Закон наименьшего действия

Представьте себе, что вы стоите на пляже поодаль от воды. До вас доносятся отчаянные крики. Вы поворачиваете голову и видите, что кто-то тонет. Решаете спасти его. Поскольку по суше бежать быстрее, чем в воде, вы пользуетесь своим преимуществом и мчитесь к точке на кромке воды напротив утопающего, а оттуда плывете прямо к нему. Ваш путь – самый быстрый способ добраться до тонущего, но он не прямой. Напротив, он состоит из двух отрезков прямой, сходящихся под углом в той точке, где вы вошли в воду.

Теперь рассмотрим луч света. Он, как и вы, движется сквозь воздух быстрее, чем сквозь воду. Если он начинает путь из точки А в воздухе и заканчивает в точке В в воде, то будет двигаться не по прямой. Сначала он пройдет отрезок из точки А до кромки воды, там повернет и затем снова по прямой достигнет точки В в воде (это называется преломление или рефракция). Луч света, в точности как вы, когда собираетесь спасти утопающего, рассматривает свою цель и затем избирает траекторию, по которой туда можно попасть быстрее всего с учетом разной скорости продвижения в двух стихиях, сквозь которые луч должен пройти.

Но ведь такого не может быть, не так ли? Наше объяснение маршрута светового луча, которое Пьер Ферма в XVII веке назвал «принципом наименьшего времени», предполагает, что свет откуда-то знает заранее, куда он должен попасть, и затем действует целенаправленно. Это называется телеологическим объяснением.

Мысль, что у всех вещей в природе есть цель и они преднамеренно стремятся к ней, восходит к Аристотелю. В физике Аристотеля конечная причина – это цель, конец, telos, куда стремится предмет, претерпевающий изменение. Объяснять перемену конечной причиной – значит объяснять ее с точки зрения достигнутого результата. А действующая причина, напротив, – это фактор, запускающий процесс перемен. Объяснять перемену действующей причиной – значит исходить из первоначальных условий.

Научный прогресс, в частности, иногда понимают как замену телеологичесих объяснений (конечной причины) механистическими (действующей причиной). Например, дарвиновская революция понимается следующим образом: черты, которые созданы словно бы с какой-то целью – например, длинная шея жирафа – объясняются как результат слепого процесса случайных мутаций и естественного отбора.

На самом деле в физике происходило обратное. В 1744 году французский математик и астроном Пьер-Луи Моро де Мопертюи выдвинул великий телеологический принцип под названием «закон наименьшего действия», который был вдохновлен идеями Лейбница (а возможно, и украден у него). Закон Мопертюи представлял собой абстрактную версию принципа наименьшего времени Ферма и гласил, в сущности, что природа всегда достигает своих целей самым экономичным образом. А что же это за «действие», на котором природа якобы экономит? Мопертюи описывал его как математическую смесь массы, скорости и расстояния.

В своей первоначальной форме закон наименьшего действия был так расплывчат, что не принес науке никакой пользы. Но вскоре его формулировку отточил великий математик XVIII века Жозеф Лагранж. В 1788 году, через сто лет после «Начал» Ньютона, Лагранж опубликовал свою знаменитую MécanIQue analytIQue, которая выражала ньютоновскую систему в терминах закона наименьшего действия. В следующем веке ирландец Уильям Роуэн Гамильтон облек ту же идею конечной причины в форму, из которой можно было вывести всю ньютоновскую механику и оптику – так называемый принцип Гамильтона.

С тех пор закон наименьшего действия во всех своих обличьях оказывал колоссальное влияние на развитие науки. Формулы теории относительности Эйнштейна, которая пришла на смену закону всемирного тяготения Ньютона, можно вывести из принципа действия, очень похожего на закон Мопертюи. «Высшая и самая желанная цель физической науки – свести воедино, в один простой принцип все природные явления, которые наблюдались и будут наблюдаться, – писал Макс Планк, основатель квантовой механики. – И среди всех более или менее общих законов, знаменующих достижения физической науки в ходе последних столетий, принцип наименьшего действия… вероятно, ближе всех к идеальной конечной цели теоретических исследований».

Если закон наименьшего действия (или его современная версия) и в самом деле венец творения физики, что он говорит о мире? Означает ли он, что существует целеустремленный интеллект, который направляет все на свете так, чтобы на достижение его целей уходило как можно меньше усилий и затрат, как полагали Мопертюи, Лагранж и Гамильтон?

У нас есть один набор уравнений, который объясняет устройство мироздания в терминах действующих причин. У нас есть другой набор уравнений, который объясняет устройство мироздания в терминах конечных причин. Второй набор, возможно, проще, чем первый, и плодотворнее с точки зрения новых открытий. Но оба они описывают одно и то же положение дел и дают одни и те же прогнозы. Поэтому, как сказал Планк, «в таком случае каждый должен сам решить, какую точку зрения считать основной». Если хотите, можете быть телеологом. Если вам так больше нравится, будьте механистом. А можете не принимать никакого решения и только задаваться вопросом, не имеем ли мы дела с очередной метафизической дихотомией, которая ни на что не влияет.

Прекрасная теорема Эмми Нётер

Предположим, мы хотим назвать ту или иную теорию объективно истинной. Что это может значить? Ну, помимо всего прочего, это значит, что теория должна быть истинной для любого наблюдателя независимо от его точки зрения. То есть ее действенность не должна зависеть от того, где вы случайно очутились, куда вы случайно посмотрели и который нынче час.

