В том, что касается теории, астрономия после Ньютона извлекла значительную выгоду из поразительных достижений, сделанных в области математики, которая развивалась параллельно с положительными сдвигами в практических вопросах. Эти достижения основывались главным образом на законах, установленных Ньютоном. Одним из его наиболее заслуженных ранних последователей был шотландский математик Колин Маклорен, изучавший устойчивость эллипсоидов (таких, как Земля) и приливы. Британские математики, к сожалению, зачастую слишком трепетно относились к Ньютону и упорно придерживались разработанных им технических приемов, усовершенствованных континентальными математиками, поэтому лидерство вскоре перешло на континент. Базельский математик Леонард Эйлер был одним из тех, кто внес существенный вклад фактически в каждую отрасль математики своего времени – как чистой, так и прикладной. Его работы раз за разом получали награды Парижской академии наук. Не обладая никаким титулом в области практической экспериментальной работы, он подарил астрономии некоторые из ее наиболее полезных математических процедур, таких как теория погрешности инструмента, метод определения солнечного параллакса и расчет орбит (как планетных, так и кометных) по малому числу имеющихся наблюдений. Лучшей проверкой его способностей стало решение проблемы лунного перигея.

Следуя законам Ньютона, Алексис Клод Клеро и Жан Лерон д’ Аламбер вывели для периода обращения перигея Луны (точки ее орбиты, которая находится на наименьшем расстоянии от Земли) значение, равное примерно восемнадцати годам. (Не путать с периодом 18,6 года для узлов лунной орбиты.) Из наблюдений было известно, что эта величина примерно наполовину меньше действительной, и в течение долгого времени Эйлер и другие математики полагали, что единственным способом устранения этого несоответствия является внесение изменений в закон гравитации Ньютона. В 1749 г. Клеро обнаружил ошибку в методе аппроксимации, применявшемся всеми, кто решал эту задачу. Эйлер сначала не согласился с этим доводом, а затем использовал его в трактате по лунной теории, который превосходил все, что было сделано ранее. Его «Theoria motus lunae exhibens omnes eius inequalitates» («Теория движения Луны с приведением всех ее неравенств», 1753) включала метод приближенного решения задачи трех тел – в данном конкретном случае для системы Солнце-Земля-Луна. В работе использовался новый технический прием, которому было суждено сыграть выдающуюся роль в будущей теоретической астрономии и физике, – так называемый «метод вариации постоянных». Несомненным утешением явился следующий факт: Клеро и Эйлер показали, что ньютоновские динамика и теория гравитации сумели пройти столь суровую проверку.

Эйлер затратил немало труда на решение проблемы трех тел и, в сущности, аналогичной проблемы возмущения планетных орбит. Его выдающаяся работа по лунной теории появилась в 1772 г. Она не получала должной оценки в течение более чем ста лет, когда ее вызволили из забвения и она получила дальнейшее развитие в трудах американского небесного механика Джорджа Уильяма Хилла. (Хилл был ведущим специалистом в этой области. Создается впечатление, что его трудности полностью противоположны тем, с которыми столкнулись Кеплер и Флемстид, поскольку он упорно настаивал на возвращении своего жалованья Колумбийскому университету.)

Одна из наиболее сложных проблем небесной механики XVIII в., действовавшая как постоянный стимул для дальнейшего развития, также касалась неравенств в движении Луны. Среднее движение Луны, усредняемое за весьма долгий период (скажем, за тысячелетие, а не за сто лет), является не постоянной величиной, если сравнивать значения, разделяемые очень большими временными интервалами, а несколько ускоряется. Подозрение в этом впервые высказал Эдмонд Галлей около 1693 г. на основании сравнения данных о затмениях, зарегистрированных в Античности, с тем, что давали в отношении тех же затмений лучшие современные таблицы. В 1749 г. Ричард Данторн вновь оживил интерес к этому предмету и привел дополнительные античные данные, подтверждающие подозрения Галлея. Ускорение было крайне незначительным, и его небольшое значение служит полезным критерием для оценки прогрессивного развития астрономической точности. Данторн установил для него величину всего лишь 10″ за столетие, а другие астрономы, работавшие в конце XVIII в., такие как Майер и Лаланд, были согласны в том, что эта величина должна лежать в интервале между 7″ и 10″ за столетие. Но какова его физическая причина? В 1770 г. Парижская академия объявила о премии за решение этой проблемы, которую получили Эйлер и его сын Иоганн Альбрехт. Однако у них сложилось впечатление, что их доказательство постепенного («векового») ускорения Луны не может быть объяснено через ньютоновские гравитационные силы.

Здесь снова возникло нечто, похожее на кризис ньютоновской науки, и эта тема была предложена Академией в качестве призовой в 1772 г. На этот раз ее получили Эйлер совместно с Лагранжем.

