Дифференциальное и интегральное исчисления: Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц

География научных работ, в которых упоминаются имена Лейбница и Ньютона, достаточно широка. Ими были разработаны методы, с помощью которых любой человек, изучив небольшое число правил действия с символами, обозначающими операции дифференцирования и интегрирования, становится обладателем мощного математического аппарата. Этот аппарат широко используется в физике. Открыли математический анализ оба, и это привело к возникновению грандиозного спора о приоритете. О Ньютоне мы еще расскажем, а сейчас несколько слов о втором герое нашего рассказа.

Среди великих ученых прошлого Готфрид Вильгельм Лейбниц занимает одно из первых мест. Во множестве наук он оставил заметный след: он занимался логикой, юриспруденцией, историей и теологией, выдвинул ценные идеи в геологии, языкознании и психологии. Лейбниц – один из крупнейших философов Нового времени, стоящий в одном ряду с Декартом, Спинозой, Кантом, Гегелем. Начиная с ранних лет жизни в течение примерно полувека он был в центре всех интересов своего времени.

Колоссальные знания в области математики Лейбниц приобрел, как ни странно, методом самообразования. И закончил университет за три года. Обиженный отказом ученого совета университета присвоить ему степень доктора права (ему объяснили, что это связано с его юным возрастом), Лейбниц покинул Лейпциг. Так для молодого ученого началась жизнь, полная напряженного труда и далеких путешествий, во время которых молодой ученый несколько раз встречался с русским царем Петром I. От Петра Лейбниц получил титул тайного советника и пенсию в 2000 гульденов.

Всю свою сознательную жизнь он стремился выразить законы мышления в виде стройного математического аппарата. Для этого необходимо, считал Лейбниц, уметь обозначать любые понятия или идеи символами, комбинируя их в особые формулы, и сводить правила мышления к правилам в вычислениях, сделанных по этим символическим формулам. В 1684 году Лейбниц публикует первую работу по дифференциальному исчислению «Новый метод максимумов и минимумов», причем имя Ньютона в первой части даже не упоминается, а во второй заслуги Ньютона описаны не вполне отчетливо. Тогда Ньютон не обратил на это внимания. Его работы по анализу начали издаваться только с 1704 года.

Лейбниц писал: «То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трех строках, другие ученейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями».

По мнению Бертрана Рассела, Лейбниц «был одним из выдающихся умов всех времен, но человеком он был неприятным». Многие биографы сходились во мнении, что он был скуп, хотя сам философ отрицал в себе корыстолюбие.

Во второй половине 1660-х годов молодой кембриджский математик Исаак Ньютон разработал общий метод, названный им методом флюксий, в области, известной нам ныне как математический анализ. Сам Ньютон не представлял всей важности своего исследования. В 1669 году сэр Исаак послал заказчику из Кембриджа довольно темный трактат, посвященный этому предмету; трактат закончен так и не был: Ньютона в это время больше интересовала возможность публикации в «Философских трудах Королевского общества» разработанной им теории оптики. В 1672 году в Париже появляется молодой германский дипломат Готфрид Лейбниц, получивший юридическое и философское образование. С математикой в то время Лейбниц был практически не знаком. Однако, будучи чрезвычайно честолюбивым человеком, он уже тогда обдумывал проект реформирования всей структуры науки (в том числе и математики) на базе универсальной логической символики. Уже на следующий год Лейбниц переезжает в Лондон в составе дипломатической миссии и быстро приобретает связи в научных кругах. За изобретение элементарной вычислительной машины Лейбница избирают членом Королевского общества.

Однако непомерные амбиции Лейбница и, в частности, присвоение им авторства алгебраической последовательности для квадратуры круга, уже опубликованной несколькими математиками, создают ему в ученых кругах скверную репутацию. Эта дурная слава помешала его назначению на пост в Коллеж де Франс в 1675 году. Тем не менее Лейбниц все же стал одним из участников корреспондентской сети Кембриджской ученой коллегии и начал обмениваться письмами с Ньютоном.

