Один из самых древних парадоксов рассказывает об учителе греческого права Протагоре, взявшем в ученики бедного, но весьма способного юношу и согласившемся учить его бесплатно при условии, что когда тот закончит курс обучения и выиграет свой первый судебный процесс, то уплатит Прота-гору определенную сумму. Ученик принял условия Протагора, но, завершив свое образование, не стал выступать в суде. По прошествии некоторого времени Протагор подал на своего ученика в суд, требуя уплаты обещанной ему суммы. Вот какие показания дали Протагор и его ученик на суде.

У ч е н и к. Если я выиграю этот процесс, то по определению я не должен буду платить Протагору ничего. Если же я проиграю этот процесс, то тем самым я не выиграю свой первый судебный процесс, а по уговору я должен платить Протагору лишь после того, как выиграю свой первый судебный процесс. Следовательно, выиграю я этот судебный процесс или проиграю, платить мне все равно не придется.

П р о т а г о р. Если мой бывший ученик проиграет этот судебный процесс, то по определению он должен будет уплатить мне соответствующую сумму (ведь именно ради уплаты причитающейся мне суммы я и возбудил процесс). Если же мой бывший ученик выиграет этот судебный процесс, то тем самым он выиграет свой первый судебный процесс и по уговору должен будет уплатить мне долг. Следовательно, выиграет он этот судебный процесс или проиграет, но платить ему придется все равно.

Кто прав: Протагор или его ученик?

Примечание. Не уверен, что знаю правильный ответ на вопрос задачи. Как и самая первая головоломка (о том, был ли я одурачен или не был), парадокс Протагора служит прототипом целой серии парадоксов. Лучшее из известных мне решений этого парадокса предложил один юрист, которому я изложил суть возникающей здесь проблемы. Он заявил следующее: «Суд должен вынести решение в пользу ученика, то есть ученик не должен будет платить Протагору, так как к моменту начала процесса ученик еще не выиграл свой первый судебный процесс. Когда же суд окончится, то ученик по уговору будет должен Протагору какую-то сумму денег. Поэтому Протагор должен вернуться в суд и возбудить против ученика второе дело. На этот раз суду придется вынести решение в пользу Протагора, так как к началу второго процесса ученик уже выиграет свой первый судебный процесс».

Так называемый парадокс лжеца, или парадокс Эпименида, в действительности является родоначальником целого семейства парадоксов определенного типа, известных под названием парадоксов лжеца (звучит как тавтология, не так ли?). В своем первоначальном варианте парадокс повествует о некоем критянине по имени Эпименид, высказавшем утверждение «все критяне лжецы».

Никакого парадокса здесь еще нет. Во всяком случае, утверждение Эпименида парадоксально ничуть не больше, чем утверждение о том, что некий обитатель острова рыцарей и лжецов высказывает утверждение «все жители этого острова лжецы». Из такого утверждения следует, что, во‐первых, говорящий лжец и что, во‐вторых, на острове существует по крайней мере один рыцарь. Аналогично из первоначального варианта парадокса Эпименида мы заключаем лишь, что Эпименид лжец и что по крайней мере один критянин говорит только правду. Никакого парадокса здесь, как вы видите, нет.

Вот если бы Эпименид был единственным критянином, то парадокс действительно возник бы. В этом случае единственный обитатель острова рыцарей и лжецов утверждал бы, что все жители острова лжецы (то есть в конечном счете утверждал бы, что сам он лжец, а это невозможно).

В улучшенном варианте парадокса лжеца говорится о человеке, высказывающем утверждение «я лгу». Лжет он или нет?

Следующий вариант улучшенного варианта мы будем называть в дальнейшем парадоксом лжеца. Рассмотрим утверждение:

Истинно оно или ложно? Если оно ложно, то оно истинно. Если оно истинно, то оно ложно. Решение парадокса лжеца мы обсудим чуть позже.

Следующий вариант парадокса лжеца был впервые предложен в 1913 г. английским математиком П. Э. Б. Журдэном. Иногда его называют «парадокс Журдэна с карточкой». Представьте себе карточку, на одной стороне которой написано:

1) Утверждение на другой стороне этой карточки истинно.