Жозеф Луи Лагранж родился в итальянской семье французского происхождения в Турине (Италия). (Его французское имя представляет собой только последний вариант непрерывно изменяющегося набора фонем.) Еще до того как ему исполнилось двадцать лет, он обратил внимание на свои математические таланты, вступив в переписку с Эйлером. Последовав примеру Эйлера, он применил в 1760‐х гг. несколько собственных гениальных методов к изучению движения Луны, а также к изучению возмущений Юпитера и Сатурна, что снискало ему премию Парижской академии и широкую известность. Для него нашли место в Берлине благодаря дружбе д’ Аламбера с королем Пруссии Фридрихом II. Эйлер, который собирался оставить должность в Берлине накануне переезда в Санкт-Петербург, не сумел убедить его последовать за собой, но в Берлине у него осталось несколько энергичных коллег, включая Иоганна Ламберта, чьи космологические идеи мы уже рассматривали. Вскоре феноменальный математический талант Лагранжа стал очевиден для всех. В 1772 г. он разделил с Эйлером премию Академии за сочинение, посвященное проблеме трех тел, рассмотренную в данном случае на примере движения Луны. На сей раз Эйлер в своем эссе от 1772 г. выдвинул идею, что нет никакой возможности объяснить вековое ускорение Луны через гравитацию, но в пространстве должен существовать некий эфирный флюид, оказывающий сопротивление движению Луны и Земли. Лагранж предложил свое решение проблемы трех тел, но не смог объяснить векового ускорения.

В 1774 г. Академия опять объявила о присуждении премии за решение этой проблемы, и Лагранжу снова удалось получить ее, приняв в рассмотрение то, каким образом форма Луны может воздействовать на ее движение. Такое же рассмотрение было проведено им и в отношении Земли. Тем не менее он не нашел объяснения векового ускорения и, изучив относящиеся к этому исторические свидетельства, заявил, что сама идея весьма сомнительна, а потому должна быть отброшена.

Череда академических премий продолжала привлекать сочинения высочайшего качества, но Лагранжа стали утомлять затруднения, которые они создавали в его работе, и он предпочел заняться независимым написанием собственных трудов. В последний раз он выиграл эту премию в 1780 г., получив ее за важное исследование возмущения кометных орбит в результате воздействия, оказываемого планетами. Он внес величайший вклад в планетную теорию Ньютона, издав несколько дополнительных мемуаров. Ему удалось уцелеть в беспокойные революционные годы, когда в 1787 г. судьба забросила его в Париж. Там он стал членом Бюро долгот и смог оказать помощь в обеспечении практических потребностей астрономии, таких как составление эфемерид, чему он научился еще в Берлине. Он был удостоен чести получить награду от Наполеона, а после смерти, наступившей в 1813 г., надгробную речь в его честь произнес в Пантеоне Пьер-Симон Лаплас, уже решивший к этому времени проблему, которая так долго не давалась Лагранжу и остальным.

Лаплас родился в Нормандии, где он обучался в университете в Каннах, пока не переехал в 1768 г. в Париж по рекомендации д’ Аламбера. Серия блестящих математических работ, которые он опубликовал в течение пяти лет, привела его к избранию в Парижскую академию наук. Он писал об интегральном исчислении, о небесной механике и о теории вероятностей. Серия томов его «Mécanique céleste» («Небесная механика») выходила с 1799 по 1825 г., и в них, как и в своих ценных сочинениях по физике, он весьма активно использовал множество математических приемов, разработанных самостоятельно, которые до сих пор широко применяются и носят его имя. Работы Лапласа были слишком важны, чтобы остаться незамеченными в англоговорящем мире, и перевод первых четырех томов, сделанный бостонским математиком и астрономом-самоучкой Нафанаилом Боудичем, оказался весьма неплох.

Лапласа ничто не увлекало, кроме его несравненного гения, в результате чего он лишился многих друзей, но осознавал необходимость сделать математические науки доступными для широкой аудитории, и одну из своих наиболее популярных работ он приспособил для легкого чтения – «Exposition du système du monde» («Изложение системы мира», впервые опубликована в 1796 г.). Она была посвящена очень широкому кругу космологических вопросов. Его работа в области математической астрономии достигла своего пика в революционный период во Франции, и он имел возможность оказать очень значительное влияние на организацию интеллектуальной жизни Франции на всех ее уровнях. Во времена империи Наполеон удостаивал его всевозможных почестей и обсуждал с ним астрономические вопросы (по слухам, однажды такой разговор состоялся прямо на поле битвы). Однако титул маркиза он получил только после возвращения Бурбонов и высылки Наполеона.

