Открытие сферичности Земли и преимуществ описания неба, понимаемого в виде сферы, захватило воображение греков эпохи Платона и Аристотеля и в особенности человека по имени Евдокс Книдский (ок. 400–347 гг. до н. э.), разработавшего весьма незаурядную планетную теорию, целиком основанную на сферических движениях. По части предсказательной способности эта теория не выдерживала сравнения с вавилонскими арифметическими схемами, однако она была очень важна во многих других отношениях. Во-первых, она продемонстрировала последующим поколениям огромную мощь геометрических методов; и во-вторых, благодаря случайному стечению обстоятельств – признанию ее Аристотелем – она на два тысячелетия стала инструментом создания философских представлений о главных принципах устройства мироздания.

Евдокс был родом из Книда, города в древней Спарте, расположенного на полуострове в юго-западной части Малой Азии. В молодые годы он изучал музыку, арифметику и медицину, а также обучался геометрии у знаменитого математика Архита Тарентского. В свой первый приезд в Афины он учился у Платона, который был старше его на тридцать лет. Позже он посетил Египет, вероятно, с дипломатической миссией, и, как говорят, составил восьмилетний календарный цикл (octaёteris) во время обучения у жрецов из Гелиополя. Возвратившись в Малую Азию, он основал школу в Кизике, ставшую конкурентом академии Платона в Афинах – городе, где он побывал по меньшей мере еще один раз. (Кизик – греческий город, сданный персам в 387 г. до н. э.) Он исповедовал теорию, согласно которой удовольствие является высшим благом, и, похоже, именно его имел в виду Платон, когда писал об этом в своем сочинении «Филеб». Было ли это так на самом деле – неизвестно, но Евдокс существенным образом повлиял на развитие арифметики, геометрии и астрономии. Именно ему принадлежит главная заслуга в написании самых знаменитых разделов «Начал геометрии» Евклида (Книги V, VI и XII) – одного из наиболее авторитетных сочинений в истории образования. Заслуги Евдокса в строгом определении понятия числа, которое, как выяснилось позже, имеет много общего с определениями Дедекинда и Вейерштрасса, сформулированными в XIX в., до сих пор не оценены по достоинству. Однако его планетная теория привлекла к себе внимание с момента появления и продолжала вызывать спорадический научный интерес вплоть до XVI в.

В предпоследнем разделе предыдущей главы мы обсуждали особенности движения планет с точки зрения упрощенных современных представлений. Часто утверждалось (со ссылкой на авторитет гораздо более позднего автора Симпликия, а он, в свою очередь, цитировал Созигена), что именно Платон был тем человеком, который поставил перед своими потомками проблему объяснения того, как наблюдаемые движения планет могут быть объяснены через «единообразное и упорядоченное» движение небес. (Гемин мимоходом упоминает: пифагорейцы первыми поставили этот вопрос, исходя из нелепости предположения, будто планеты могут двигаться как-то иначе.) Несмотря на постоянный интерес, вызываемый воззрениями такого выдающегося философа, как Платон, его достижения в области математики и астрономии слегка преувеличены. Его вклад в эти науки был, скорее, косвенным; он обусловлен его убеждением, будто обе науки должны стать частью образования правящего класса – как представителей власти, так и рядовых граждан. Его влияние как пропагандиста еще достаточно сильно, чтобы считаться с ним: он рассматривал эти занятия как средство воспитания души, позволяющее увидеть за преходящими вещами бренного мира истинную реальность, доступную постижению лишь с помощью мысли. Астрономические суждения Платона были случайны и беспорядочны, однако в целом его достижения невозможно переоценить. Красноречиво настаивая на том, что Вселенная приводится в движение сообразно с математическими законами, которые могут быть постигнуты только подготовленным соответствующим образом разумом, он способствовал возникновению общего педагогического климата, благоприятного для этой науки.