В 1676 году Ньютон пишет через Ольденбурга Лейбницу письмо, в котором передает много новых данных о разложении в ряды, сообщает и знаменитый бином (без доказательства); о методе бесконечно малых (то есть о дифференциальном исчислении), однако, в письме не говорится. Впрочем, в следующем письме к Ольденбургу от 24 октября 1676 года Ньютон говорит о новом методе и приводит результаты, достигнутые благодаря его применению. Понять из зашифрованного в письме описания сущность открытия было невозможно, детальное изложение метода скрыто еще более сложной шифровкой.

Лейбниц отвечает на загадки Ньютона письмом от 21 июня 1677 года, где достаточно ясно излагает основы дифференциального исчисления, отличающегося по существу от метода Ньютона (метода флюксий) только символикой. Ньютон на это письмо Лейбница не ответил. На этом переписка прервалась.

Одновременно, на основе циркулировавших в Европе английских математических идей, Лейбниц быстро разрабатывает собственную теорию, в которой использует более ясную нотацию, чем Ньютон. Закончив работу, Лейбниц описал ее Ньютону, но тот его аргументацию всерьез не принял. Возможно, Ньютон недооценил математические способности Лейбница, зная, что тот только начинает свою математическую карьеру.

Через некоторое время Лейбниц приступает к дипломатической службе при дворе германского герцога Брауншвейгского. В 1682 году в Лейпциге выходит первый в Германии специализированный ученый журнал Acta Eruditorum, основанный интеллектуалами из окружения Лейбница в противовес журналу Mе´moires, издаваемому Французской академией наук, и «Философским трудам» английского Королевского общества. Получив контроль над изданием, не зависящим ни от английских, ни от французских влияний, Лейбниц публикует алгебраические последовательности, о которых писал в Лондоне, без ссылок на каких-либо предшественников. Несколько позже, в 1684 и 1686 годах, выходит краткое описание его математического анализа – при этом Лейбниц высказал предположение, что открывается новая эпоха в истории математики.

Предложенное Лейбницем изложение было крайне сжатым, но давало представление о программном значении метода. Краткой публикации оказалось достаточно, чтобы он обратил на себя внимание швейцарских математиков Якоба и Иоганна Бернулли (Якоб Бернулли занимал в то время пост профессора в Базеле), и вскоре новый метод математического анализа получает распространение в математических кругах континентальной Европы. Парижский аристократ маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь (1661–1704) приглашает Иоганна Бернулли, чтобы тот обучил его методу Лейбница. К этой непростой истории мы еще вернемся во второй части нашей книги.

В 1696 году де Лопиталь публикует первый учебник по математическому анализу и становится лидером стремительно разраставшейся группы французских математиков.

На протяжении большей части этого времени Ньютон остается в тени. В эти годы Кембридж перестает быть интеллектуальным центром, и Ньютон оказывается изолированным от интеллектуальной жизни Лондона. Его репутация ученого начала возрождаться лишь после публикации «Начал» (1687 г.). Вскоре после этого Ньютон становится горячим защитником революции 1688 года. Он агитирует против католической реставрации и представляет Кембриджский университет в парламенте. В 1690 году, получив пост главы Монетного двора, Ньютон покидает Кембридж. В течение следующего десятилетия популярность Ньютона как первого интеллектуала Англии росла, и в 1703 году он стал пожизненным президентом Королевского общества.

В середине 1690-х годов националистически настроенные последователи Ньютона решили восстановить его первенство в создании математического анализа и начали кампанию против Лейбница. Под давлением этих людей Ньютон наконец публикует старую работу о методе флюксий в приложении к книге «Оптика»: в 1704 году и затем в 1711 году.

Лейбниц отвечает на нападки анонимной рецензией на ньютоновскую «Оптику», опубликовав ее в журнале Acta, который поддерживал его притязания на первенство. Вслед за тем в Acta анонимно было опубликовано письмо Иоганна Бернулли, в котором Ньютон обвинялся в плагиате. Лейбниц и Бернулли в своих публичных заявлениях проявляли сдержанность по отношению к Ньютону, но исподволь продолжали свои нападки. Возможно, в этом споре присутствовали и политические мотивы.