Перевернув карточку на другую сторону, вы увидите надпись:

2) Утверждение на другой стороне этой карточки ложно.

Парадокс заключается в следующем. Если первое утверждение истинно, то второе утверждение истинно (так как в первом утверждении говорится, что второе утверждение истинно). Следовательно, первое утверждение ложно (так как во втором утверждении говорится, что первое утверждение ложно). Если же первое утверждение ложно, то второе утверждение ложно. Следовательно, первое утверждение не ложно, а истинно. Таким образом, первое утверждение истинно в том и только в том случае, если оно ложно, а это невозможно.

В другом варианте парадокса лжецов на карточке написаны следующие три утверждения:

1) Это утверждение содержит пять слов.

2) Это утверждение содержит восемь слов.

3) Ровно одно утверждение на этой карточке истинно.

Утверждение (1) заведомо истинно, а утверждение (2) заведомо ложно. Проблема возникает в связи с утверждением (3). Если утверждение (3) истинно, то на карточке – два истинных утверждения, а именно утверждение (3) и утверждение (1), вопреки тому, о чем говорится в утверждении (3). Следовательно, утверждение (3) должно быть ложно. С другой стороны, если утверждение (3) ложно, то утверждение (1) – единственное истинное утверждение на карточке, а это означает, что утверждение (3) должно быть истинным! Итак, утверждение (3) истинно в том и только в том случае, если оно ложно.

Примечание. Где ошибка в рассуждениях во всех этих парадоксах? Вопрос этот весьма тонкий и довольно спорный. Некоторые (главным образом философы, а не математики) считают совершенно недопустимым любое утверждение, содержащее ссылку на себя. Подсчитав число входящих в него слов, вы убедитесь, что оно истинно. Утверждение «это утверждение содержит шесть слов» ложно, тем не менее смысл его ясен, и значение истинности устанавливается без труда: в нем говорится, что число входящих в него слов равно шести, тогда как их только пять. Никаких сомнений относительно смысла утверждений в обоих рассмотренных нами примерах не возникает.

Рассмотрим теперь следующее утверждение:

Оно не приводит ни к каким парадоксам. Никаких противоречий не возникает независимо от того, предположим ли мы, что оно истинно, или будем считать его ложным. Тем не менее это утверждение не имеет смысла по следующим причинам.

Всякий раз, когда возникает необходимость установить, что означает истинность какого-нибудь утверждения, мы начинаем с выяснения того, что означает само утверждение. Например, пусть X – утверждение «дважды два – четыре». Прежде чем я смогу понять, что означает истинность утверждения X, мне необходимо выяснить, что означает каждое из входящих в X слов и в чем заключается смысл самого утверждения X. В данном случае я знаю, что означает каждое слово, входящее в X, и мне ясен смысл утверждения X: в нем говорится, что дважды два равно четырем. Поскольку мне известно, что дважды два действительно равно четырем, то я знаю, что X должно быть истинно. Но я не мог бы знать, что X истинно, если бы не знал, что дважды два – четыре. Более того, я бы не мог знать, что означает истинность утверждения X, если бы не знал, что означает утверждение «дважды два – четыре». Приведенный мною пример отчетливо показывает, что истинность утверждения «X истинно» зависит от того, что означает утверждение X. Если же X устроено так, что его значение зависит от истинности утверждения «X истинно», то мы оказываемся в ловушке, ибо ходим по кругу.

Именно так и устроено внешне безобидное утверждение «это утверждение истинно». Прежде чем я смогу понять, что означает истинность этого утверждения, мне необходимо понять, что означает само утверждение. О чем в нем говорится? В нем сообщается лишь, что оно истинно, а я еще не знаю, что означает для данного утверждения быть истинным. Я не могу узнать, что означает истинность данного утверждения (не говоря уже о том, что мне неизвестно, истинно оно или ложно), пока не узнаю, что оно означает, а узнать, что оно означает, я не могу до тех пор, пока не узнаю, что означает его истинность. Таким образом, наше утверждение не содержит никакой информации. Такие утверждения принято называть не вполне обоснованными.