Открытие сферической формы Земли и перенос идеи сферичности на небеса всецело овладели умами афинских мыслителей времен Платона. В десятой книге одного из лучших своих сочинений «Государство» Платон приводит миф, образно и поэтично рассказанный ему его учителем Сократом. Это история об убитом в бою человеке по имени Эр, чья душа посетила царство мертвых, но вернулась в тело после чудесного воскрешения Эра. Сократ рассказывает, как его душа направляется сначала в некое волшебное место, описанное им довольно подробно, и как, после всего увиденного, ему удалось рассмотреть устройство механизма всей планетной системы – со свивающимися одно над другим кольцеобразными завихрениями, которые в одном из возможных вариантов перевода называются «чашами», а в другом – «обручами». Они вращаются вокруг стального веретена, и каждая (каждый) несет на себе планету. Веретено покоится на коленях у Необходимости; ей доверено осуществлять суточное обращение неба и движение планет. Завихрения приводятся во вращение с разными характеристическими скоростями богинями Судьбы (дочерьми Необходимости), и на каждом из них находится Сирена, издающая звук определенной высоты – такой, чтобы все вместе они образовывали гармоничное звучание.

В этом описании нигде не встречается Противоземля пифагорейцев. Нет и намека на расположение зодиака под углом к экватору; впрочем, было бы наивно погружаться во все подробности мифа об Эре в целях поиска таких тонкостей. Единственное, о чем этот миф свидетельствует с достаточной достоверностью, – это о том, что в те времена действительно разрабатывались физические модели Вселенной и они имели не только умозрительный характер. Для описания вселенной Эра без опоры на реальную модель необходимо вести рассуждение о замкнутых сферических оболочках; однако в этом случае реальная модель должна была содержать съемную крышку, заглянув под которую люди могли бы увидеть то, как она работает. В своем позднем сочинении «Тимей» Платон описывает то, как Демиург создает вселенную из четырех основных элементов, и использованные им слова воспринимаются более ясно, чем подразумеваемая им реальная картина мира. Предметом его описания являются уже не концентрические завихрения, а обычная армиллярная сфера – астрономическая модель небесной сферы, изготовленная из колец, которые не заслоняют собой ее внутреннего устройства.

В другом сочинении Платона – «Законы» – некий Афинский Странник говорит, что он был уже далеко не молодым человеком, когда уразумел: каждая планета движется по своему собственному пути, и поэтому ошибочно называть их «блуждающими». В «Государстве» Платон называл их хаотичными. Это утверждение, вполне вероятно, автобиографично, и заманчиво предположить, что именно Евдокс был тем человеком, который заставил Платона поменять свое мнение. Планеты называли «блуждающими» из‐за возникающего время от времени попятного движения, но их подчиненность геометрическому порядку (если только он обнаруживался) демонстрирует не такую уж и хаотичность их перемещений.

Оригинальные сочинения Евдокса не сохранились, но его систему можно восстановить по сочинениям двух других мыслителей, в особенности его младшего современника Аристотеля, а также Симпликия. Симпликий был платоником, написавшим ценные комментарии к работе Аристотеля, однако его нельзя считать математиком. Поскольку он родился около 500 г., а умер позже 533 г. н. э., его свидетельства, записанные спустя 900 лет после описываемых событий, могли быть расценены как малодостоверные, если бы не пара-тройка крайне важных замечаний. Из теоретических построений Евдокса следует, пишет он, что форма планетной траектории представляет собой гиппопеду (это означало путы для лошади, сделанные в виде восьмерки); он упоминает также о недружелюбной критике в адрес Евдокса, поскольку тот приписал траекториям такую характеристику, как ширина. Если рассмотреть в совокупности общие положения этой теории, с которыми и сам он, и Аристотель были более или менее согласны, то, как мы покажем далее, можно узнать о ней очень многое.

Система Евдокса построена из концентрических сфер, центры которых совпадают с Землей. Они вложены друг в друга, но это вселенная математика, где не принимаются в расчет их относительные размеры. Идея обязательного привлечения сфер кажется сегодня очевидной, но введение таких сфер – реальных или воображаемых – неизменно становилось предметом дальнейшего обсуждения. Например, нетрудно понять, что для описания Солнца требуется как минимум две сферы, одна – для быстрого суточного вращения, а другая – для годового движения Солнца в противоположном направлении. Вторая сфера, очевидно, должна вращаться вокруг полюсов эклиптики. Аналогичным образом может быть описана Луна. (И в том и в другом случае предполагается, что объект находится примерно посередине между полюсами сферы, к которой он относится.) На деле, Евдокс вводит дополнительную третью сферу как для Солнца, так и для Луны. В случае Луны, вполне возможно, она предназначалась для учета наклона лунной орбиты к эклиптике под углом примерно пять градусов; она пересекает ее в определенных точках (узлах), медленно движущихся по зодиаку в обратном направлении. (Как показано в предыдущей главе, узлы описывают полный круг по небу примерно за 18,6 года.) Источником этой догадки могли стать рудиментарные представления о затмениях. Если именно это стало причиной введения третьей сферы, то и Аристотель, и Симпликий ошиблись в порядке расположения второй и третьей лунных сфер, но, в принципе, их расчеты не были лишены смысла. Вызывает определенное недоумение введение Евдоксом дополнительной третьей сферы еще и для движения Солнца, судя по всему, основываясь на том, что в дни зимнего и летнего солнцестояний Солнце не всегда восходит в одной и той же точке горизонта. Симпликий утверждает, будто те, кто жил до Евдокса, размышляли об этом. Эта идея повторялась и несколькими более поздними авторами.

