20.4. Границы оценки опционов колл

Теперь давайте подумаем об оценке коллов. Мы точно можем узнать цену колла в день его исполнения – это всего лишь разница между страйком и ценой акции.

А на день раньше? Ну, во-первых, цена колла никогда не может быть отрицательной. Колл не может стоить меньше, чем цена акции за минусом страйка. Еще она не может быть выше, чем цена самой акции, ведь всегда можно просто купить эту акцию безо всяких опционов. И чем ближе к дате исполнения, тем меньше будет разница между ценой опциона и разницей между акцией и страйком. В день исполнения они сравняются. Опцион станет вне денег. Потому что если акция стоит $21,85 и у меня опцион на ее покупку по $25 (или 24, или 23, да даже и $21,85), мой опцион не стоит ровным счетом ничего.

Но если дата исполнения через месяц (как в нашем примере), то опцион таки немного стоит, ведь есть небольшой шанс, что цена акции поднимется выше $25. И сколько люди готовы заплатить за право иметь этот шанс? Немного, 45 центов. Почему так мало? Потому что $21,85 далековато от $25, а у опциона остался всего месяц. Какова вероятность того, что акция вырастет так сильно? Ну, она есть, но небольшая. Поэтому больше 45 центов за такой опцион не дадут.

Вот и причина того, что не надо исполнять американский опцион колл раньше срока. Ведь если вы его исполнили, его ценность падает до нуля. Но до даты исполнения он стоит всегда дороже. Поэтому если нужно вынуть деньги, его надо не исполнять, а продать.

Поэтому разница между европейскими и американскими опционами не так велика, как кажется на первый взгляд. Понятно, что американские коллы не надо исполнять слишком рано. Хотя могут быть ситуации, когда оптимально будет исполнить американский пут досрочно – но вам не надо об этом сейчас думать. Можно оценить европейские коллы, а из них посчитать, сколько будут стоить путы.

20.5. Биномиальная модель оценки опционов

Поговорим о ценообразовании. Основная формула для оценки опционов – это уравнение Блэка—Шоулза. Но перед этим надо понять, как она вообще появилась.

Расскажу простую историю, чтобы вы интуитивно все поняли. Чтобы максимально все упростить, мы переедем в мир, где у акции есть всего две цены. Это будет биномиальный мир. Пусть у нас есть всего два варианта стоимости акции: дешево и дорого, ок?

И ВРЕМЯ У НАС ТОЖЕ ПРЕДЕЛЬНО УПРОЩЕНО – ЕСТЬ ТОЛЬКО ДВА ДНЯ, СЕГОДНЯ И ЗАВТРА – ДЕНЬ ЭКСПИРАЦИИ. БУДЕТ ЦЕНА НА АКЦИЮ, И ОНА МОЖЕТ ПОЙТИ ЛИБО ВВЕРХ, ЛИБО ВНИЗ.

Теперь рассмотрим портфель из акции и опциона. Я куплю ровно столько акций, сколько продам (выпишу) коллов на нее. Если цена завтра сходит вверх, опцион у его покупателя окажется в деньгах, и он его реализует. Исполняя этот опцион, я отдам покупателю купленные акции. При этом я ничего не теряю (я же их купил еще по сегодняшней цене), а зарабатываю на цене опциона.

Если цена пойдет вниз, покупатель его реализовывать не будет. У меня на руках останутся акции, которые я купил сегодня задорого, и которые подешевели. То есть я заработаю цену проданных опционов, но мои акции упадут.

При этом я собрал портфель, у которого нулевой риск. Если у меня акций столько же, сколько я продал опционов, тогда никакого риска нет – по исполненным опционам я отдам контрагенту свои акции. Если у портфеля нет риска, то приносить он должен как раз безрисковую ставку доходности. Это все равно что безрисковое вложение. Тогда можно подставить в уравнение все, кроме цены колла, и найти ее.

Это следствие того, что формула получается из безарбитражных условий. Арбитраж (в финансах) означает возможность заработать без риска. Например, продать акции Тинькова в Лондоне по 8 долларов, продать доллары по 60 рублей, и в тот же день купить те же акции в Москве по 470 рублей. Если у нас есть счета и там, и там, нам все равно, где хранятся акции, и если такая возможность реально найдется, с каждой акции мы получаем безрисковые 10 рублей (60×8-470), тогда как акции остаются у нас в портфеле. Арбитраж намекает на то, что нельзя заработать больше безрисковой ставки, не беря на себя риск.

Если бы это было возможно – представим, что безрисковая ставка у нас 5 %, а тут нашлась возможность заработать 6 % годовых, тогда я займу под 5 % и вложу все в шестипроцентную тему. И я буду так делать до скончания веков. Это слишком жирная возможность обогатиться, чтоб ее упускать. И один из самых мощных выводов теоретических финансов заключается в том, что ни одна возможность арбитража не держится сколь-нибудь долго.

Это все равно что сказать, что на тротуаре обычно не валяются купюры в 1000 рублей. Идешь по Тверской – там косарик в луже лежит. Думаешь – ну, наверное, это какой-то подвох. Кто-то бы точно подобрал! У американских африканцев даже игра есть такая – пять баксов привязывают к леске и дергают, как только кто-то за ними потянется. Но это я не из-за расизма, а проиллюстрировать, что деньги обычно на дороге не валяются.

Это означает, что, если цена на опцион не следует формуле, на рынке что-то не так. Интересно, что нам не нужна вероятность падения или роста рынка, чтобы оценить наш опцион. Кто-то скажет: погодите, у меня тут интуиция и я хочу купить опцион, потому что он может принести деньги. Когда речь шла о котировках из газеты, там за 45 центов можно было купить опцион колл со страйком 25 – дешево, потому что вряд ли цена акции уйдет так сильно выше, она же сейчас стоит всего $21,85. Кажется, что опцион должен быть фундаментально привязан к вероятности попасть в деньги, но это не так. Никакой вероятности тут не зашито. Факт в том, что не нужно знать вероятность попадания опциона в деньги, чтобы выставить на него цену, потому что ее можно определить исходя из безрисковых условий. Это, пожалуй, контринтуитивно, зато интересно.