели, что объекты обладают естественной склонностью либо оставаться неподвижными, либо двигаться по прямой с постоянной скоростью. Их поведение можно описать очень просто: как движение по прямой сквозь пространство и время. Их траектории обладают особым свойством: так же как прямая в пространстве есть кратчайшее расстояние между двумя точками, так и путь объекта сквозь пространство-время есть длиннейший путь между двумя событиями, если мы измеряем пространственно-временную длину между двумя событиями по часам, отсчитывающим время по сердечному ритму наблюдателя, движущегося по этому пути между этими событиями. Наконец, силы можно рассматривать как любое воздействие, приводящее к отклонению пути объекта от этой его естественной траектории в пространстве-времени.
Подводя итог, получаем правило: в отсутствие посторонних сил объект следует по траектории между двумя событиями, являющейся «прямой линией», определяемой как путь, на котором полное время между этими двумя событиями, измеренное по «сердечным часам» (собственное время объекта), максимально.
Мы следовали за второй нитью, которая вела нас за кораблем и гондолой. Благодаря ей мы узнали, что только что рассмотренное «естественное» движение по прямой возникает лишь в определенных системах отсчета. Система отсчета – это своего рода крупномасштабная рамка, внутри которой измеряются положение, скорости и момент времени, в какой происходит событие. Примерами систем отсчета являются комната или место, в котором вы сейчас находитесь, а также внутренность корабля, гондолы или самолета. Назовем те специальные системы отсчета, в которых объекты движутся в пространстве-времени по прямолинейным траекториям, инерциальными системами отсчета. Если задана одна инерциальная система (скажем, мост), вторая система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью и в фиксированном направлении относительно первой системы (скажем, гондола), тоже является инерциальной, и нет никаких оснований считать одну из них особой или предпочтительной по сравнению с любой другой.
Существует специальное правило для того, чтобы с помощью описания поведения объекта в одной инерциальной системе отсчета получить его описание в другой инерциальной системе. Например, объект, покоящийся в одной инерциальной системе, если его описывать в другой инерциальной системе, будет двигаться, причем в точности по тем правилам, которые разработал и описал Галилей. Но Эйнштейн обнаружил, что из-за того, что свет имеет одну и ту же скорость во всех инерциальных системах отсчета, правило Галилея следует заменить другим. Согласно этому модифицированному правилу, временные и пространственные интервалы искажаются таким образом, что два события, разделенные некоторым интервалом времени в одной инерциальной системе, в другой инерциальной системе будут разделены другим интервалом времени. Но это преобразование не изменяет интервал времени между двумя событиями, отсчитываемого по «сердечному ритму» (то есть пространственно-временной интервал). Таким образом, все системы отсчета считают интервал времени между двумя событиями, отсчитанный по «сердечному ритму», одним и тем же. А как обстоит дело с неинерциальными системами отсчета, которые вращаются или ускоряются относительно инерциальной? В них нет ничего зловредного, но если мы станем описывать события в одной из них, то объекты в отсутствие сил уже не будут стремиться двигаться по прямолинейной траектории с постоянной скоростью. Вместо этого они будут двигаться так, как будто на них действуют «фиктивные» силы, толкающие их туда-сюда. (Они похожи на фиктивные силы, что бросают вас вперед при резком торможении машины, и защищает вас от них только ремень безопасности.)
Суммируем. Инерциальные системы отсчета, в которых объекты движутся по прямолинейным траекториям в пространстве-времени, неразличимы; неинерциальные системы отличаются от инерциальных и друг от друга наличием «фиктивных» сил, возникающих в этих системах.
