ГЛАВА 4
Вселенная чисел

Пифагор полагал, что числа представляют собой основу всего сущего, а мир гармоничен. Его самые талантливые ученики посвятили себя изучению свойств чисел и их соотношений и выстраиванию аналогий между числами и предметами вещественного мира. Воспетая ими магия чисел повлияла на всю античную эпоху и стала первым шагом математики как науки.

Пифагора Самосского многие считают отцом математики, наряду с некоторыми его современниками, такими как Фалес Милетский, вклад которого в развитие науки равен аристотелевскому. Не вызывает сомнений, что математика получила развитие в Месопотамии и Египте, свидетельства об этом датируются приблизительно 3000 годом до н.э. Но в действительности истоки этой науки уходят в еще более ранние времена. Математика появляется спонтанно как часть деятельности человека в его постоянной борьбе с окружающей природой, она дает одни и те же результаты в разных местах и в разные времена и удовлетворяет насущной необходимости для первобытного человека развивать инструменты для решения практических проблем. Чтобы оценить вклад пифагорейцев в математику, следует совершить путешествие в историю этой дисциплины и углубиться в гораздо более ранние эпохи, чем Древняя Греция.

Первым этапом длинной дороги к концепции числа было осознание разницы между «много» и «мало», «большим» количеством и «маленьким», между единичным и множественным.

Следующий шаг — появление двоичных и троичных систем. Некоторые примитивные народы из чисел различали только 1, 2 и «много», другие же были знакомы и с большими числами, с которыми умели производить отдельные операции. Позже в некоторых культурах было введено в употребление единое основание системы счисления, к примеру 10, 20 или 5, чтобы не нужно было считать по одному.

По большей части ранние цивилизации не воспринимали числа как абстрактные концепции. Они называли их словами, относящимися к исчисляемому объекту, и обозначали их полумагическими символами. Осознание различий между словами, обозначающими числа, и отдельными группами чисел представляло собой длительный процесс. Так, определенные «показательные» количества (пять пальцев на одной руке, десять — на двух руках) сыграли фундаментальную роль в том, как складывались арифметические операции или выбиралось основание для системы счисления. Эти народы знали четыре элементарных арифметических действия, которые они применяли весьма приблизительным образом, используя при этом только малые числа. Кроме того, они знали и дроби, чаще всего ограничиваясь 1/2, 1/3 или чуть больше, каждая из дробей обозначалась определенным словом. С большой вероятностью знали они и базовые геометрические понятия: прямая, круг, угол... Математические знания древности простирались настолько, насколько они удовлетворяли практической необходимости: простейшие расчеты при торговле, приблизительное вычисление площади полей, декоративные рисунки на керамике или ткани, а также измерение времени. В конечной стадии развития древнейших обществ отмечается «математический прогресс», который требует достаточно развитой способности к абстракции: появились такие понятия, как соотношение между абстрактными числами и конкретными вещами, дополнительная последовательность чисел и базовое число для системы счисления. Как бы то ни было, толчком для развития математики, как и для науки в целом, послужило появление городов. Около 10000 года до н.э. произошло решительное изменение в отношении людей к природе и друг к другу. Примитивные культуры мало-помалу оставляли традиционные занятия охотой и собирательством и принимались за сельское хозяйство, одомашнивали различных животных, начинали выращивать скот. В результате последовавшего разделения труда человеческое общество расслоилось на классы на основе сельскохозяйственного производства, появились частная собственность и государство. Новые, усложнившиеся потребности привели к развитию математических и астрономических знаний.

Во многих цивилизациях математика занимала важное место среди наук, делавших свои первые шаги, хотя наряду с такими цивилизациями продолжали существовать и культуры, не знавшие подобного прогресса. Конкретная форма и уровень знаний, связанных с сельским хозяйством, которыми обладали математики той эпохи, зависят от концепции мира, господствовавшей у того или иного народа. В целом знания аграрных обществ отвечали их нуждам, но не более того, их математика ограничивалась элементарными операциями с постоянными величинами.