Представьте себе: Лейбниц и Ньютон – два ученых мужа первой величины – обвиняли друг друга в плагиате, искажали факты и анонимно публиковали якобы беспристрастные статьи в свою защиту! Их сторонники вели себя еще хуже.

Лейбниц не упускал ни одной возможности – ни организационной, ни политической, ни интеллектуальной – для утверждения своего приоритета. Однако нет никаких свидетельств того, что он занимался плагиатом, хотя, конечно, он старался как можно больше узнать о том, над чем работают ведущие интеллектуалы, и использовал плоды их работы в своих интересах. Ньютон же нисколько не заботился о том, чтобы сделать свой метод общедоступным. Избранная им символика служила лишь для его «внутреннего», личного потребления, и он ее строго не придерживался. При этом он считал, что открытие принадлежит ему навечно и достаточно того, что оно просто покоится в его голове. Ученый искренне полагал, что своевременная публикация не приносит никаких прав. Перед богом первооткрывателем всегда останется тот, кто открыл первым. Правда, Ньютон отчасти закрепил свои права письмом к Коллинзу в 1672 году, не указав самого метода, но приведя несколько примеров. Это письмо служило впоследствии опорным пунктом в споре Ньютона с Лейбницем.

Вернемся немного назад. В начале 1673 года Лейбниц в течение нескольких месяцев был в Лондоне и часто посещал секретаря Королевского общества Ольденбурга, который до известной степени был в курсе математических работ Ньютона. Из Лондона Лейбниц направился в Париж, где вместе с Гюйгенсом усиленно занялся математикой. В 1674 году Ольденбург сообщил Лейбницу о существовании нового общего метода Ньютона, сущность метода при этом, однако, не излагалась. В 1676 году Лейбниц снова был в Англии проездом и лично познакомился с Коллинзом. Впоследствии, в разгар спора, защитники прав Ньютона указывали, что Лейбниц мог узнать содержание работ Ньютона из рукописей, хранившихся у Коллинза в Королевском обществе.

Впрочем, шифровка Ньютона в письме к Лейбницу и, наоборот, открытое, ясное изложение метода Лейбницем в его ответе ставятся некоторыми историками в упрек Ньютону. Но этот упрек едва ли справедлив: обычай скрывать еще не вполне обработанные результаты научной работы в виде анаграмм или шифров был широко распространен. Надо отметить также, что Ньютон еще в первом издании «Начал» отозвался о работах Лейбница совершенно объективно. В знаменитом «Поучении» во второй книге «Начал» он по поводу метода флюксий пишет: «В письмах, которыми около десяти лет тому назад я обменивался с весьма искусным математиком Г. Лейбницем, я ему сообщал, что обладаю методом для определения максимумов и минимумов, проведения касательных и решения тому подобных вопросов, одинаково приложимых как для членов рациональных, так и для иррациональных, причем я метод скрыл, переставив буквы следующего предложения: “когда задано уравнение, содержащее любое число текущих количеств, найти флюксии и обратно”. Знаменитейший муж отвечал мне, что он также напал на такой метод, и сообщил мне свой метод, который оказался едва отличающимся от моего, и то только терминами и начертанием формул».

Естественно поставить вопрос, весьма существенный для понимания характера Ньютона: почему же он не опубликовал свой метод? Есть основания полагать, что математика в глазах Ньютона играла вспомогательную роль в физическом исследовании. К тому же Ньютон считал, что закрепил свои права в указанном письме к Лейбницу, так что само опубликование нового метода потеряло свою остроту – метод стал уже известным, все сводилось только к тому, чтобы гарантировать себе приоритет, в котором Ньютон не сомневался. Вообще, в это время Ньютон был необычайно спокоен по поводу своих прав на первенство.