Третья нить потянула нас наверх в башню и вниз с обрыва, и мы увидели, что все предметы падают с одинаковой скоростью, так что свободно падающая система (маленькая и не вращающаяся) – хотя она и кажется ускоренной! – неотличима от инерциальной системы, в которой гравитация отсутствует. Следовательно, гравитация и ускорение в некотором смысле взаимозаменяемы. Мы можем продолжить эту мысль и представить, что в башне есть лифт. Если мы войдем в него и начнем подниматься, то заметим две силы, действующие на нас. Во-первых, как всегда, сила притяжения тянет нас, как и все остальные предметы в лифте, вниз, к полу лифта. Однако есть и вторая сила: пол лифта движется вверх и давит на нас и на все, что находится внутри кабины. Поскольку и гравитация, и ускорение лифта вверх влияют на все «содержимое» лифта в точности одинаково, нет способа рассмотреть оба эффекта отдельно. Иначе говоря, когда лифт ускоряется вверх, это все равно как если бы сила притяжения внезапно слегка увеличилась. А когда он ускоряется вниз, вы, соответственно, ощущаете себя чуть более легким.
Суммируем. Свободно падающая система отсчета эквивалентна инерциальной системе без гравитации. Аналогично, постоянное ускорение системы отсчета эквивалентно постоянному вкладу в окружающее гравитационное поле.
А теперь сплетем все нити вместе. Основной нашей подсказкой будет тут утверждение Эйнштейна, что траектория летящей по комнате книги «прямолинейна», несмотря на то, что она кажется искривленной. В действительности она и есть искривленная, и если вы измерите длину различных траекторий, соединяющих точку вылета и точку падения, длина траектории книги не будет самой короткой. Но это из-за того, что до этого момента мы рассматривали траекторию только в пространстве. А теперь давайте станем большими эйнштейновцами и рассмотрим траекторию в пространстве-времени. Для этого мы должны вернуться к нашему определению «прямого пути» как пути с максимальным временем по сердечному ритму. Сначала нам покажется, что эта методология не поможет: когда прежде мы рассматривали задачу о прямолинейной траектории, мы получали пути, по которым объект движется с постоянной скоростью и в постоянном направлении, и это не похоже на траекторию полета брошенной книги. Но в предыдущих рассуждениях содержалось крупное скрытое допущение. Это допущение было таким же важным – и таким же неверным, – как предположение о том, что владения хана можно точнейшим образом отобразить на плоской карте.
Подобно тому, как Земля не плоская, должно быть искривлено и само пространство-время.
Гений Эйнштейна проявился в том, что он увидел такую возможность, – однако же он понятия не имел, как описывать это искривленное пространство-время. К счастью, это смогли сделать другие. В начале XIX века независимо друг от друга Янош Бойяи, Николай Лобачевский и Карл Гаусс разработали геометрию искривленных пространств, где изначально параллельные линии могут сходиться и расходиться. Используя эту математику, можно составить карту (иначе называемую системой координат), описывающую поверхность, а также своего рода масштаб (по-научному называемый метрикой), что дает возможность вычислять реальные расстояния на такой поверхности по координатам. Однако эта математика позволяла сделать много больше, и скоро другие ученые, включая Германа Грассмана и Бернхарда Римана, разработали «неевклидову» геометрию, которую можно было применять и к трехмерному пространству (типа того, что мы видим вокруг себя), и даже к четырехмерному пространству-времени. Математическое сообщество испытало шок, когда выяснилось, что искривленные пространства, в которых параллельные прямые могут встретиться, а сумма углов треугольника может не быть равной 180 градусам, оказывается, осмысленны и полезны, а их теория – самосогласованна. Эти искривленные пространства обычно считали очень абстрактными, странными и не имеющими ничего общего с реальной картиной мира.
Эйнштейн был достаточно дерзок для того, чтобы опровергнуть это предубеждение. Если пространство-время искривлено так же, как поверхность Земли, и так же, как это описывается математикой Римана, то природу гравитации можно объяснить легко и элегантно: искривление пространства-времени способно изменить длину пути в нем. Следовательно, самый длинный путь, то есть тот, по которому будет следовать объект, тоже изменится. Поскольку гравитация в действительности есть не сила, а изменение структуры пространства-времени, то на все объекты она действует совершенно одинаково. «Совпадение», то есть равенство скоростей всех падающих на землю предметов, обнаруженное Галилеем, объясняется в рамках этой гипотезы легко и красиво.