Месопотамия была первой древней цивилизацией, где математика получила серьезное развитие, пошедшее, благодаря шумерам, значительно дальше, чем это было в Египте. Первые математические тексты, дошедшие до нас, изображены на глиняных клинописных табличках и восходят к шумерской цивилизации города Урук. В них можно встретить математические результаты, присутствующие также в табличках древней Вавилонской империи, в том числе относящиеся к ее культурному расцвету, времени царя Хаммурапи, о котором здесь уже упоминалось. Около середины VI века до н.э. ахеменидская Персия под началом Кира Великого захватила власть на Ближнем Востоке. Некоторые халдейские математики той эпохи, такие как Набу-Риманни и Кидинну, стали известны грекам.

Прилагательное «месопотамский» относится ко всем народам, обитавшим в обширном регионе «плодородного полумесяца», лежащем между реками Тигром и Евфратом и доходившем до Ливанских гор. Термин «Месопотамия» не относится к какому-нибудь конкретному городу, стране или культуре, а обозначает «страну между двух рек», Междуречье. Народы, жившие в этой области, построили такие города, как Вавилон, Ур, Урук, Лагаш... К счастью, несмотря на частую смену власти, развитие математики в Месопотамии шло непрерывно.

Междуречье находилось на перекрестке наиболее важных торговых путей, так что экономика оказывала огромное влияние на развитие древней арифметики. Месопотамские культуры использовали элементарные арифметические и алгебраические знания для измерения длин и весов, обмена деньгами и товарами, расчета прибылей, уплаты налогов, раздела земель и тому подобное. И в самом деле большая часть клинописных текстов, связанных с математикой, касается экономических вопросов. С другой стороны, рытье оросительных каналов и канализационных стоков тоже требовало множества вычислений. Использование кирпичей влекло за собой арифметические и геометрические проблемы, объемы зерновых амбаров также надо было рассчитывать.

Наиболее специфическая особенность вавилонской числовой системы — это то, что она была позиционной с основанием 60. Считается, что шестидесятеричная система развилась в связи с вавилонским способом измерения веса, а позиционная запись восходит к монетарной системе, но неизвестно, каким образом возникли обе эти особенности. Развитая позиционная шестидесятеричная оказалась весьма полезной и победила все остальные системы счисления древности. Эллинистические математики широко использовали ее для выполнения своих сложных расчетов, особенно в астрономии, где она была введена Птолемеем (прим. 100-170). От этой системы ведет начало разделение плоскости на 60 градусов, градуса — на 60 минут и минуты — на 60 секунд. Однако здесь есть и большое неудобство: таблица умножения доходит только до произведения 59 на 59. Подобная система имела большое практическое значение, но только при наличии пригодных таблиц умножения — и такие таблицы действительно были найдены.

Культуры Междуречья достигли таких знаний в арифметике и алгебре, которые позволяли решать сложные уравнения, но в целом их математика оставалась на достаточно элементарном уровне. Они решали математическим путем конкретные практические задачи, однако демонстрировали определенную способность к абстрактной математике, знали, что определенные методы пригодны для решения определенных классов уравнений. Можно задаться вопросом: было ли в Месопотамии известно понятие математического доказательства? По всей видимости, несмотря на то что математики Междуречья умели решать сложные уравнения с помощью правильных систематизированных процедур, они ограничивались тем, что описывали конкретные шаги, которые надо сделать для их решения, и не приводили доказательств их правильности. Таким образом, в рамках месопотамской математики невозможно найти ни концепции доказательства, ни логической структуры, основанной на принципах, заслуживших всеобщее признание, ни каких-либо методологических выкладок.

В Междуречье господствующие культуры часто сменяли одна другую, теряя свое влияние, в то время как египетская цивилизация оставалась неизменной тысячелетиями. Своего расцвета египетская культура достигла в эпоху Третьей династии, примерно к 2500 году до н.э., когда фараоны принялись за постройку великих пирамид. Учитывая, что папирус при старении и высыхании становится исключительно ломким, сохранились немногие документы Древнего Египта и иероглифические надписи на камне. Наиболее важные математические тексты, дошедшие до нашего времени, содержатся в двух больших папирусах: Московском папирусе и папирусе Ринда, которые мы уже упоминали. Оба восходят приблизительно к 1700 году до н.э., хотя они содержат гораздо более древние математические задачи. Первые слова папируса Ринда составляют заголовок и свидетельствуют о престижности данной дисциплины, с точки зрения автора папируса: «Точный счет: путь к знанию всех существующих вещей и всех самых удивительных и таинственных секретов». Эти документы касаются типичных математических задач и их решений, так что, по всей видимости, написаны они были в педагогических целях. Видимо, египтяне не делали никаких различий между арифметикой и геометрией, потому что в папирусах перемешаны задачи обеих дисциплин.

