Люди математики

Итак, что мы узнали, познакомившись с нашими значимыми фигурами, чьи новаторские идеи открыли для науки новые математические просторы?

Самый очевидный вывод, который можно сделать, – они многообразны. Первопроходцы математики обнаруживаются во всех периодах истории, во всех культурах и слоях общества. Истории, которые я отобрал для вас, перекрывают промежуток протяженностью в 2500 лет. Их герои жили в Греции, Египте, Китае, Персии, Индии, Италии, Франции, Швейцарии, Германии, России, Англии, Ирландии и Америке. Некоторые из них родились в богатых семьях – это Ферма, Кинг, Ковалевская. Многие принадлежали к среднему классу. Некоторые родились в бедности – Гаусс, Рамануджан. Одни происходили из семей ученых – Кардано, Мандельброт. Другие – нет: это опять же Гаусс и Рамануджан, Ньютон, Буль. Кто-то жил в бурные времена – Эйлер, Фурье, Галуа, Ковалевская, Гёдель, Тьюринг. А кому-то повезло жить в более стабильном обществе или, по крайней мере, в более стабильной его части – Мадхава, Ферма, Ньютон, Тёрстон. Одни из них были политически активны – Фурье, Галуа, Ковалевская. Первые двое в результате оказались в тюрьме. Другие держались в стороне от политики – Эйлер, Гаусс.

Среди моих героев можно, конечно, найти частные закономерности. Кто-то из них вырос в интеллектуальных семьях. Другие были музыкальны. Третьи умели работать руками, а кто-то не мог починить и велосипед. Некоторые быстро развивались и уже в раннем возрасте демонстрировали недюжинный талант. Случайные и пустячные на первый взгляд совпадения – выбор обоев для детской, подслушанный разговор, одолженная книга – пробуждали в них негаснущий интерес к математике. Многие поначалу пытались избрать для себя иной жизненный путь – преимущественно юриста или священнослужителя. Одних родители поощряли и гордились ими, другим позволяли следовать своему призванию, пусть и неохотно, а кому-то и вовсе запрещали изучать математику.

Некоторые из них были людьми эксцентричными. Один был мошенником. Несколько человек страдали душевными заболеваниями. Большинство были нормальны – в той мере, в какой любого из нас можно считать нормальным человеком. Большинство вступали в брак и заводили детей, но некоторые – Ньютон, Нётер – обходились без этого.

Большинство из них были мужчинами – виной тому социальные предубеждения. До недавнего времени считалось, что женщины, по своей биологии и темпераменту, не годятся для математики да и вообще для науки. Говорили, что их образование следует ограничивать домашними навыками: пяльцы, а не производные. Общество подкрепляло эту точку зрения, и нередко женщины громче мужчин высказывались о том, что им заниматься математикой не подобает. Даже если женщины хотели изучать этот предмет, им запрещали посещать лекции, сдавать экзамены, получать диплом и вступать в ряды академического сообщества. Наши женщины-первопроходцы вынуждены были прокладывать два пути: один – в джунглях математики, другой – в не менее густых и опасных джунглях общества, в котором доминируют мужчины. Второй путь еще больше затруднял первый. Математика достаточно сложна, даже если у вас есть образование, книги и время для размышлений. Ею почти невозможно заниматься, если за получение любого из этих благ вы вынуждены сражаться. Несмотря на эти препятствия, нескольким великим женщинам-математикам все же удалось сломать барьеры и продолжить путь для тех, кто придет следом. Даже сегодня в математике и физике женщин заметно меньше, чем мужчин, но теперь в обществе считается недопустимым объяснять это разницей в интеллектуальных способностях или ментальности, как неожиданно выяснили, к своему ужасу, несколько видных мужчин. К тому же для такой точки зрения нет никаких доказательств.

Соблазнительно считать, что необычный математический талант имеет неврологическое объяснение. В дни расцвета френологии Франц Галь предположил, что важные способности человека связаны с конкретными областями мозга и их можно оценить, измерив форму черепа. Если вы талантливы в математике, на вашей голове найдется математическая шишка. Сегодня френологию считают псевдонаукой, хотя некоторые конкретные области мозга действительно играют в определенных случаях особую роль. Сегодняшнее увлечение генетикой и ДНК, естественно, рождает вопрос о существовании «математического гена». Трудно поверить, что это может быть правдой, ведь математике всего несколько тысяч лет, так что у эволюции не было времени провести отбор на математические способности – такой отбор вероятен не более, чем отбор на способности к пилотированию реактивного истребителя. Скорее всего, математический талант опирается на другие способности, более полезные для выживания, – острое зрение, цепкую память, умение раскачиваться на ветках и перепрыгивать с дерева на дерево. Иногда он передается по наследству – вспомнить хотя бы семейство Бернулли, – но в большинстве случаев этого не происходит. Но даже в тех случаях, когда талант передается, происходит это, скорее всего, в процессе воспитания, а не в результате генетического наследования: дядя-математик, математический анализ на обоях спальни. Даже генетика постепенно приходит к пониманию, что ДНК – это далеко не все.

