§ 4. Распределение вероятностей

Давайте вернемся к проблеме случайных блужданий, но теперь уже с некоторым изменением. Пусть в дополнение к случайному выбору направления шага (+ или −) некоторым непредсказуемым образом меняется также и его длина, причем требуется выполнение одного-единственного условия, чтобы длина шага в среднем была равна единице. Эта задача уже больше похожа на тепловое движение молекул в газе. Обозначим длину шага через S, которая, вообще говоря, может быть любой, но наиболее часто будет принимать значения где-то «вблизи» единицы. Для большей определенности давайте положим < S ² > = 1, или, что эквивалентно, S_CK = 1. Вывод выражения для < D ² > при этом останется тем же, за исключением того, что уравнение (6.8) изменится теперь следующим образом:

Так что, как и прежде,

Каково же в этом случае будет распределение расстояний! Какова, например, вероятность того, что после 30 шагов D окажется равным нулю? Вероятность этого равна нулю! Вообще вероятность любой заданной величины D равна нулю. Действительно, совершенно невероятно, чтобы сумма всех шагов назад (при произвольной длине каждого из них) в точности скомпенсировалась шагами вперед. В этом случае мы уже не можем построить график типа изображенного на фиг. 6.2.

Если же, однако, не требовать, чтобы D было в точности равно, скажем, нулю, или единице, или двум, а вместо этого говорить о вероятности получения D где-то вблизи нуля, или единицы, или двух, то при этом мы можем нарисовать график, подобный приведенному на фиг. 6.2. Назовем Р (х, Δx) вероятностью того, что D будет находиться где-то внутри интервала Δx в окрестности величины х (скажем, где-то между х и х + Δx). Если Δx достаточно мало, то вероятность того, что D попадет в этот интервал, должна быть пропорциональна его ширине, т. е. Δx. Поэтому мы можем утверждать, что

Р (х, Δх) = р (х) Δx. (6.17)

Функция р (х) называется плотностью вероятности.

Вид кривой р (х) зависит как от числа шагов N, так и от распределения шагов по длинам (т. е. от того, какую долю составляют шаги данной длины). К сожалению, я не могу здесь заниматься доказательством этого, а только скажу, что при достаточно большом числе шагов N плотность р (х) одинакова для всех разумных распределений шагов по длинам и зависит лишь от самого N. На фиг. 6.7 показаны три графика р (х) для различных N.

Фиг. 6.7. Плотность вероятности оказаться при случайном блуждании через N шагов на расстоянии D.

D измеряется в единицах средней квадратичной длины шага.

Заметьте, что «полуширины» этих кривых, как это и должно быть по нашим предыдущим расчетам, приблизительно равны √N.

Вы, вероятно, заметили также, что величина р(х) вблизи нуля обратно пропорциональна √N. Это происходит потому, что все кривые по форме очень похожи, только одни «размазаны» больше, а другие – меньше, и, кроме того, площади, ограниченные каждой кривой и осью х, должны быть равны. Действительно, ведь р(х)Δx; это вероятность того, что D находится где-то внутри интервала Δx (Δx мало). Как определить вероятность того, что D находится где-то между x₁ и x₂? Для этого разобьем интервал между x₁ и x₂ на узкие полоски шириной Δx (фиг. 6.8) и вычислим сумму членов р(х)Δx для каждой такой полоски.

Фиг. 6.8. Вероятность [заштрихованная область под кривой р(х)] того, что при случайном блуждании пройденное расстояние D окажется между x₁ и x₂.

Геометрически эта вероятность [запишем ее в виде P(x₁ < D < x₂)] равна площади заштрихованной области на фиг. 6.8. При этом чем ýже будут наши полоски, тем точнее результат. Поэтому можно записать

Площадь же ограничения всей кривой просто равна вероятности того, что D принимает какое-то значение между −∞ и +∞. Ясно, что она должна быть равна единице, т. е.

Ну а поскольку ширина кривых на фиг. 6.7 пропорциональна √N, то, чтобы сохранить ту же площадь, их высота должна быть пропорциональна 1/√N.

Плотность вероятности, которую мы только что описали, встречается наиболее часто. Она известна также под названием нормальной, или гауссовой, плотности вероятности и записывается в виде

причем величина σ называется стандартным отклонением.

В нашем случае σ = √N или √N S_CK, если средняя квадратичная длина шага отлична от единицы.

Мы уже говорили о том, что движения молекул или каких-то других частиц в газе похожи на случайные блуждания. Представьте себе, что мы открыли в комнате пузырек с духами или каким-то другим органическим веществом. Тотчас же молекулы его начнут испаряться в воздух. Если в комнате есть какие-то воздушные течения, скажем циркуляция воздуха, то они будут переносить с собой пары этого вещества. Но даже в совершенно спокойном воздухе молекулы будут распространяться, пока не проникнут во все уголки комнаты. Это можно определить по запаху или цвету. Если нам известен средний размер «шага» и число шагов в секунду, то можно подсчитать вероятность обнаружения одной или нескольких молекул вещества на некотором расстоянии от пузырька через какой-то промежуток времени. С течением времени число шагов возрастает и газ «расползается» по комнате, подобно нашим кривым на фиг. 6.7. Длина шагов и их частота, как вы узнаете впоследствии, связаны с температурой и давлением воздуха в комнате.

Вы знаете, что давление газа вызывается тем, что молекулы его бомбардируют стенки сосуда. Позднее, когда мы подойдем к количественному описанию этого явления, нам понадобится знать, с какой скоростью движутся молекулы, ударяясь о стенку, поскольку сила их ударов зависит от скорости. Однако говорить о какой-то определенной скорости молекул совершенно невозможно. В этом случае необходимо использовать вероятностное описание. Молекула может иметь любую скорость, но некоторые скорости предпочтительнее других. Все происходящее в газе можно описать, сказав, что вероятность того, что данная молекула движется с какой-то скоростью между υ и υ + Δυ, будет равна p(υ) Δυ, где p(υ) – плотность вероятности, которая зависит от скорости υ. Позднее я расскажу, как Максвелл, используя общие понятия и идеи теории вероятности, нашел математическое выражение для функции p(υ). Примерный вид функции p(υ)показан на фиг. 6.9.

Фиг. 6.9. Распределение молекул газа по скоростям.

Скорость может иметь любую величину, однако больше шансов за то, что она окажется где-то в окрестности наиболее вероятного или ожидаемого значения <υ>.

О кривой, показанной на фиг. 6.9, часто говорят в несколько ином смысле. Если мы возьмем газ, заключенный в каком-то сосуде (скажем, объемом 1 л), то окажется, что в нем имеется огромное количество молекул (N ≈ 10²²). Поскольку p(υ) Δυ – вероятность того, что первая попавшаяся молекула будет лететь со скоростью, находящейся в интервале Δυ, то, по определению, ожидаемое число молекул <ΔN> со скоростью, находящейся в этом же интервале, будет равно

< ΔN > = N p (υ) Δυ. (6.21)

Поэтому Np (υ) можно назвать «распределением молекул по скоростям». Площадь под кривой между двумя значениями скоростей υ₁ и υ₂ [заштрихованная область на фиг. 6.9 для кривой Np (υ)]представляет ожидаемое число молекул со скоростями между υ₁ и υ₂. Но в газе, который содержит обычно огромное число молекул, отклонения от ожидаемого значения будут очень малы (порядка 1/√N), поэтому часто мы выбрасываем слово «ожидаемое» и говорим просто: «Число молекул со скоростями между υ₁ и υ₂ равно площади заштрихованного участка». Однако нужно все-таки помнить, что речь в таких случаях всегда идет о вероятном числе.