Парадокс лжеца (и все его варианты) основан на использовании необоснованных утверждений. (Необоснованными я называю для краткости не вполне обоснованные утверждения.) В задаче 253 («Парадокс лжеца») не обосновано утверждение «это утверждение ложно». В задаче 254 («Парадокс Журдэна») не обоснованы утверждения на обеих сторонах карточки. В задаче 255 («Еще один вариант») два утверждения вполне обоснованы, а третье не обосновано.

Заметим кстати, что теперь мы можем сказать гораздо больше относительно того, в каком месте допустил ошибку в своих рассуждениях претендент на руку Порции N-й (см. гл. 5 о шкатулках Порции). Все ее предки по материнской линии использовали только вполне обоснованные утверждения, а Порция N-я, желая подшутить над своим пылким поклонником, искусно использовала необоснованные утверждения. Та же ошибка встречается и в ряде доказательств, приведенных в начале предыдущей главы.

Вернемся к нашим добрым старым друзьям Беллини и Челлини из истории о шкатулках Порции. Эти два замечательных мастера не только изготовляли шкатулки, но и гравировали на их крышках различные надписи. Челлини на своих шкатулках гравировал ложные утверждения, а Беллини украшал крышки своих шкатулок истинными утверждениями. Предположим, что, кроме Беллини и Челлини, в те далекие времена никто не гравировал надписей на крышках шкатулок (их сыновья занимались изготовлением шкатулок, но не умели гравировать).

Вам встретилась шкатулка, на крышке которой выгравировано:

Чей это автограф? Если бы надпись оставил Челлини, то это означало бы, что он выгравировал истинное утверждение, и мы пришли бы к противоречию. Если бы надпись оставил Беллини, то это означало бы, что он выгравировал ложное утверждение, и мы опять пришли бы к противоречию. Кто же оставил надпись?

Вы не можете ответить на вопрос, сославшись на то, что утверждение «эту надпись выгравировал Челлини» не обосновано. Оно вполне обосновано. Оно сообщает нам некий исторический факт, а именно что эта надпись была выгравирована Челлини. Если надпись действительно была сделана рукой Челлини, то она истинна. Если ее сделал другой мастер, то она ложна. В чем здесь дело?

Трудность возникла из-за того, что я снабдил вас противоречивой информацией. Если бы вам действительно попалась в руки шкатулка с надписью «Эту надпись выгравировал Челлини» на крышке, то это означало бы, что либо Челлини в стародавние времена иногда гравировал не только ложные, но и истинные утверждения (вопреки тому, что я вам о нем говорил), либо, по крайней мере, что некогда существовал какой-то другой мастер, гравировавший иногда на крышках шкатулок ложные утверждения (опять-таки вопреки тем сведениям, которые вы получили от меня). Следовательно, перед нами не подлинный парадокс, а своего рода жульническая проделка.

Кстати, вам все еще не удалось выяснить, как называется эта книга?

Эта головоломка известна довольно широко. Некто совершил преступление, караемое смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным, преступника утопят. Если же оно будет ложным, преступника повесят. Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?

Приведу еще один хорошо известный парадокс. В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам, и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя? Если цирюльник бреет самого себя, то тем самым он нарушает правило, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правило, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?

Один из островов рыцарей и лжецов малонаселен: на нем живут только два туземца А и В. Они высказали следующие утверждения:

А: В – лжец.

В: А – рыцарь.

Кто такой А: рыцарь или лжец? А что можно сказать о В?

257. Преступник должен сказать: «Я буду повешен».

258. Ничего: существование такого цирюльника логически невозможно.

259. В ответ на вопросы задачи вам следует заявить, что автор опять лжет! Описанная мною ситуация невозможна. В действительности эта задача представляет собой не что иное, как парадокс Журдэна в слегка «загримированном» виде (см. задачу 254).

Если бы А был рыцарем, то В в действительности был бы рыцарем. Следовательно, А в действительности не рыцарь. Если бы А был лжецом, то В в действительности был бы не лжецом, а рыцарем. Значит, его утверждение было бы истинным, и А был бы рыцарем. Следовательно, А не может быть ни рыцарем, ни лжецом, так как и в том и в другом случае мы приходим к противоречию.