Тем не менее кое-что общее у математиков-первопроходцев все же есть. Они оригинально мыслят, обладают богатым воображением и весьма неортодоксальны. Они всюду ищут закономерности и наслаждаются решением сложных задач. Они уделяют пристальное внимание тонким логическим моментам, но любят и творческие прыжки через несколько логических ступеней; иногда они приходят к выводу о перспективности какого-то определенного подхода к проблеме, несмотря на то что объективных данных в его пользу почти нет, и оказываются правы. Они прекрасно умеют сосредоточиваться, но, как настаивал Пуанкаре, не должны замыкаться на задаче настолько, чтобы биться головой о стены. Они должны давать своему подсознанию возможность и время для того, чтобы все внимательно обдумать. Часто они обладают прекрасной памятью, но некоторые – к примеру, Гильберт – не могли ею похвастаться.

Кто-то из них молниеносно считал – например, Гаусс. Эйлер однажды разрешил спор между двумя математиками, где речь шла о пятидесятом знаке после запятой в сумме одного сложного ряда; для этого он вычислил сумму ряда в уме. С другой стороны, они могли путаться в простейшей арифметике, не испытывая от этого никаких видимых неудобств. (Большинство тех, кто считает с быстротой молнии, безнадежны в чем-нибудь более сложном, чем арифметика; Гаусс и в этом, как и во всем остальном, был исключением.) Они способны впитывать в себя громадные количества данных, накопленных предыдущими исследователями, выделять и усваивать их суть, но способны и полностью игнорировать все традиционные подходы. Кристофер Зееман часто говорил, что, начиная работу над задачей, не следует читать посвященную ей исследовательскую литературу, поскольку чужие результаты непременно загонят ваш разум в те же колеи, по которым двигались и в которых застревали остальные. Тополог Стивен Смейл в самом начале своей карьеры решил задачу, которую все считали поистине непреодолимой, – никто ведь не сказал ему, что это сложная задача.

Почти все математики обладают сильной интуицией, формальной или визуальной. Я говорю в данном случае о зрительных центрах мозга, а не о зрении: продуктивность Эйлера выросла, когда он ослеп. В книге «Психология процесса изобретения в области математики» Жак Адамар задает многим ведущим математикам вопрос о том, как именно они размышляют об исследовательских задачах: в символьном виде или с использованием ментальных образов того или иного рода. Оказалось, что почти все математики, за редким исключением, пользовались визуальными образами, даже когда сама задача и ее решение были в основном символьными. К примеру, мысленный образ, которым для Адамара сопровождалось Евклидово доказательство существования бесконечного количества простых чисел, включал не алгебраические формулы, но беспорядочную массу, представлявшую собой известные простые числа, и точку в стороне от этой массы, представлявшую собой новое простое число. Смутные метафорические образы попадались часто, а формальные схемы, как у Евклида, – редко.

Тенденция к использованию визуальных (и тактильных) образов прослеживается еще в «Алгебре» аль-Хорезми, название которой отсылает к понятию равновесия. Задействованный в ней образ преподаватели нередко используют и сегодня. Две стороны уравнения рассматриваются как набор объектов, помещенных на разные чаши весов, которые необходимо уравновесить. Тогда алгебраические операции производятся одновременно над обеими сторонами, чтобы не нарушать равновесия. В конце концов у нас получается неизвестная величина на одной чаше весов и некое число на другой: это и есть ответ. Математики при решении уравнений часто представляют себе, как движутся символы. (Вот почему они до сих пор любят доску и мел: чтобы обозначить движение, достаточно что-то стереть, а что-то переписать.) В «Алгебре» аль-Хорезми присутствует и более очевидное геометрическое мышление с рисунками, на которых изображается дополнение квадрата при решении квадратного уравнения. По легенде, один математик умудрился прочесть довольно сложную лекцию по алгебраической геометрии, нарисовав на доске одну-единственную одинокую точку, представляющую собой некую «общую точку». Во время лекции он на нее ссылался, отчего содержание лекции стало намного понятнее. Школьные доски по всей планете, не говоря уже о салфетках и иногда скатертях, плотно исписаны заумными символами и изрисованы жутковатыми каракулями. Каракули эти могут представлять все что угодно – от десятимерного многообразия до алгебраического числового поля.

Согласно оценке Адамара, около 90 % математиков думают зрительно, и только 10 % – формально. Я знаю по крайней мере одного видного тополога, который испытывает проблемы с визуализацией трехмерных фигур. Не существует универсального «математического ума» – единого рецепта для всех вы не найдете. Большинство математических умов не движется к цели последовательными логическими шагами; так происходит только в приглаженных доказательствах, которые они публикуют в конечном итоге. Как правило, первым шагом становится рождение верной идеи, часто в результате неопределенных размышлений о главных вопросах, приводящих к своего рода стратегическому ви́дению; следующий шаг – выработка тактики для доказательства этого результата; и наконец, финальный шаг заключается в том, чтобы записать все заново в формальном виде и получить ясную, последовательную и логичную историю (убрать леса, по Гауссу). На практике большинство математиков мечется между двумя способами мышления; они прибегают к образности, когда нет ясности, каким путем следовать, или когда хотят получить упрощенную общую картину, но переходят на символьные вычисления, когда знают, что нужно делать, но не уверены, куда приведет их этот путь. Однако некоторые из них ломятся вперед, ни на что не обращая внимания и пользуясь только символами.