Часто говорят, что египетская геометрия родилась по необходимости, поскольку после разливов Нила приходилось всякий раз заново размечать границы земельных участков, обрабатываемых разными земледельцами. Однако известно, что такая же геометрия развилась и в Месопотамии, хотя там не было подобных разливов. Вероятнее, что египтяне имели тесные контакты с вавилонской цивилизацией, так как в Тель эль-Амарне, в долине Нила, были обнаружены глиняные таблички с клинописными текстами, датированные примерно 1500 годом до н.э.

Судя по задачам, изложенным в этих папирусах, египтяне использовали математику в государственном управлении и в храмовых хозяйствах при расчете жалования, объемов зерна, площади полей, уплате налогов, зависящих от размера земельных участков, при переводе различных систем измерения, подсчете количества кирпичей, необходимых для строительства. Кроме того, папирусы содержат задачи, касающиеся количества зерна, которое нужно для производства определенного объема пива, или количества зерна определенного качества, которое необходимо, чтобы получить тот же результат, что и с другим сортом зерна.

При изучении всех этих задач становится понятным, что египтяне располагали способами расчета площади прямоугольников, треугольников и трапеций. К сожалению, в случае с площадью треугольника, хотя они и умножали одно число на половину другого, невозможно узнать, насколько этот метод был правильным, потому что непонятно, означают использованные слова основание и высоту треугольника или же просто его стороны.

Имели ли египтяне представление о доказательстве или проверке своих математических действий? Папирус Ринда написан как книга упражнений для учеников того времени, так что некоторые исследователи считают, что хотя Ахмес не сформулировал никаких общих принципов, весьма вероятно, что он их знал. В любом случае, в документе содержатся задачи, которые писец должен был решать в связи с торговыми и административными делами, и методы их решения были практическими правилами, усвоенными опытным путем. Видимо, у египтян не было дедуктивной практики, основанной на системе аксиом.

Получить ясное представление о развитии математики в Древней Индии весьма трудно. С одной стороны, долгое время передача математических и научных знаний в ее культуре происходила в устной форме, с другой — политическая история Индии того периода полна различных событий. Около 4000 года до н.э. на территории нынешней Индии, в бассейне реки Инд, сформировалось классовое общество. Самыми важными городами этой культуры были Хараппа, Мохенджо-Даро, Кот-Диджи и Лотхал. Это были города-государства с развитой торговлей и ремеслами, которые установили торговые отношения с Центральной Азией, Месопотамией и Аравией. До сих пор не удалось расшифровать письменность этих культур, но археологические находки в регионе дают некоторую информацию об уровне математических знаний.

Древние индийцы использовали десятеричную систему счисления. Возможно, они умели пользоваться счетами для числовых операций — так, в Мохенджо-Даро были найдены остатки счетов. Из геометрических фигур они знали квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, конус, цилиндр и куб. Нам известно, что они использовали переплетенные круги в качестве геометрического орнамента.

Узоры на вазах и рельефы показывают, что у них были представления о проекциях и подобиях, что они могли делить отрезки пополам и на равные части, разделять круги на две или четыре части и строить отрезки и сегменты окружности, концентрические круги и параллельные прямые. Однако мы не знаем, как они вычисляли площади и объемы элементарных геометрических фигур. С древнейших времен математика была в Индии в большом почете: культ чисел и буддизм находятся в тесной связи. Согласно традиции, Будда научился читать, писать и считать в возрасте примерно восьми лет. Позже, чтобы просить руки своей невесты Ясодхары, ему пришлось выдержать экзамен по математике и сосчитать, сколько атомов в просяном зерне. Для того чтобы найти решение, он изобрел способ расширения числовой последовательности: найденное гигантское число, если его записывать современным способом, равно 384 · 7¹³.

Распространение математических знаний в Индии восходит ко времени появления религиозно-философских книг «Веды» во втором тысячелетии до нашей эры. К этим первым источникам относятся и так называемые «правила веревки», «Сулъвасутра», датированная периодом между VIII и II веками до н. э., которая содержит геометрические инструкции по постройке алтарей и использованию для этого веревок и бамбуковых шестов. Эти тексты демонстрируют определенные геометрические знания, среди которых определение площадей многоугольников, имеющее прямое отношение к теореме Пифагора, приблизительные расчеты диагоналей (например, √2) и тому подобное. В области пространственной геометрии древние индийцы умели вычислять приблизительный объем пирамиды и усеченной пирамиды, а также площадь поверхности конуса. Кроме того, в качестве числа π они использовали различные приближения, такие как 27/8 и 243/80.