Кто-то определил парадокс как истину, поставленную с ног на голову. Действительно, во многих парадоксах содержатся идеи, которые после незначительной модификации приводят к важным открытиям. Следующие три задачи могут служить убедительным подтверждением этого принципа.

Однажды инспектор Крэг посетил некую общину и побеседовал с одним из ее членов – социологом Макснурдом, который сообщил следующее:

– Члены общины организовали несколько клубов. Каждый член общины может являться членом более одного клуба. Каждый клуб получает название в честь одного из членов общины. Никакие два клуба не названы в честь одного и того же члена общины, и имя каждого члена общины носит какой-то клуб. Член общины не обязательно должен быть членом клуба, носящего его имя. Всякого, кто является членом клуба, носящего его имя, мы называем номинабельным. Всякого, кто не является членом клуба, носящего его имя, мы называем неноминабельным. Самое удивительное в нашей общине – это то, что все неноминабельные ее члены входят в один клуб.

Инспектор Крэг на миг задумался и внезапно понял, что Макснурд не очень силен в логике: в его истории концы не сходятся с концами. Почему?

Решение. В действительности эта задача представляет собой не что иное, как парадокс цирюльника в новом обличье.

Предположим, что рассказанная Макснурдом история соответствовала бы истине. Клуб, объединяющий всех неноминабельных членов общины, назван в честь какого-то члена общины, например в честь Джека. Будем называть этот клуб для краткости просто клубом Джека. Сам Джек может быть либо номинабельным, либо неноминабельным. И в том и в другом случае мы приходим к противоречию.

Предположим, что Джек номинабелен. Тогда Джек состоит в клубе Джека. Но состоять в клубе Джека могут только неноминабельные члены общины, и мы приходим к противоречию. С другой стороны, если Джек неноминабелен, то он является членом клуба неноминабельных членов общины. Значит, Джек является членом клуба Джека, объединяющего всех неноминабельных членов общины. Но тогда Джек должен быть номинабельным членом общины. Следовательно, мы и в этом случае приходим к противоречию.

Однажды инспектор Крэг посетил другую общину, где встретил своего старого друга социолога Макснаффа. Крэг знал Макснаффа со студенческой скамьи (оба учились в Оксфорде) как человека, безукоризненно владеющего логикой. Макснафф рассказал Крэгу о своей общине следующее:

– Как и в других общинах, мы организовали у себя клубы. Имя каждого члена общины носит ровно один клуб, и каждый клуб назван в честь какого-нибудь члена общины. Каждый член нашей общины, вступая в клуб, может либо открыто заявить об этом, либо сохранить свое членство в тайне. Всякого, кто не заявил во всеуслышанье о своем членстве в клубе, носящем его имя, мы называем подозрительным. Всякого, о ком известно, что он тайно является членом клуба, носящего его имя, мы называем тайным агентом. Наша община обладает одной прелюбопытнейшей особенностью: все подозрительные являются членами одного клуба.

Инспектор Крэг после секундного размышления понял, что в отличие от предыдущей истории отчет профессора Макснаффа не содержит ни малейшего противоречия. Более того, выяснилось одно интересное обстоятельство: чисто логическим путем оказалось возможным определить, нет ли в общине тайных агентов.

Итак, нет ли в общине тайных агентов?

Решение. Клуб всех подозрительных назван в честь кого-то из членов общины, например в честь Джона. Будем называть этот клуб в дальнейшем клубом Джона.

Сам Джон либо является членом клуба Джона, либо не является. Предположим, что он не состоит. Тогда Джон не может быть подозрительным (так как всякий подозрительный член общины является членом клуба Джона). Это означает, что Джон во всеуслышанье заявил о своем членстве в клубе Джона. Следовательно, если Джон не являтся членом клуба Джона, то Джон во всеуслышанье заявляет о своем членстве в клубе Джона, и мы приходим к противоречию. Значит, Джон должен являться членом клуба Джона. А поскольку каждый член клуба Джона подозрителен, то Джон должен быть подозрительным. Значит, Джон не объявил во всеуслышанье о своем членстве в клубе Джона и в то же время является членом клуба Джона. Следовательно, Джон тайный агент, или, попросту говоря, шпик!