Именно его интерпретация прямого и попятного движения планет придала вращающимся сферам Евдокса вид канонической модели. Далее он демонстрирует, каким образом точка может описывать фигуру в виде восьмерки, которая, в свою очередь, переносится по небу более длительным планетным движением, находясь более или менее в пределах зодиака. Чтобы получить эту фигуру (гиппопеду), он просто берет пару сфер, одна из которых вращается в одном направлении, а другая – в противоположном направлении с той же скоростью вокруг оси первой сферы, не совпадающей с осью ее собственной (второй) сферы. Для наглядности на ил. 41 изображены десять обсуждаемых здесь математических кривых, соответствующих различным углам наклона двух упомянутых осей. Теперь нужно рассмотреть движение планеты вдоль этой ∞-образной траектории, развернув его во времени. Нетрудно представить, каким образом перенос ее вдоль зодиака (или в близкой от него области) будет время от времени давать попятное движение при обращении вокруг оси, расположенной под прямым углом к длине гиппопеды. К этому третьему движению необходимо добавить суточное вращение неба, так называемое «вращение неподвижных звезд».

Если не принимать во внимание это третье вращение, то общий вид траектории движения будет таким, как показано на ил. 42; рисунок точно воспроизводит форму кривой, но параметры скорости и наклона осей выбраны на нем произвольно. Мы отложим на время вопрос о точном воспроизведении планетных движений, как они наблюдаются на самом деле.

Применяя такую аппроксимацию к движению планет, по крайней мере качественно, можно свести кажущееся хаотичное перемещение к закономерному. Это открытие, без сомнения, вызвало восторг у Платона. Однако какую цель ставил перед собой сам Евдокс? Есть все основания полагать, что восхищение, которое вызвало у греков предложенное им объяснение, относилось не столько к предсказательной силе теории, сколько к ее геометрическим достоинствам. Для оценки реального характера достижений Евдокса необходимо хотя бы в общих чертах воспроизвести ее геометрическую реконструкцию, предложенную в 1870‐х гг. талантливым итальянским астрономом Джованни Вирджинио Скиапарелли. Используя известные теоремы греческой геометрии, уже употреблявшиеся во времена Евдокса, он показал, что гиппопеда является линией пересечения цилиндра со сферой, на которой лежит эта кривая. Цилиндр при этом, как предполагается, изнутри касается сферы (см. ил. 43).

Этот красивый геометрический вывод, лишь отдаленно напоминающий описания, составленные Аристотелем и Симпликием, был не так уж и чужд рассматриваемой эпохе. Учитель Евдокса Архит, решая проблему удвоения куба, рассматривал пересечение трех поверхностей вращения – тора (якорного кольца), конуса и цилиндра. Те, кто считает, будто Евдокс не мог оказаться вне этого тренда, но не выражает желания рассуждать об этом в категориях трансцендентных кривых четвертого порядка, могли бы дополнить сферу и цилиндр еще одной простой поверхностью, где можно расположить гиппопеду. Это некая поверхность, постоянным сечением которой является парабола. (Представьте лист бумаги, согнутый таким образом, чтобы два его противоположных края образовывали две одинаковые параболы, тогда линия гиппопеды будет полностью лежать на этом листе.) У нас нет убедительных доказательств того, знал ли Евдокс об этом свойстве изобретенной им гиппопеды, однако то же самое может быть со всей строгостью применено и к сечению цилиндра. Исходно сам Евдокс, скорее всего, рассуждал именно в этих категориях, хотя, когда средневековые и ренессансные астрономы узнали о подобных моделях, они выказали их непонимание, во всяком случае в некоторых аспектах.