В первых цивилизациях, в которых получила развитие математика, мы прежде всего находим арифметические действия с целыми числами и дробями, позиционную систему числовой записи, начала алгебры и некоторые полученные опытным путем геометрические формулы. Однако там практически не существовало абстракций и общих методологических принципов или идей о необходимости доказательства для подтверждения правильности операций. Эти народы, таким образом, не знали принципов теоретической науки и не считали математику самостоятельной дисциплиной, достойной изучения именно в качестве таковой. Для них она была только инструментом получения простых правил, который использовался в повседневной жизни лишь для решения конкретных задач.

Переломным периодом для основания математики в ее современном виде стала эпоха Древней Греции. Греческая цивилизация восходит ко второму тысячелетию до н.э. и развивается на территории нынешней Греции и Южной Италии, на севере Африки и в Малой Азии (где, возможно, лежат ее истоки). С самых ранних времен этот народ великих мореплавателей и искателей приключений завязал отношения с египтянами и вавилонянами и, хотя и заимствовал у своих соседей некоторые элементы культуры, сформировал самую оригинальную и могущественную цивилизацию своей эпохи, в долгосрочной перспективе оказавшую огромное влияние на всю западную культуру. Эпоха Древней Греции стала одним из самых блестящих периодов в истории науки.

Греки (ошибочно) считали египтян изобретателями науки, особенно в области землемерия, астрономии и арифметики. Многие греки ехали в Египет и Вавилон, чтобы изучать эти дисциплины. Такое влияние особенно сильно ощущалось в богатых торговых городах, таких как Милет в Ионии — греческой территории на побережье Малой Азии. В порты Милета прибывали корабли из европейской Греции, из Финикии и Египта, а караванные пути связывали город с Вавилоном. Именно здесь родились философия, математика и вообще большая часть греческой науки.

В дальнейшем классическая греческая математика развивалась в различных городах всего греческого мира, где группы мыслителей собирались вокруг одного мудреца. Получили широкое распространение центры обучения, каждый из которых основывался на опыте своих предшественников. В сущности, это тот же процесс, которому следует наука и в наши дни: когда ведущий ученый приходит в университет или научный центр, вокруг него обычно собирается группа других специалистов и молодых студентов. Ионийская школа была основана Фалесом Милетским, а двумя его учениками были Анаксимандр и Анаксимен. Как уже упоминалось в первой главе, легенда гласит, что Пифагор учился математике у Фалеса.

Кроме философской деятельности, Фалесу приписывают множество научных свершений, таких как открытие силы притяжения магнита и статического электричества, но особый интерес вызывают его предполагаемые математические результаты. Согласно легенде, во время торгового путешествия в Египет он вычислил высоту пирамид по их теням, которые сравнивал с тенью своего посоха. С помощью принципа подобных треугольников, то есть таких, которые имеют одинаковые углы и пропорциональные стороны, он рассчитал также расстояние от берега до лодки. Но кроме всего прочего, Фалесу приписывают дедуктивные доказательства нескольких знаменитых теорем, которые, согласно традиции, использовались уже давно, но сформулированы и доказаны были только тогда.

Доходило и до утверждений, что именно он сформулировал и доказал саму теорему Пифагора. Как бы то ни было, Фалес дал свое имя двум важнейшим теоремам:

— первая теорема Фалеса: если провести в треугольнике прямую, параллельную любой из его сторон, получившийся треугольник будет подобен заданному (см. рисунок 1);

— вторая теорема Фалеса: если взять точку В, лежащую на окружности с диаметром АС и не совпадающую с А и С_у треугольник АВС будет прямоугольным (см. рисунок 2).

Однако Фалесу приписывают достижение куда более значительное, чем перечисленные теоремы: считается, что именно он превратил математику в абстрактную науку. В точности подтвердить это мнение невозможно, так как наука в ее современном виде возникла только в XVI веке, в ходе научной революции, однако нет сомнений, что трем великим милетцам — Фалесу, Анаксимандру и Анаксимену — математика обязана первыми своими шагами.

