О смешивании красок

Причина, по которой я называю себя человеком «некультурным», «антиинтеллектуалом», восходит еще ко времени моей учебы в старших классах школы. Я вечно боялся показаться «неженкой» и потому особой деликатности в отношениях с людьми себе не позволял. Я считал тогда, что настоящий мужчина никакого внимания на поэзию и тому подобные штучки обращать не должен. Откуда она вообще берется, эта самая поэзия, меня нисколько не интересовало! Поэтому к людям, которые изучали французскую литературу или посвящали слишком много времени музыке либо поэзии – всем этим «изыскам», – я относился отрицательно. Мне больше нравились жестянщики, сварщики, работники механических мастерских. Я считал, что человек, работающий в механической мастерской, умеющий что-то делать своими руками, – вот он-то и есть настоящий человек. Такую я занимал позицию. Для меня практичность была добродетелью, а всякая там «культура» или «интеллектуальность» – ничуть. Первое-то, разумеется, верно, зато второе – глупость полная.

Примерно таких же взглядов я, как вы еще увидите, придерживался и обучаясь в аспирантуре Принстона. Я часто заходил поесть в симпатичный ресторанчик под названием «У Папы». И однажды, когда я сидел там, с верхнего этажа спустился и уселся рядом со мной перепачканный краской маляр. Мы разговорились, и он стал рассказывать о том, как много должен знать человек, занимающийся его ремеслом.

– Вот например, – спросил он, – если бы вам поручили покрасить стены этого ресторана, какую бы краску вы выбрали?

Я ответил, что не знаю, а он сказал:

– Вот до такой-то и такой высоты лучше положить краску темную, потому что люди, которые сидят за столиками, трутся локтями о стены, и если положить хорошую белую краску, она быстро запачкается. А выше сгодится как раз белая, она создаст впечатление чистоты ресторана.

Похоже, дело свое он действительно знал, и я внимательно его слушал, но тут он вдруг сказал:

– А еще надо разбираться в цветах – знать, как смешивать краски, чтобы получить тот или этот цвет. Вот, к примеру, какие краски вы смешали бы, чтобы получить желтый цвет?

Какие краски надо смешивать, чтобы получить желтый цвет, я не знал. Если. бы речь шла о свете, я смешал бы зеленый и красный, но он-то говорил о красках. И я ответил:

– Я не знаю, как получить желтый цвет, не используя желтой краски.

– Ну, – сказал он, – смешайте белую с красной и получите желтую.

– А разве не розовую?

– Нет, – заверил он меня, – именно желтую.

И я ему поверил, ведь он же был профессиональным маляром, а я перед такими людьми всегда преклонялся. Хотя мне все-таки оставалось непонятным, как это получается.

И тут мне пришла в голову мысль:

– Должно быть, в этом случае происходят какие-то химические изменения. Вы используете какие-нибудь особые пигменты, чтобы произвести химические изменения?

– Да нет, – сказал он, – пигменты сойдут любые. Сходите в магазинчик «Пять и десять», купите обычную банку красной краски и такую же белой, я смешаю их и покажу вам, как получить желтую.

Тут я подумал: «С ума сойти. Я кое-что понимаю в красках и знаю, что желтый не получится, но он, должно быть, умеет делать что-то такое, благодаря чему все-таки получается желтый. Надо выяснить, что это!»

И я согласился:

– Ладно, краски я вам принесу.

Маляр снова поднялся наверх, чтобы заняться работой, а ко мне подошел владелец ресторана:

– Чего вы с ним спорите? Он маляр и всю жизнь был маляром, он говорит, что знает, как получить желтый колер. Зачем же спорить-то?

Мне стало неловко. Я просто не знал, что ответить. И наконец сказал:

– Я тоже всю жизнь занимаюсь светом. И думаю, что из красного с белым получить желтый нельзя – только розовый.

Ну и пошел я в магазин, купил краски, принес их в ресторан. Маляр спустился сверху, к нам присоединился и хозяин ресторана. Я поставил банки с красками на старый стул, маляр начал их смешивать. То красной побольше добавит, то белой – все равно получается розовый цвет, – а он все смешивает и смешивает. Наконец он пробормотал что-то вроде: «Я обычно тюбик с желтой краской использую, чтобы цвет был поярче, – немного бы добавить, вот и получится желтый».