Модель Евдокса оказалась столь значима в истории геометрической астрономии, что нам просто необходимо доказать ее хотя бы схематично для демонстрации элегантности астрономической доктрины, разработанной более двадцати трех столетий назад. Будем различать несущую и несомую сферы. На ил. 44 направление взгляда (сверху) совпадает с осью первой сферы и параллельно оси цилиндра, на поверхности которого находятся точки F, E и A. (Поучительно будет спросить, почему этот цилиндр не параллелен другой оси; или, например, не расположен симметрично между ними.) A – исходная точка планеты, а дуга AB – ее движение вдоль экватора несомой сферы за какое-то время. Если смотреть сверху, то он (экватор) будет казаться эллипсом, а угол AOB, как он виден на рисунке, – будет меньше реального трехмерного угла. На самом деле он равен изображенному на рисунке углу AOC, где C – это точка, отделившаяся от A в тот же момент времени, что и точка В, но движущаяся по другому кругу. Точки B и C, очевидно, будут располагаться на одном и том же уровне (CB образует перпендикуляр с OA). Рассмотрим теперь, как это составное движение планеты будет осуществляться во времени, если наблюдать за ним в плоскости диаграммы (то есть ортогональной проекции на эту плоскость). Планета движется вверх до точки B несомым движением и дополнительно поворачивается движением несущей сферы, осуществляющей перенос отрезка OB в OE; причем угол BOE равен углу AOC. Необходимо доказать, что точка E лежит на линии сечения цилиндра. Если угол CBD прямой, а точка D лежит на отрезке OC, то достаточно показать неизменность длины отрезка CD; поскольку в этом случае вся совокупность точек типа D (включая F) будет лежать на окружности с центром в O. Угол FEA также будет прямым, поэтому точка E будет лежать на окружности с диаметром FA, то есть на сечении цилиндра.

Проще всего получить доказательство постоянства длины отрезка CD, используя свойства эллипса, но, рассматривая соответствующую часть диаграммы в трех измерениях, несложно провести доказательство, основанное на отношении сторон подобных треугольников. Это легче, чем осуществить первичную визуализацию; и уж точно легче, чем доказать теорему о параболическом листе. Я бы хотел только добавить, что фокус этой параболы является четвертой частью расстояния от A до F.

Здесь мы имеем дело с задатками впечатляющей геометрической модели планетного движения, но, как это ни прискорбно, она, если брать ее в чистом виде, обладает рядом существенных недостатков. Иногда истина искажается. Неверно будет полагать, будто все витки попятного движения планет идентичны друг другу (как показано на ил. 42); неверно и то, что смещение планеты по широте обязательно должно быть значительным. Попятные движения Сатурна и Юпитера могут быть довольно правдоподобно представлены без поправок для широты (см. ил. 45 для Юпитера). К сожалению, если не вводить добавочных сфер, в этой модели можно свободно менять только два основных параметра: относительные скорости по гиппопеде и самой гиппопеды; и размеры гиппопеды, зависящие от наклона вращающейся сферы. Этих параметров явно недостаточно для согласования модели с действительными движениями Марса, Венеры или Меркурия. Если правильно задать скорости, то длина дуги попятного движения даст чудовищную ошибку, и наоборот.

С современной точки зрения относительные скорости по гиппопеде и самой гиппопеды зависят как от самих планет, так и от угловой скорости Земли при ее обращении вокруг Солнца, а размер гиппопеды по отношению к сфере зависит от относительных размеров планетных орбит при их вращении вокруг Солнца, включая нашу планету. Не углубляясь в детали, заметим следующее: в первом случае факты, очевидно, могут потребовать движение самой гиппопеды с такой высокой скоростью по сравнению со скоростью находящейся на ней планеты, что фаза попятного движения окажется просто нереализуемой. Именно это и происходит в упомянутых примерах. И во втором случае, если мы зафиксируем в нашей модели длину дуги попятного движения в строгом соответствии с наблюдениями, это вынудит нас принять как следствие получившуюся гиппопеду, независимо от того, какой будет ее ширина. Дело не только в ее чрезмерной величине для Марса и Венеры, но еще и в том, что в этом случае планетное движение по широте имеет весьма отдаленное отношение к орбитальным размерам. Это обусловлено преимущественно расположением планетных орбит, включая орбиту Земли, в близких друг к другу, но разных плоскостях.