Молчание документальных источников свидетельствует об интеллектуальном бесплодии Ионии со времени смерти философа Анаксимена ок. 524 года до н.э. и до взятия Милета персами в 494 году до н.э. Милетская школа, однако, не исчезла. Великие милетские идеи и открытия оказали огромное влияние на последующих мыслителей, даже если они шли иными путями. Самая близкая в хронологическом смысле к милетской школе фигура — это Пифагор, и действительно, история науки считает, что именно пифагорейцы переняли наследие милетцев. Как было сказано ранее, мы не знаем, что именно мы можем отнести к достижениям Пифагора, а что — к результатам его учеников, так что когда речь заходит о математической деятельности пифагорейцев, на самом деле имеется в виду вклад всей группы вплоть до 400 года до н.э. Из числа пифагорейцев более всего выделяются Филолай (ок. 470-385 до н. э.) и Архит (ок. 435-347 до н. э.).

Математические и геометрические концепции всех доэллинистических цивилизаций были связаны с материей. К примеру, для египтян прямая представлялась натянутой веревкой или бороздой в земле. Первый большой вклад греков в математику — признание того, что математические объекты, числа или геометрические фигуры — это абстракции, идеи, производимые разумом, не связанные с физическими объектами. Тем не менее можно утверждать, что они не всегда придерживались этого взгляда.

Глава V книги I «Метафизики» Аристотеля посвящена в значительной части пифагорейцам и описывает их учение о числах. В сущности, именно на текст Стагирита опираются специалисты при составлении мнения о пифагорейской философии. Указанная глава содержит ясное и точное ее описание, ставшее классическим:

«...так как, далее, они видели, что свойства и соотношения, присущие музыкальной гармонии, выразимы в числах; так как, следовательно, им казалось, что все остальное по своей природе явно уподобляемо числам и что числа — первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число. И все, что они могли в числах и гармониях показать согласующимся с состояниями и частями неба и со всем мироустроением, они сводили вместе и приводили в согласие друг с другом...»[¹ Перевод А. В. Кубицкого.]

То есть когда первые пифагорейцы говорили, что все предметы состоят из чисел или что числа — сущность Вселенной, они буквально это и имели в виду. Несмотря на все различия, можно сказать, что пифагорейцы воспринимали числа так, как современная наука воспринимает атомы. Что конкретно они подразумевали, когда говорили «число»? Сами пифагорейцы использовали три определения: число — это «ограниченная множественность», это «комбинация или скопление единиц», это «перетекающее количество». Это «скопление единиц» представлялось с помощью камешков, с помощью которых обозначались формы. Некоторые авторы указывают, что пифагорейцы VI и V веков не делали различия между числами и геометрическими точками, которые они считали маленькими шарами. В действительности представление числа как линии, состоящей из точек, последовательности значков или камней, расположенных так, чтобы образовывать правильные формы, — это особенность куда более древняя и примитивная, пришедшая из глубины веков, придающая арифметике геометрическую форму, и с ней Греция была хорошо знакома. Не напрасно общее для многих европейских языков слово «калькуляция» происходит от латинского calculus — камешек, с помощью которого производятся вычисления, и мы и сегодня говорим о «квадратах» и «кубах» чисел, а эти термины берут начало в пифагорейском геометрическом представлении числа.

Одна точка была началом всех вещей, у нее не было измерений; две точки задавали прямую и составляли первое измерение; три точки, соединенные линиями, представляли собой треугольник и задавали плоскость с двумя измерениями, а четыре точки, не лежащие на одной плоскости, формировали тетраэдр — трехмерную фигуру (см. рисунок 3).

Этот принцип применялся и для создания геометрических фигур. Оставалось только составить арифметическую прогрессию, с помощью которой ряд «точка — прямая — треугольник — тетраэдр» превращался в ряд «точка — прямая — квадрат — куб» (см. рисунок 4). В своей геометрической концепции числа пифагорейцы различали точки, комбинации которых составляли следующие единицы все более возраставшей сложности: точки образовывали линии, линии — плоскости и поверхности, а поверхности — объемные фигуры. И тем не менее следующий шаг выглядит дерзким и представляется странным для современного восприятия. Для пифагорейцев сам космос был естественной последовательностью чисел. Так как числа были тем средством, с помощью которого проявлялась реальность, то знание их свойств и отношений было равно знанию механизма Вселенной — механизма, магическим образом гармоничного, как показывали невероятные свойства чисел, открытые математикой. В рамках этого «числового мистицизма» математик был одновременно теологом, которому предстояло открыть божественный порядок. В этом метафизическом представлений отражается сочетание Пифагора-теолога с его магическим образом мыслей и Пифагора-ученого с его логическим мышлением, которое делает этого мудреца магом чисел.