Триумфальное шествие нового метода дифференциального исчисления под именем Лейбница начинает, однако, беспокоить национальную гордость английских патриотов. В 1695 году известный математик Уоллис пишет Ньютону: «Вы не заботитесь как следует о вашей чести и чести нации, удерживая столь долго ваши ценные открытия». Однако даже такие слова не подействовали на Ньютона: он по-прежнему молчал. Непосредственным зачинщиком распри Ньютона с Лейбницем стал переселившийся в Лондон женевский математик Фатио Дюилье. Обиженный на Лейбница по разным причинам, Фатио напечатал в 1699 году небольшую книгу, в которой между прочим не только подчеркнул, что Ньютон первый открыл новый метод, но сделал легкий намек на возможность плагиата со стороны Лейбница. Лейбниц отнесся к этому обвинению спокойно и указал, что не имеет никакого намерения вступать с Ньютоном в прения о первенстве: он исполнен к нему глубокого уважения и уверен, что и Ньютон не одобряет писаний Фатио.

Распря разгорелась снова в связи с появлением в 1704 году «Оптики» Ньютона, в которой автор дал наконец долгожданное печатное изложение своего метода. В безымянной, но написанной, очевидно, Лейбницем рецензии на «Оптику» в Acta Eruditorum при всех похвалах, расточаемых по адресу Ньютона, рецензент истолковывает выводы Ньютона в терминах дифференциального исчисления. Сам Ньютон, как он утверждал позднее, понял эту рецензию как прямое обвинение в плагиате. Спор возобновился с новой силой: один из самых ревностных учеников Ньютона Джон Кейль в работе «О законе центральных сил» в 1708 году поместил такой абзац: «Все это следует из столь знаменитого теперь метода флюксий, первым изобретателем которого был, без сомнения, сэр Исаак Ньютон, как в этом легко убедится каждый, кто прочтет его письма, опубликованные Уоллисом. То же исчисление опубликовано позднее Лейбницем в Acta Eruditorum, причем он только изменил название, вид и способ обозначений».

Замечательно, что почти все статьи в защиту Ньютона были написаны им самим и лишь опубликованы под именами его друзей. Обвинения Лейбница в плагиате стали звучать еще определеннее. И тут Лейбниц, как член Королевского общества, совершил ошибку, обратившись с жалобой на Кейля. Ньютон, будучи президентом общества, назначил для разбора дела «незаинтересованную» комиссию, «случайно» составленную из друзей Ньютона. Но и этого было мало: он сам пишет отчет комиссии и заставляет общество его опубликовать, официально обвиняя Лейбница в плагиате. Вдобавок к тому, чувствуя себя все еще неудовлетворенным, Ньютон анонимно публикует сжатый пересказ этого отчета в газете Королевского общества.

В середине 1713 года вышла книга, являющаяся результатом работы комиссии. В книге изложена уже известная нам переписка и приведено мотивированное решение комиссии, заканчивающееся следующей фразой: «По этим основаниям мы считаем Ньютона первым изобретателем и думаем, что Кейль, утверждая это, не сделал ничего несправедливого по отношению к Лейбницу». Лейбниц отвечал безымянным листком, где Ньютону бросался ряд упреков: напоминалась полемика Ньютона с Гуком, присваивание Ньютоном астрономических наблюдений Флемстида и пр. В спор вовлекались все новые ученики Ньютона – Кейль, Котс, Тэйлор и другие.

До 1714 года сам Ньютон старался оставаться в тени, но позднее ему пришлось вести полемику и от своего имени. Спор не закончился и даже после смерти Лейбница в 1716 году. Говорят, что Ньютон по поводу кончины своего противника заявил, что он получил большое удовлетворение от того, что ему удалось «разбить сердце Лейбница».

И все-таки где же правда?

Длительное изучение вопроса привело историков математики к выводу, что основы анализа бесконечно малых были открыты Ньютоном и Лейбницем независимо, причем несомненно, что открытие Ньютона сделано несколькими годами ранее. Но теория приобрела силу только после того, как Лейбницем было доказано, что дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные операции. Об этом свойстве хорошо знал и Ньютон, но только Лейбниц увидел здесь ту замечательную возможность, которую открывает применение математического анализа. А в науке их имена стоят рядом – например, в названии формулы Ньютона – Лейбница.