Необычайные математические способности не коррелируют, вообще говоря, с другими качествами. Судя по всему, они достаются людям случайно. Некоторые, такие как Гаусс, проявляют их уже в три года. Другие – и среди них Ньютон – детство растрачивают понапрасну, но расцветают позже. Маленькие дети, как правило, с удовольствием занимаются числами, фигурами и геометрическими узорами, но с возрастом многие теряют интерес к подобным вещам. Большинство из нас способны освоить математику в объемах школьной программы, но немногие готовы идти дальше. Некоторые в принципе не в состоянии освоить этот предмет. Многие профессиональные математики склоняются к мнению, что там, где речь идет о математических способностях, люди не рождаются равными. Если вам лично большая часть школьной математики кажется простой и очевидной, тогда как другие с трудом осваивают самые ее начала, впечатление создается именно такое. Если же одни ваши студенты спотыкаются на простых концепциях, а другие мгновенно схватывают сложные, это ощущение только усиливается.

Возможно, подобных субъективных свидетельств недостаточно; возможно, они ведут в неверном направлении. Так думают многие специалисты по психологии образования. В психологии существует мода на представление о разуме ребенка как о «чистом листе». Любой человек может заниматься чем угодно: все, что для этого нужно, – это обучение и много-много практики. И если вы захотите достаточно сильно, то сможете этого добиться. (А если не добьетесь, то это будет означать, что вы хотели недостаточно сильно… прекрасный пример порочного замкнутого круга в рассуждениях, столь любимого спортивными комментаторами.) Было бы прекрасно, если бы дело обстояло именно так, но Стивен Пинкер уже детально проанализировал эту политически корректную надежду в книге «Чистый лист» (The Blank Slate). Кроме того, многие работники образования встречают у своих учеников такое нарушение здоровья, как дискалькулия, которая мешает обучению математике точно так же, как дислексия мешает чтению и письму.

Физически мы не рождаемся одинаковыми. Но многие люди почему-то думают – или хотят думать, – что у нас одинаковые умственные способности. В этом мало смысла. Структуры мозга влияют на умственные способности, так же как структуры тела влияют на физические характеристики человека. Одни люди обладают фотографической памятью и запоминают все в подробностях. Представляется маловероятным, что любого человека можно научить фотографической памяти, если только не затратить достаточно усилий на обучение и практику. Гипотезу чистого листа часто оправдывают указанием на то, что почти каждый, кто добивается серьезных успехов в какой-то области человеческой деятельности, много практикуется в ней. Это правда – но это не значит, что каждый, кто много практикуется в какой-либо области человеческой деятельности, сможет добиться в ней серьезного успеха. Аристотель и Буль хорошо знали, что «из B следует A» – не то же самое, что «из A следует B».

Прежде чем вы рассердитесь, поясню: я не против того, чтобы пытаться учить математике или чему бы то ни было всех без исключения. Каждому из нас будут полезны хорошее преподавание и практика, о какой бы области человеческой деятельности ни шла речь. Именно поэтому образование стоит свеч. Дьёрдь Пойа в книге «Как решать задачу» (How to Solve It) привел несколько полезных трюков. Эта книга немного напоминает самоучители на тему «как обрести суперпамять», но направлена на решение математических задач. Однако люди с фотографической памятью не пользуются мнемоническими фокусами. То, что они хотят вспомнить, всплывает в их памяти сразу же, как только им это потребуется. Аналогично, даже если вы овладеете всеми фокусами мастера Пойа, вы вряд ли станете новым Гауссом, сколько бы труда вы в это ни вложили. Гауссов этого мира не нужно учить разным фокусам. Они сами придумывают их для себя, еще в колыбели.

В целом можно сделать следующий вывод: люди не добиваются успехов в том случае, если до упаду работают над тем, что их не интересует по-настоящему. Наши герои много трудились, потому что даже природному таланту для успеха необходимо много практики и только постоянная практика позволяет сохранить талант; но в основном потому, что именно этим они мечтали заниматься. Даже когда практика трудна или скучна, эти люди умудряются получать от нее удовольствие. Прирожденных математиков можно оторвать от математики, только заперев в камере, но даже там они будут выцарапывать свои уравнения на стенах. И это в конечном итоге и есть та общая черта, которая объединяет все мои значимые фигуры. Все они влюблены в свою математику. Одержимы ею. Они не могут заниматься ничем иным. Они отказываются от более выгодных профессий, идут против мнения семьи, ломятся вперед, не обращая ни на что внимания, даже когда многие их коллеги считают их безумными; они готовы умереть непризнанными и невознагражденными. Они годами читают лекции даром, только бы двигаться вперед. Значимые фигуры значимы потому, что ими движет математика.

Что делает их такими?

Загадка.