Метод решения кубических уравнений: Сципион дель Ферро, Джероламо Кардано, Никколо Тарталья

Важнейшими математическими достижениями XVI века были алгебраическое решение уравнений 3-й и 4-й степени и создание алгебраической символики. Новый этап развития алгебры зародился в Италии. В начале XVI века профессор математики Болонского университета Сципион дель Ферро (1465–1526) впервые нашел алгебраическое решение простейшего уравнения третьей степени с положительными коэффициентами. Это решение профессор держал в строгом секрете: о нем знали только два его ученика, в том числе некто Фиоре.

Знание некоего научного открытия в то время имело особое значение для жизни и карьеры его автора. В Италии того времени практиковались математические поединки-диспуты: на многолюдных собраниях противники предлагали друг другу задачи для решения их немедленно или в определенный срок. Побеждал тот, кто решал большее количество задач. Победитель награждался при этом не только назначенным денежным призом, но и возможностью занять университетскую кафедру или другую должность. А человек, потерпевший на диспуте поражение, часто терял занимаемое им место. В математических диспутах XVI века первое место занимала алгебра, названная «великим искусством», в отличие от арифметики, которую называли «малым искусством». Диспуты проходили в Болонском университете. Здесь в разное время работали ученые с мировым именем: Лука Пачоли, Николай Коперник, Галилео Галилей и другие.

Для участников алгебраических диспутов было исключительно важно обладать неизвестной еще для других формулой решения того или иного типа уравнений. Вот почему после внезапной смерти дель Ферро его ученик Фиоре, который не славился талантом математика, решил воспользоваться сообщенным ему секретом и вызвать на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени – Никколо Тарталью (1499–1557).

Настоящая фамилия ученого была Фонтана. В детстве он получил тяжелую травму и стал заикаться. Прозвище Тарталья и означает «заика». Несмотря на тяжелые материальные условия, одаренный мальчик упорно овладевал математикой. Когда не было денег на покупку бумаги, он писал свои математические вычисления на заборах и камнях. Ко времени вызова на поединок со стороны Фиоре (1535 г.) Тарталья уже занимал кафедру математики в Вероне и имел славу первоклассного ученого.

Одной из самых актуальных проблем того времени было алгебраическое решение кубических уравнений «в радикалах», то есть успешные поиски общей формулы, выражающей корни любого уравнения третьей степени в зависимости от коэффициентов при помощи конечного числа алгебраических операций – сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней. Для уравнений второй степени такая формула была известна давно, а вот для уравнений третьей степени до описываемого времени ученые мира такой формулы найти не могли.

Получив вызов на диспут, Тарталья понял, что Фиоре обладает формулой для решения кубического уравнения, и при подготовке к диспуту все свое внимание сосредоточил на поисках своей формулы. Он работал днем и ночью, и эти труды не пропали даром. «Я приложил все свое рвение, усердие и математическое умение, чтобы найти этот алгоритм, и благодаря благосклонной судьбе мне удалось это сделать за 8 дней до срока», – позже писал он.

Диспут состоялся 20 февраля 1535 года. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником. Фиоре, который не смог решить ни одной из 30 предложенных ему задач, выбранных Тартальей из различных областей математики, признал себя побежденным. После диспута Тарталья прославился на всю Италию, но продолжал держать в секрете найденную им формулу – он собирался опубликовать ее в своем труде по алгебре.

В 1539 году к Тарталье обратился другой видный итальянский ученый, Джероламо Кардано (1501–1576). Он просил сообщить ему формулу для решения уравнения третьей степени, при этом клятвенно пообещав, что никому не раскроет тайну. Тарталья согласился открыть секрет, однако изложил его в стихотворной форме и лишь частично, таким образом замаскировав полное решение кубического уравнения.

Но три года спустя Кардано знакомится в Болонье с рукописями покойного профессора дель Ферро и получает полную ясность, а в 1545 году публикует знаменитый труд «О великом искусстве, или Об алгебраических вещах в одной книге», в котором впервые приводит решение уравнения и дает формулы корней. В этой книге содержится также алгебраическое решение уравнения четвертой степени – важнейшее открытие, сделанное одним из его учеников, Луиджи Феррари (1522–1565).

После выхода в свет книги Тарталья обвинил Кардано в нарушении данной им клятвы. «У меня, – писал Тарталья, – вероломно похитили лучшее украшение моего труда по алгебре».

Эти формулы по сей день носят имя Кардано, хотя следовало бы их называть формулами Ферро – Тарталья – Кардано.

О Кардано мы еще поговорим чуть позже, а сейчас следует упомянуть об уравнениях бо`льших степеней.

Кубическое уравнение не поддавалось решению математиков полторы тысячи лет, но стоило его решить, как буквально тут же было решено в общем виде и уравнение четвертой степени. Сделал это ученик Кардано – Луиджи Феррари. Оказалось, что для решения этого уравнения требуется «по пути» решить вспомогательное уравнение третьей степени.

А вот уравнение пятой степени ждало своего решения целых три столетия. Лишь в 1826 году норвежский математик Нильс Абель доказал, что не существует общей формулы для решения уравнений пятой степени, как и для уравнений более высоких степеней. Это открытие Абель сделал, когда ему было лишь 24 года, а прожил он всего 27 лет.

Эварист Галуа, проживший всего 20 лет, продолжил исследования Абеля и определил, как по виду алгебраического уравнения узнать, решаемо ли оно. Метод, предложенный Галуа, положил начало фундаментальному разделу математики – теории групп. Погиб Галуа на дуэли, а в ночь перед смертью изложил на бумаге свои мысли о математике. Разобраться в этих записках и понять идеи Галуа ученые смогли только спустя десятилетия.

Решение уравнения третьей степени сыграло свою роль позже, когда привело математиков к необходимости заняться комплексными числами.