– А! – сказал я. – Тогда конечно! Если добавить желтой краски, выйдет желтый цвет, а без нее – никак.

Маляр ушел обратно наверх.

А владелец ресторана возмутился:

– Ну и нахал же этот малый – спорит с человеком, который всю жизнь изучает свет!

Я все это говорю для того, чтобы показать вам, какое доверие я питал к этим «настоящим людям». Маляр рассказал мне столько дельного, что я был готов поверить в существование странного, неизвестного мне явления. Я-то считал, что цвет у него выйдет розовый, но все же думал: «Если он добьется желтого, значит, тут какое-то новое, интересное явление и его надо увидеть».

Занимаясь физикой, я часто впадал в заблуждения, полагая, что та или иная теория на самом деле не так уж хороша, думая, что с ней связаны сложности, которые ее непременно испортят, считая, что всякое может быть – отлично зная при этом, что именно согласно ей должно произойти.

Другой набор инструментов

В аспирантской школе Принстона физическое и математическое отделения делили общую комнату отдыха, в которой мы каждый день в четыре часа пили чай. Так мы не просто имитировали порядки английского колледжа, но и получали послеполуденную разрядку. Кто-то играл в го, кто-то обсуждал теоремы. В те дни главной сенсацией была топология.

Как сейчас помню двух ребят – один сидит на кушетке, напряженно о чем-то размышляя, а другой стоит перед ним и говорит:

– Следовательно, то-то и то-то справедливо.

– Это почему же? – спрашивает сидящий.

– Так это же тривиально! Тривиально! – восклицает стоящий и быстро перечисляет ряд логических шагов. – Во-первых, предполагается то и это, затем мы берем это и то Керкгофа, а у нас имеется теорема Ваффенстофера, мы делаем подстановку этого и строим то. Теперь ты берешь вектор, который направлен вот сюда, и тогда то да се…

А сидящий на кушетке силится понять весь этот ужас, который продолжается – и на большой скорости – целых пятнадцать минут!

И вот стоящий заканчивает, а сидящий говорит:

– Да, да. Это тривиально.

Мы, физики, и посмеивались над ними, и старались их понять. Мы решили, что «тривиально» означает «доказано». И говорили им так: «У нас имеется новая теорема, согласно которой математики способны доказывать только тривиальные теоремы, поскольку каждая теорема, будучи доказанной, – тривиальна».

Математикам наша теорема не нравилась, что и позволяло мне их дразнить. Я говорил, что в их науке нет никаких сюрпризов, – математики доказывают только то, что и так очевидно.

Однако топология математикам очевидной отнюдь не казалась. В ней присутствовало множество замысловатых возможностей, которые были «контринтуитивны». И мне пришла в голову идея. Я бросил им вызов: «Готов поспорить, что не существует ни одной теоремы, которую вы сумеете мне изложить – но только так, чтобы я все понял, – и про которую я не смогу сразу сказать, истинна она или ложна».

Выглядело это зачастую так. Они объясняли мне:

– У тебя есть апельсин, правильно? Ты разрезаешь его на конечное число кусочков, потом снова складываешь их вместе, и апельсин получается размером с солнце. Истинно или ложно?

– Промежутков между кусочками нет?

– Нет.

– Невозможно! Быть такого не может.

– Ха! Вот он и попался! Все сюда! Это теорема такого-то о неизмеряемой мере!

Все страшно радовались – и вправду, попался, но тут я напоминал им:

– Ты же говорил об апельсине. А апельсин невозможно разрезать на кусочки, которые мельче атомов.

– Но у нас есть условие непрерывности: мы можем резать его и резать!

– Да нет, ты же сказал: апельсин. Ну я и предполагал, что речь идет о реальном апельсине.

В итоге я всегда побеждал. Если я угадывал верно – очень хорошо. Если неверно, мне неизменно удавалось найти в их упрощениях нечто, о чем они забыли упомянуть.

