Итоговый тест
Надежность и предубеждение – исчезающие риски
Возьмем на этот раз в качестве примера кое-что, чего, скорее всего, боятся все и совершенно справедливо. Каждый третий житель Германии в течение жизни болеет раком. Что может быть важнее, чем правильная интерпретация медицинских анализов?
Допустим, врач назначил вам анализ крови и сказал, когда в следующий раз прийти на прием, чтобы узнать его результаты. По его словам, 1 % людей в вашей возрастной группе с аналогичным букетом болезней заболевает раком. К несчастью для вас, анализ с точностью в 95 % оказался положительным. Вы, конечно же, жутко напуганы. Но какова же все-таки вероятность того, что у вас действительно именно та разновидность рака, которую обнаружил анализ?
Здесь мы снова сделаем небольшое отступление, ведь, пожалуй, самое важное в любом знании – это то, что человек сам его добывает. Прежде чем продолжить чтение, подумайте, как бы вы ответили на вопрос.
Сделали?
Надеюсь, что нет. Так как на вопрос, как он поставлен, нельзя ответить. Некоторые выводы никогда невозможно представить в числовом виде. Всегда существуют два типа ошибок, которые порождают подобные анализы. Он может что-то упустить или выдать ложный результат. Если надежность метода исследования определить лишь одним числом, то это будет по меньшей мере несерьезно и слишком все упростит. Встанем на сторону врача и предположим, что он объединил два разных показателя, поскольку они равны. Таким образом, анализ выявляет у 5 % здоровых рак, а у 5 % больных пропускает его. Это значило бы, что для вас вероятность того, что вы больны, составляет 95 %, как и подсказывает нам наша интуиция. Неутешительный расклад.
Однако в нашем распоряжении есть и другая информация, согласно которой ваш риск заболеть раком всего 1 %. Можно было бы снова попытаться произвести расчеты с помощью теоремы Байеса, но не беспокойтесь, мы выберем более наглядный способ, который с точки зрения математики ведет к тем же результатам. Если бы мы взяли анализ у 10 000 человек вашей группы риска, то он действительно показал бы сотню больных раком и 9900 здоровых. Если бы провели анализ у 95 % из сотни больных, то у 95 человек был бы установлен рак, а у 5 его просмотрели бы. Если то же проделать со здоровыми, то 95 % результатов окажется правильными, то есть подтвердит отсутствие болезни, а у 5 % анализ ошибочно покажет наличие заболевания.
5 % из 9900 здоровых – это 495 ошибочных результатов анализа. То есть из 10 000 пациентов анализ положительный у 590 человек, но только 95 из них действительно больны. Итак, ответ на поставленный вопрос таков: вероятность действительно быть больным раком при положительном результате анализа составляет 95/590 или 16 %.
Для контроля можно все это перепроверить, следуя логике Байеса, и заработать еще одну звездочку по прилежанию. Напомню, теорема гласит: p(K|P) = p(K) × p(P|K) / p(P), где К – это рак, а Р – это положительный результат анализа.
p(K) – вероятность болезни, то есть 1 %; p(P|K) – вероятность положительного результата анализа при фактическом наличии заболевания, этот показатель идентичен надежности анализа и составляет 95 %. p(P) – общая вероятность положительного результата анализа. Она складывается из двух отдельных групп. К одной относятся ошибочные результаты анализа у здоровых, что составляет 5 % из 99 %, то есть 99 % × 5 % = 4,95 %. К другой – корректные положительные результаты больных, это 95 % от 1 % всех больных или 0,95 %. Итого, общая вероятность положительных анализов равна сумме показателей обеих групп, то есть 4,95 % + 0,95 % = 5,95. Благодаря нашему доброму пастору Байесу вычисляем искомую вероятность p(K|P) = 1 % × 95 % / 5,9 % или все те же примерно 16 %.
Особо внимательные читатели заметили, что все цифры из первого примера соответствуют цифрам из формулы Байеса. Это, конечно же, связано с тем, что первый, более описательный перечень из 10 000 пациентов, основан в точности на той же логике, что и изящная абстрактная формула шотландского пастора.
Так, достаточно с нас вычислений. Самое время устроить заключительную головомойку. Эти жалкие 16 % риска заболеть раком, за которые говорит на 95 % достоверный тест, никак не укладываются у нас в голове. Равно как и решение задачки с козой.
С одной стороны, это имеет роковое значение, потому что, как мы видели на примере, неумолимая логика управляет и постановкой диагноза, и предотвращением бомбардировок, когда речь идет в буквальном смысле о жизни и смерти. Не внося никаких изменений, мы можем перенести наш пример на экран радара, с которого и началась история современной теории восприятия. Если на нем 1 % пятен – это действительно ракеты, а остальное – помехи и если операторы в 95 % случаев распознают угрозу правильно, тогда вероятность того, что мы действительно имеем дело с ракетой, когда видим ее на экране, также составляет смехотворные 16 %.
Так если хаос и мир вокруг пытаются своими шумом и неточностями сбить наше восприятие с толку и ошибки неизбежны всегда, как могут летучие мыши, бабочки и люди повысить свои шансы находить правильные ответы на свои вопросы? Как нам распознавать надвигающуюся опасность до того, как она нагрянет, причем не прибывая постоянно в панике, ведь ложные сигналы тревоги часто носят продолжительный характер?
Как нам научить своего идеального наблюдателя, чтобы ему не было так мучительно больно за себя?