Рецепт Эйнштейна для нахождения траекторий, соответственно, состоял в том, чтобы считать, что при отсутствии сил негравитационного происхождения объекты изберут пути, при следовании по которым собственное время T (отмеряемое «сердечными часами») максимально. Но вместо того чтобы вычислять T по формуле, приведенной в коане «ДОРОГИ, КОТОРЫЕ МЫ ВЫБИРАЕМ», T нужно вычислять по похожей, но более сложной формуле, включающей кривизну пространства-времени. T выражалось бы той простой формулой, лишь если бы пространство-время не имело кривизны. Этот путь, если его изобразить только в пространстве или нанести на карту, может совершенно не выглядеть прямолинейным. Но на самом деле он настолько прям – или, точнее, настолько длинен, – насколько возможно. Если вернуться к вашему прыжку с обрыва, то окажется, что траектория книги и ваша траектория в пространстве-времени прямолинейны. Это пространство-время вокруг вас искривлено.
Следование этой логике приводит к радикально новому взгляду на гравитацию и на то, что значит оставаться в состоянии покоя. Рассмотрим систему отсчета, находящуюся в состоянии покоя на самом краю обрыва. Является ли эта система инерциальной? Нет. Принцип эквивалентности Эйнштейна говорит нам, что по-настоящему инерциальной системой является свободно падающая система. Но эта свободно падающая система отсчета ускоряется в направлении земли относительно системы отсчета, покоящейся на краю обрыва. Если мы перевернем ситуацию, окажется, что система отсчета, расположенная на краю обрыва, ускоряется относительно инерциальной системы, и, следовательно, в системе на краю обрыва мы должны ощущать «фиктивные» силы. И ведь мы их действительно ощущаем! Мы чувствуем, что нас тянет вниз таинственная сила, взявшаяся как бы ниоткуда. Это гравитация! В теории Эйнштейна гравитация – фиктивная сила, не более и не менее реальная, чем центробежная сила, действующая на наши руки, когда мы крутимся в пируэте, или вжимающая нас в кресло в самолете, попавшем в полосу турбулентности. Это в действительности способ, которым кривизна пространства-времени проявляет себя: инерциальные системы, где пространство-время выглядит не искривленным, все еще присутствуют, но их взаимоотношения друг с другом интересным образом модифицируются. Так, когда мы находимся в гравитационном поле и не падаем на притягивающее тело, это означает, что мы ускоряемся относительно инерциальной системы и чувствуем притяжение. Притяжение, которое вы чувствуете прямо сейчас и которое тянет вас вниз, сродни дополнительному весу, ощущаемому вами в поднимающемся лифте, только это очень большой лифт!
Что же, однако, определяет кривизну пространства-времени? Материя. Чем больше материи, тем больше пространство-время искривляется вокруг нее. То обстоятельство, что Земля притягивает вас (и все остальное), эквивалентно тому факту, что все вещество на Земле искривляет пространство-время особым образом – таким, что самый длинный путь и, следовательно, тот путь, по которому объекты естественным образом движутся, смещается к центру Земли и уже в трехмерном пространстве не кажется прямым. Завершая картину, Эйнштейн вывел в своей общей теории относительности уравнение, связывающее кривизну пространства-времени и наличие материи. (Надо отметить, что этот вывод он сделал после многих лет напряженного труда, о котором сказал: «По сравнению с этой проблемой специальная теория относительности – детская игра».) Из общей теории относительности следуют все результаты теории гравитации Ньютона, но из нее также следуют новые и поразительные явления, которые не имели объяснений в рамках предыдущих теорий.
Когда вы сидите под обрывом, воспользуйтесь моментом и оцените твердость земли, и тогда вы, возможно, поймете, почему Макс Борн назвал сформулированную Эйнштейном общую теорию относительности «величайшим достижением человеческого мышления в познании природы».
Но это лишь слегка приоткрыло завесу тайны, и мы сделали только первый шаг на своем пути.