Изучение пифагорейцами чисел началось как духовное искание, в чем-то схожее с еврейской каббалой, где каждое число имеет символический смысл, который придает ему магические свойства и даже жизненную силу. Десять пифагорейских чисел, не включающие ноль, составляли декаду.

Единица была прародительницей всех чисел, ведь из единиц можно составить любое число (последовательным сложением). Пифагорейцы называли ее монадой и считали бесконечным источником, из которого рождается все сущее. Речь не шла о собственно универсальном числе. Единица символизировала причину, определенную стабильность вещей. Логически она ассоциировалась с нечетным и, что менее понятно, с правой стороной. Использовалась она и как символ арифметического постоянства:

(1· 1 = 1, 1/1 = 1, 11 = 1).

Двойка означала дуализм, различие, неопределенность. Пифагор называл ее диадой. Она символизировала материю, несовершенство и контраст. Из нее проистекало вечное изменение и творение, поэтому она считалась женским началом. В математическом смысле она ассоциировалась с четным и с делением. Называли ее и «первым возрастанием», потому что она формировалась как 1 + 1. Ею вводилось первое измерение — длина, но без ширины и высоты, измерение несовершенное, потому что из двух точек или двух линий невозможно построить никакую фигуру. Двойку связывали с левой стороной.

Тройка, триада, возникала при взаимодействии монады и диады: (1 + 2) = 3. Поэтому она считалась символом совершенства, гармонии между единством и различием, и по этой причине воплощала мужское начало. С ней связывали идею времени, считая ее синтезом начала-середины-конца или прошедшего-настоящего-будущего. Из этого сакрального аспекта проистекает ритуальное обыкновение повторять некоторые жесты и действия по три раза. Тройка открывала второе измерение.

Четверка была одним из ключей к природе человека. Она обозначала неумолимый вселенский закон, так как (4 ⁼ 2 + 2). Она была одновременно причиной и следствием тех групп из четырех элементов, которые можно было найти в природе, таких как стихии (земля, вода, огонь и воздух), стороны света или времена года; но ей было подчинено и пифагорейское деление математических дисциплин (арифметика, музыка, геометрия и астрономия), откуда берет начало средневековый квадривиум. Четверка была квадратом первого четного числа и считалась обладающей совершенством и гармонией, так как (2 + 2 = 2²). Именно она открывала третье измерение.

Пятерка — это союз диады и триады, женского и мужского начал и, таким образом, символ брака (2 + 3 = 5) и божественного треугольника (З² + 4² = 5²). Пять было и правильных тел, грани которых представляют одинаковые многоугольники: тетраэдр (4 треугольника), гексаэдр, или куб (6 квадратов), октаэдр (8 треугольников), додекаэдр (12 пятиугольников) и икосаэдр (20 треугольников). Кроме того, пятерка представляла собой геометрический центр девяти чисел декады 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так что на равных расстояниях от нее находились: 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4 и 6. Огромная важность этого числа сделала его пифагорейским гербом.

Еще более священным, чем пятерка, было число 6, символ зарождения и семьи, так как шестерка предполагала союз мужского и женского начал через произведение (6 - 2 · 3). Это число было полно мистики, потому что из него складывались временные интервалы между реинкарнациями. Кроме того, оно представляло площадь божественного треугольника 3-4-5. Но важнее всего было то, что шестерка была первым совершенным числом — об этом типе чисел мы поговорим ниже.

Семерка была « девой без матери», потому что она не могла быть порождена никаким из чисел декады и, в свою очередь, не могла породить никакое из них. Семь ассоциировалось со здоровьем и светом, существовало семь музыкальных нот и семь звезд, давших название дням недели. В геометрическом смысле это число было уникальным, поскольку круг невозможно было разделить на семь равных частей никаким известным построением.