Когда Лаплас приступил к изучению возможного ускорения движения Луны, он начал с отклонения утверждений скептиков, что исторические свидетельства его существования ненадежны. Он также отклонил предложенное ранее решение, согласно которому этот эффект был не более чем иллюзией, порождаемой замедлением вращения Земли в результате трения, предположительно производимого земными ветрами. Почему же в таком случае, задался вопросом он, также не увеличивались средние движения планет? Ответа не последовало. Что касается эфирного флюида, о котором упоминал Эйлер, то Лаплас отверг его из‐за отсутствия независимых доказательств. Короче говоря, он честно занялся решением этой проблемы в том виде, в каком она существовала тремя поколениями ранее.

Тем не менее ему не удалось решить ее, и поэтому он пошел на внесение изменения в закон гравитации Ньютона. Сила гравитации, оказываемая одним телом на другое, как обычно предполагалось, действует мгновенно, но что если для оказания этого воздействия ей требуется конечное время? Это, как показал Лаплас, могло привести к вековому ускорению Луны, но только в том случае, если скорость действия гравитации больше скорости света в восемь миллионов раз. (Кроме того, как он показал, вековое ускорение можно объяснить и другими способами, если принять, что скорость гравитации превышает скорость света в пятьдесят миллионов раз, в противном же случае доказать ее существование невозможно.) Его не вполне удовлетворяло это решение, которое, как и эфир, никак нельзя было считать самоочевидным; но затем, в 1787 г., он нашел гораздо более приемлемую альтернативу. Форма земной орбиты, как он обнаружил, изменяется; по сути, он выяснил, что значение эксцентриситета эллипса уменьшается, и ему удалось связать этот эффект с постепенным уменьшением продолжительности месяца. Этот анализ был дополнен проведенным им исследованием движения спутников Юпитера. (На деле, Юпитер учитывался при расчете поведения нашей собственной Луны.) Он рассчитал теоретическое выражение для векового ускорения Луны, которое во времена его жизни давало значение около 10,1816″, близкое к лучшим историческим свидетельствам; и он показал, что примерно через 24 000 лет вековое изменение сменит знак, и месяц начнет удлиняться.

Когда Лагранж прочел работу, в которой объявлялось об этих открытиях, он пересмотрел свою раннюю работу 1783 г. и обнаружил упущение, дающее при правильном использовании почти такой же результат, как у Лапласа. Спустя много лет «первооткрыватель Нептуна» Джон Куч Адамс показал, что теория Лапласа не может объяснить все известные эффекты, но его достижение бесспорно имело важное значение и в течение долгого времени рассматривалось как шедевр небесной механики.

К чести Лапласа, у него было множество других заслуг в области теории тяготения. Например, он не только обнаружил связь между формой Земли и некоторыми нарушениями движения Луны, но и приложил это наряду с вращением Земли к теории приливов. Одним из величайших его достижений было объяснение особых колебаний орбитальных скоростей Юпитера и Сатурна. Он обнаружил, что они возникают в результате любопытной зависимости между периодами обращения планет, пятикратный период Юпитера почти в точности равен двукратному периоду Сатурна. Однако одно из его высочайших достижений, по всей видимости, затрагивает вопрос, вызывавший большую обеспокоенность у тех, кто пытался связать астрономию с естественной религией. Это была его работа, посвященная устойчивости Солнечной системы. Способна ли она существовать вечно, без вмешательства божественного часовщика? Лейбниц подтрунивал над Сэмюэлем Кларком, упоминая о несовершенстве ньютоновской Вселенной, которая, по его словам, нуждается в том, чтобы Бог время от времени заводил ее механизм, а это содержало скрытый намек: Бог – грубый ремесленник.

Вопрос устойчивости был достойной проверкой на совершенство математического мастерства. Лаплас весьма активно использовал метод Лагранжа – введение в качестве переменных шести элементов планетных орбит (эксцентриситета, положения афелия и других определяющих его параметров) – и в 1773 г. был готов к доказательству того, что даже если элементы одной из планет будут возмущены другой планетой, ее среднее расстояние от Солнца не изменится сколько-нибудь значительно и на протяжении тысячелетий. В течение нескольких следующих лет Лаплас сосредоточился на этом вопросе, применив более сложные теоремы, имеющие отношение к расстояниям, эксцентриситетам и углам в орбитальных плоскостях, и, судя по всему, вновь пришел к аналогичному выводу: Солнечная система в высшей степени устойчива. Он показал, что в Солнечной системе существует плоскость, относительно которой осциллирует вся система. В более поздних исследованиях было принято во внимание действие трения приливных сил и снова сочтено необходимым дать более точное определение доводам Лапласа, но общая схема его анализа осталась неизменной, что в глазах великих последователей Ньютона, работавших на протяжении столетия после его смерти, стало замечательным свидетельством истинности его достижений.