На самом-то деле мои догадки были не лишены определенных достоинств. У меня имелась схема, которую я и сейчас применяю, когда человек объясняет мне что-то, что я пытаюсь понять: я все время приводил примеры. Ну, скажем, математики придумывают роскошную теорему и приходят в полный восторг. Пока они перечисляют мне условия, я сооружаю в уме нечто, всем этим условиям отвечающее. Например, у вас имеется множество (один мячик) – несвязное (два мячика). Далее, эти мячики меняют цвет, отращивают волосы или совершают еще что-то, – в моем то есть уме, пока я выслушиваю условия теоремы. Наконец, формулируется сама теорема, какая-нибудь чушь о мячике, к моему волосатому зеленому мячику нисколько не относящаяся, и я заявляю: «Ложно!»

Если теорема верна, они приходят в восторг совсем уж полный, и я позволяю им немного порадоваться. А потом привожу мой контрпример.

– О, мы забыли сказать, что все это относится ко второму классу гомоморфности Хаусдорфа.

– А-а, – говорю я, – ну, тогда это тривиально! Это тривиально!

К этому времени я уже понимаю, к чему все клонится, хоть и понятия не имею о том, что такое гомоморфность Хаусдорфа.

Как правило, я угадывал верно, потому что, хоть математики и считали свои топологические теоремы противоречащими интуиции, теоремы эти были вовсе не такими сложными, какими казались. Со всеми их смешными фокусами насчет сверхтонкого разрезания вполне можно было освоиться, а после догадаться, куда идет дело, уже не составляло труда.

Хоть я и доставлял математикам немало хлопот, они всегда относились ко мне по-доброму. Счастливые они были ребята – выдумывали всякие штуки и страшно им радовались. Обсуждали свои «тривиальные» теоремы, но если ты задавал им простой вопрос, они всегда старались на него ответить.

Я и Пол Олам пользовались одной ванной комнатой на двоих. Мы подружились – и он попытался обучить меня математике. Пол довел меня аж до гомотопных групп, но на них я сломался. Однако вещи попроще понимал довольно хорошо.

Вот чего я никогда не понимал, так это контурного интегрирования. Я научился брать интегралы разными методами, описанными в книгах, которые давал мне мой школьный преподаватель физики мистер Бадер.

Как-то раз он попросил меня остаться после занятий. «Фейнман, – сказал он, – вы слишком много разговариваете на уроке, производите слишком много шума. И я знаю, по какой причине. Вам скучно. Поэтому я собираюсь дать вам книгу. Сидите вон там у задней стены, в углу, и занимайтесь ею, а когда вы поймете все, что в ней написано, мы с вами поговорим снова».

И дальше на уроках физики я не уделял никакого внимания закону Паскаля или что они там проходили. Я сидел у задней стены с книгой «Математический анализ. Учебник для колледжей» Вудса. Бадер знал, что я немного знаком с «Математическим анализом для практических нужд», вот он и задал мне настоящую задачу – для младшего, а то и старшего курса университета. Я разобрался в рядах Фурье, в эллиптических и бесселевых функциях, в детерминантах и множестве других замечательных вещей, о которых ничего до той поры не знал.

Эта книга научила меня еще и тому, как дифференцировать параметры под знаком интеграла – операция не из простых. Впоследствии выяснилось, что в университетах ее почти и не преподают, просто не обращают на нее особого внимания. А я этот метод использовать умел – и использовал, черт его подери, снова и снова. В общем, самостоятельно изучив ту книгу, я овладел изощренными методами вычисления интегралов.

В результате, если у ребят в МТИ или Принстоне возникали сложности с каким-нибудь интегралом, то главном образом по той причине, что эти интегралы не поддавались стандартным методам, которые проходят в школе или университете. Контурный интеграл они брали легко, с простыми разложениями в ряд тоже справлялись. А дальше появлялся я и пробовал провести дифференцирование под знаком интеграла, и оно нередко срабатывало. Так что я обзавелся серьезной репутацией по части интегралов – лишь потому, что мой набор инструментов отличался от наборов всех прочих, и когда их инструменты не срабатывали, они обращались ко мне.