Число 8 символизировало дружбу, полноту и размышление. Значение восьмерки выражалось в ее влиянии на весь космос посредством восьми сфер, которые можно было увидеть с Земли: сферы Луны, Меркурия, Венеры, Солнца, Марса, Юпитера, Сатурна и неподвижных звезд. Это было первое кубическое число (2³), а его полнота происходила из суммы двух равных квадратов (8 = 4 + 4).

Девятка была символом любви и беременности, так как обычно беременность у женщины длится девять месяцев. Связывали ее и с идеей справедливости, потому что ее множители равны (9 = 3 · 3). Это первый квадрат нечетного числа (3²).

И наконец, число 10 было символом Бога и Вселенной. Так как первые четыре числа выражали для пифагорейцев тайну музыкального ряда, их сумма (10 =1 + 2 + 3 +4) считалась совершенством, синтезом самой природы числа во всей ее полноте. Математический смысл числа 10 безграничен: оно содержит в себе одинаковое количество чисел четных и нечетных и одинаковое количество составных чисел (4, 6, 8, 9, 10).

Как начало и основа всех вещей, десятка была наивысшим выражением мистической нумерологии пифагорейцев. Ее представляли в виде 10 точек или камешков, сложенных в форме равностороннего треугольника (см. рисунок 5). Эта анаграмма, визуальное и геометрическое представление, получила название «тетрактис декады». Слово тетрактис означает «четверня», что указывает на его строение с основанием 4, и это позволяет понимать тетрактис как «базовая четверка». Тетрактис имел мистический смысл, наподобие пенталъфы, и использовался при произнесении пифагорейской клятвы.

Пифагррейская манера представлять числа с помощью точек или камешков породила их классификацию в соответствии с формой, в которые укладывались эти камешки. Таким образом, «многоугольные числа» ассоциировались с формой правильных многоугольников, что придало им новые свойства.

Этот вид геометрической алгебры стал предшественником сегодняшней символической алгебры. Так, числа 1, 3, 6, 10, 15... определялись как треугольные, потому что соответственное количество точек можно было уложить в равносторонние треугольники (см. рисунок 5).

Четвертым треугольным числом было сакральное 10, и даже его форма выражала удивительное свойство его «четверности», ведь, как можно заметить на рисунке 5, у него по четыре точки на каждой из сторон. Пифагорейцы показывали, что суммы 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 давали в результате треугольные числа. В целом

1 + 2 + ...+ n = n · ((n + 1)/2).

Числа 1, 4, 9, 16, 25... считались квадратными, так как их точки укладывались в квадраты (см. рисунок 6). Они составлялись из серий нечетных чисел:

1.4 (1 + 3), 9 (1 + 3 + 5), 16 (1 + 3 + 5 + 7), 25 (1 + 3 + 5 + 7 + 9)... Составные (то есть не простые) числа, не составлявшие правильных квадратов, назывались продолговатыми.

Кроме того, существовали числа пятиугольные, 1, 5, 12, 22, 35..., которые складывались в пятиугольники (см. рисунок 7). Они формировались из серии 1, 4, 7, 10, 13... таким образом:

1.5 (1 + 4), 12 (1 + 4 + 7), 22 (1 + 4 + 7 + 10), 35 (1 + 4 + 7 + 10 + 13)... Пятиугольное число n:

(3n² - n)/2.

Понятно, что шестиугольные числа складывались в шестиугольники: 1, 6, 15, 28, 45... (см. рисунок 8). Они формировались из серии 1, 5, 9, 13, 17... следующим путем: 1, 6 (1 +5), 15 (1 + 5 + 9), 28 (1 + 5 + 9 + 13), 45 (1 + 5 + 9 + 13 + 17)... В целом это 2n² - n.

При таком геометрическом представлении становились заметны некоторые свойства целых чисел. К примеру, если провести прямую внутри квадратного числа, как показано на рисунке 9, становится понятно, что сумма двух последовательных треугольных чисел составляет квадратное число. Можно доказать правильность этого утверждения в целом, хотя и невероятно, чтобы сами пифагорейцы могли прийти к подобному доказательству, которое мы представим в современной нотации:

(n(n+1))/2+((n+1)(n+2)/2) = (n+1)²

Чтобы перейти от одного квадратного числа к следующему, пифагорейцы следовали схеме, представленной на рисунке 10. Они объединяли точки справа и снизу ломаной под прямым углом линией, которая называлась гномон, что значит «плотницкий угол». Гномон образовывали точки на границе квадрата, количество которых увеличивалось на два с каждым переходом к следующему квадратному числу. Если к любому квадратному числу прибавить его гномон плюс два, мы получим следующее квадратное число. Таким образом, пифагорейцы узнали, что n² + (2n + 1) = (n + 1)². Кроме того, если, начиная с 1, прибавлять гномон 3, затем гномон 5 и так далее, то получится, что 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = n².