Заметим, что если воспользоваться решением задачи 260, то эту задачу можно решить проще. Действительно, если бы в общине не было тайных агентов, то подозрительные ничем бы не отличались от неноминабельных, поэтому множество подозрительных обладало бы всеми свойствами множества неноминабельных членов общины. Значит, все неноминабельные члены общины являлись бы членами одного клуба. Но в задаче 260 мы доказали, что все неноминабельные члены общины не могут являться членами одного клуба. Следовательно, предположение о том, что в общине нет тайных агентов, приводит к противоречию. Значит, в общине непременно должен быть тайный агент (хотя мы и не знаем, кто он).

На этих двух доказательствах отчетливо видно различие между так называемыми конструктивным и неконструктивным доказательствами. Второе доказательство неконструктивно: мы приходим к заключению, что в общине не может не быть тайных агентов, но из доказательства не следует, кто эти тайные агенты. В отличие от него первое доказательство конструктивно: оно позволяет установить, кто тайный агент (член общины по имени Джон), в честь которого назван клуб подозрительных.

В одной Вселенной члены каждого множества обитателей состоят в своем особом клубе. Регистратор этой Вселенной хотел бы присвоить каждому клубу имя одного из обитателей так, чтобы никакие два клуба не были названы в честь одного и того же обитателя Вселенной и у каждого обитателя был клуб, названный его именем.

Если бы число обитателей этой Вселенной было конечно, то регистратору не удалось бы осуществить свой грандиозный замысел, так как клубов было бы больше, чем обитателей Вселенной: например, если бы во всей Вселенной было только 5 обитателей, то число клубов достигало бы 32 (один клуб был бы пустым множеством). Если бы во всей Вселенной было 6 обитателей, то число клубов достигало бы 64, а во Вселенной с п обитателями число клубов составляло бы 2». Но в той Вселенной, о которой мы сейчас говорим, число обитателей было бесконечно, поэтому регистратор надеялся на благоприятный исход своей затеи. На протяжении миллиардов лет он день за днем упорно пытался осуществить свой замысел, но любая попытка неизменно оканчивалась неудачей. Чем это объясняется: недостаточно удачным выбором схемы или принципиальной неосуществимостью затеи?

Решение. Неудачи связаны с принципиальной неосуществимостью намерений регистратора. Этот замечательный математический факт был открыт математиком Георгом Кантором. Предположим, что регистратору удалось присвоить всем клубам имена обитателей Вселенной с соблюдением всех правил (никакие два клуба не названы именем одного и того же обитателя Вселенной, и у каждого обитателя есть клуб, названный его именем). Назовем обитателя Вселенной неноминабельным, если он не является членом клуба, названного в его честь. Все неноминабельные обитатели Вселенной образуют хорошо определенное множество, а мы знаем, что члены каждого множества обитателей Вселенной состоят в своем особом клубе. Следовательно, должен существовать клуб неноминабельных обитателей Вселенной, что невозможно по причинам, изложенным в задаче 260 (этот клуб должен быть назван в честь одного из обитателей Вселенной, который не может быть ни номинабельным, ни неноминабельным, так как и то и другое приводит к противоречию).

Перед вами та же задача в новом одеянии. Некоторые из вводимых здесь понятий понадобятся нам в следующей главе.

У одного математика хранится «Книга множеств». На каждой ее странице дается описание какого-нибудь множества чисел (под множеством чисел мы понимаем подмножество множества целых положительных чисел 1, 2, 3, …, n, …). Любое множество, описанное на какой-нибудь странице книги, называется учтенным множеством. Страницы книги перенумерованы по порядку целыми положительными числами.

Назовите множество, описания которого нет ни на одной странице «Книги множеств».

Решение. Пусть n – любое целое положительное число. Назовем n экстраординарным числом, если n принадлежит множеству, описанному на n-й странице, и ординарным, если не принадлежит множеству, описанному на n-й странице.

Множество ординарных чисел не может быть описано ни на одной странице «Книги множеств». Действительно, если бы оно было перечислено на k-й странице, то число k не могло бы быть ни экстраординарным, ни ординарным, так как и в том и в другом случае мы пришли бы к противоречию.