Считается, что теория, не зависящая от точки зрения, обладает симметрией. В повседневной жизни словом «симметричный» описывают предметы, а не теории. Человеческие лица, снежинки и кристаллы в определенном смысле симметричны. Сфера симметрична в большей степени, чем все они, поскольку сохраняет форму, как бы мы ее ни вращали.

В этом и заключается подсказка, как определить симметрию более абстрактно. Нечто симметрично, если с ним можно сделать что-то, после чего оно будет выглядеть в точности как раньше. Такое определение придумал физик Герман Вейль (1885–1955). Говорят, что теория симметрична, если с ней можно что-то сделать, например, изменить координаты в пространстве или времени, и после этого уравнения теории будут выглядеть точно так же, как раньше. Изменение координат – это как изменение точки зрения. (Например, если изменить временную координату теории, точка зрения сдвигается с настоящего в прошлое или будущее.) Таким образом, чем больше у теории симметрий, тем универсальнее ее уравнения.

Я расставил декорации для одного из самых недооцененных открытий прошлого века: для каждой симметрии, которой обладает теория, существует закон сохранения, действующий в мире, описываемом теорией. Закон сохранения – это закон, согласно которому что-то нельзя ни создать, ни уничтожить и его количество всегда постоянно. Если теория симметрична при перемещении в пространстве, то есть ее уравнения не меняются при изменении пространственной точки зрения, она требует закон сохранения импульса. Подобным же образом, если теория симметрична при перемещении во времени, она требует закона сохранения энергии. Симметрия при сдвиге ориентации требует закона сохранения момента импульса. А другие, более тонкие симметрии требуют еще более тонких законов сохранения.

Ричард Фейнман считал, что на свете нет ничего «глубже и прекраснее» тесной связи между симметрией и законами сохранения. Впрочем, добавлял он, «большинство физиков по-прежнему считают, что это немного чересчур». Законы, которые когда-то считали грубыми фактами мира природы, например, первый закон термодинамики, гласящий, что энергию невозможно ни создать, ни уничтожить, – это, оказывается, предпосылки возможности объективного познания. Когда мы формулируем теорию мироздания, которая должна быть действенной не только с нашей точки зрения, но и по всему диапазону точек зрения, мы имплицитно подчиняемся закону сохранения. Такая мысль определенно заставляет вспомнить Канта. Однако трансцендентные рассуждения Канта неряшливы и зачастую ошибочны. А связь симметрии с сохранением, напротив, была доказана с неопровержимой логической строгостью, и сделала это женщина по имени Эмми Нётер.

Эмми Нётер стоит в одном ряду с величайшими чистыми математиками XX века. Она родилась в Баварии в 1882 году и получила докторскую степень в Гёттингене в 1907 году. Эмми ни в чем не уступала блистательным коллегам – Давиду Гильберту, Феликсу Кляйну, Герману Минковскому – но как женщина не могла рассчитывать на полноценную профессорскую должность, правда, ей разрешили читать бесплатные лекции в качестве приват-доцента. А когда в 1933 году к власти пришли фашисты, еврейку Нётер лишили даже этой полуофициальной должности в Гёттингене. Она бежала в США, где преподавала в колледже Брин-Мор и читала лекции в Институте передовых исследований в Принстоне. В 1935 году она скоропостижно скончалась от послеоперационной инфекции.

Эмми Нётер была громкоголосой и коренастой, и ее друг Герман Вейль говорил, что она похожа на «энергичную близорукую прачку». Она не только была одним из основоположников абстрактной алгебры, но и обладала литературным талантом – после нее остались стихи, роман и автобиография, кроме того, она стала соавтором пьесы. О своем открытии – связи между симметрией в теории и законом сохранения – она сообщила в 1918 году. Его иногда называют теоремой Нётер.

Означает ли теорема Нётер, что законы сохранения – это лишь артефакты нашего познания, что они не существуют в природе как таковые? Нет, это идеалистическое толкование, и поддаваться ему не следует. Мир в некоторой степени контролирует, насколько симметричной, то есть универсальной, может быть истинная теория. Некоторые симметрии не выдержали экспериментальной проверки. Например, в 1957 году Ли Чжэндао и Ян Чжэньнин получили Нобелевскую премию по физике за доказательство, что определенный процесс распада частиц нарушает «сохранение четности», а из этого следует, что во вселенной, которая представляет собой зеркальное отражение нашей, законы физики должны быть несколько иными.

Если когда-нибудь будет опровергнут закон сохранения энергии, последствия окажутся более серьезными. Тогда истинная теория мироустройства, как нам известно из теоремы Нётер, будет зависеть от того, который сейчас час, что станет сильнейшим ударом по ее «объективности».

Любопытно, что в истории науки много раз наставали моменты, когда казалось, будто закон сохранения энергии и в самом деле опровергнут. Однако каждый раз его удавалось спасти, сделав понятие энергии еще более общим и абстрактным. Раньше энергию понимали как чисто механическую, но в конце концов это понятие обобщили и на тепловую, электрическую, магнитную, акустическую и оптическую разновидности энергии, и все они, к счастью, преобразуются друг в друга. Теория относительности Эйнштейна позволила даже вещество рассматривать как «замороженную» энергию.

Как заметил когда-то Анри Пуанкаре, прежде чем отказываться от закона сохранения, нужно изобрести новые виды энергии, чтобы его сохранить. Благодаря идеально-прекрасному открытию Эмми Нётер мы знаем, зачем это нужно: от этого зависит вечность физической истины.