Пифагорейский мир чисел был очень богат. Пифагор и его последователи различали разные типы чисел, которые они скрупулезно классифицировали и приписывали им нравственные и физические характеристики. К примеру, нечетные числа были мужскими, а четные — женскими. Некоторые числа были дружественными друг другу и сочетаемыми, иные же — зловредными и неспособными к отношениям с другими. Числа могли приносить человеку несчастья. Результатом этой классификации стала запутанная интеллектуальная конструкция, которую можно понять, только встав на позицию пифагорейской мистики. В Книге VII своих «Начал» Евклид попытался объяснить весь этот пифагорейский мир и представить его с максимально возможной ясностью. Категории и определения, приводимые ниже, основаны на данных этого великого геометра.

Первым большим семейством чисел были четные и нечетные, определение которых, данное пифагорейцами, бесспорно: четное число может быть поделено на две равные или неравные части (исключая диаду, которая делится единственным способом), и эти части будут, в свою очередь, представлять собой четные или нечетные числа. Нечетное число может быть разделено лишь на две неравные части — одна из них будет четным числом, вторая — нечетным. Эти типы чисел делятся, в свою очередь, на четыре класса:

— четно-четные: их половина представляет собой четное число;

— нечетно-четные: их половина нечетная;

— четно-нечетные: такие, которые, будучи разделены на нечетное число, дают четное число;

— нечетно-нечетные: имеют только нечетные делители.

Далее числа делились на несоставные и вторичные — так пифагорейцы называли простые и составные числа. В конечном счете речь идет о числах, служащих делителями или множителями других чисел. Для большей ясности ниже приводятся современные определения, потому что их оригинальное пифагорейское определение слишком запутано:

— простое (несоставное) число — это такое, которое делится только на единицу и на себя само;

— составное (вторичное) число — это то, которое не является простым;

— соотношения между простыми числами таковы, что у них есть только один общий делитель — единица;

— соотношения между составными числами подразумевают, что у них есть общие делители, отличные от единицы.

Дальше следовали линейные, плоские, объемные, квадратные и кубические числа. Линейные не имеют делителей; плоские — это произведение двух чисел, которые составляют их стороны; объемные — произведение трех чисел, являющихся их сторонами; квадратные представляют собой произведение одного числа на само себя; кубические — двойное произведение числа на самого себя. К этим типам можно прибавить числа продолговатые, которые отличаются от плоских на единицу. Совершенными числами называли те, которые являются суммой своих делителей, включая 1, но исключая из делителей само число: например, 6 имеет делители 1, 2 и 3. Греки знали только четыре совершенных числа. Кроме 6 это еще 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14), 496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248) и 8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064). В наши дни мы знаем 43 таких числа, все они четные. Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа, а также конечно ли их количество.

Кроме совершенных, различали еще избыточные и недостаточные числа: те, которые превосходят сумму своих делителей, являются избыточными, а те, которые меньше такой суммы — недостаточными.

Два числа называются дружественными, когда каждое из них равно сумме делителей другого. Из таких чисел пифагорейцы знали только 220 и 284.

— 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (сумма делителей 284).

-284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 +11 + 20 + 22 + 44 + 55+110 (сумма делителей 220).

Кроме числовых отношений, использующих эту классификацию, пифагорейцы изучали и различные соотношения и пропорции, в которых, по их мнению, и состояла красота — например, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое... Если есть два числа р и q, то их среднее арифметическое А — это

(p + q)/2

среднее геометрическое G — √(pq), а среднее гармоническое Я, которое обратно среднему арифметическому 1 /р и 1 /q, это

2pq/(p+q)

Следовательно, можно доказать, что G — это среднее геометрическое от А и Н; то есть что среднее геометрическое двух чисел является средним геометрическим их среднего арифметического и среднего гармонического. Сводящая все три величины пропорция

A/G = G/Н

получила название совершенной пропорции из-за ее простоты, а пропорция

p/(p+q)/2 = 2pq/(p+q)/q

названа музыкальной пропорцией из-за красоты формулировки.