19. «Мы должны это знать, мы будем это знать». Давид Гильберт

В Германии любой профессор, достигший возраста 68 лет, должен был уйти в отставку. Когда в 1930 г. этот рубеж проходил Давид Гильберт, официальное завершение выдающейся ученой карьеры было отмечено множеством публичных мероприятий. Сам он прочел лекцию, посвященную первому своему крупному результату: существование конечного базиса для инвариантов. Автомобилисты ездили по улице, только что получившей название Гильбертштрассе. Когда его жена заметила по этому поводу: «Какая прекрасная мысль!», Гильберт ответил: «Мысль так себе – но исполнение прекрасное».

Самым приятным подарком для Гильберта стало звание почетного гражданина Кёнигсберга – города, неподалеку от которого он родился. Об этой чести должны были объявить на заседании Общества немецких ученых и врачей, и Гильберту следовало произнести по этому поводу благодарственную речь. Он решил, что речь по этому случаю должна быть понятна всем, а поскольку в Кёнигсберге к тому же родился Иммануил Кант, то некоторый философский оттенок в ней тоже будет уместен. Кроме того, речь должна подводить итог работе всей его жизни. В качестве темы Гильберт избрал «Естественнонаучное знание и логику». Гильберт имел богатейший опыт подобных выступлений, он нередко участвовал в организованной университетом серии публичных лекций для всех желающих, которые читались по утрам в субботу. Теория относительности, бесконечность, общие принципы математики… он старался сделать эти темы доступными для всех, кого это интересовало. Теперь же он сосредоточил усилия на подготовке лекции, которая должна была затмить собой все, что было прежде.

«Приблизиться к пониманию природы и жизни – благороднейшая наша задача», – начал он. Далее он сравнил два способа познания окружающего мира – мысль и наблюдение – и перечислил факторы их сходства и различия. Оба способа прочно связывают между собой законы природы; законы эти следует выводить из наблюдений и развивать при помощи чистой логики. Такой взгляд понравился бы Канту – и в этом заключалась своеобразная ирония, поскольку Гильберт не был особым поклонником Канта. Однако случай для того, чтобы заявлять об этом, был неподходящий, так что по этому конкретному вопросу разногласий не возникло. Однако Гильберт не смог удержаться хотя бы от одного критического замечания: он предположил, что Кант переоценил важность априорного знания, то есть знания, не получаемого посредством опыта. Хороший пример – геометрия: не было никаких оснований считать, что пространство вокруг нас обязательно Евклидово, как утверждал Кант. Однако стоит отбросить антропоморфный шлак, и останутся подлинно априорные концепции – а именно общие положения математики. «Вся наша нынешняя культура в той мере, в какой она связана с интеллектуальным познанием и завоеванием природы, зиждется на математике!» – с пафосом произнес Гильберт. А закончил он выступление словами в защиту теоретической математики, которую часто критикуют за отсутствие практической значимости: «Чистая теория чисел – это та часть математики, для которой до сих пор [курсив авт.] не обнаружено ни одного практического приложения… Слава человеческого духа – единственная цель всей науки!»

Эта лекция оказалось столь успешной, что Гильберта уговорили повторить ее для местной радиостанции; запись сохранилась. В выступлении он подчеркивает, что задачи, решение которых ранее представлялось невозможным – к примеру, выяснение химического состава звезды, – сдаются перед новыми способами мышления. «Не существует такой вещи, как нерешаемая задача», – сказал он. А последние слова его речи звучали так: «Мы должны это знать. Мы будем это знать». Затем, ровно в тот момент, когда техник выключил запись, Гильберт рассмеялся.

В то время Гильберт был глубоко погружен в масштабную программу, суть которой состояла в том, чтобы подвести под все здание математики логический фундамент, – и эти слова свидетельствовали о его неколебимой уверенности, что данная программа будет успешно выполнена. Многое было уже сделано, но нужно было разобраться в нескольких упрямых моментах. Когда же эти вопросы были бы наконец окончательно заполированы, в распоряжении Гильберта оказался бы не просто логический базис для всей математики в целом – он смог бы доказать, что его аксиомы логически непротиворечивы.

Получилось, однако, не так, как он надеялся.

Гильберт происходил из семьи юристов. Его дед был судьей и тайным советником, его отец Отто – судьей графства. Его мать Мария (урожденная Эрдтманн) была дочерью кёнигсбергского торговца. Она питала страстный интерес к философии, астрономии и простым числам, и похоже, что ее энтузиазм передался и сыну. Когда Давиду было шесть лет, у него появилась сестра Эльзи. В школу Давид пошел в восемь лет, а до этого мать учила его дома. Школа обучала по классической программе, в ней почти не учили математике и совсем не учили физике и другим естественным наукам. Зубрежка была в порядке вещей, и везде, где требовалось заучивать наизусть неструктурированные списки фактов, Гильберт показывал слабые результаты. Сам о себе он пишет, что был «туп и глуп». Лишь один предмет выступал из общего ряда. В школьном отчете сказано: «К математике он всегда выказывал очень живой интерес и проницательный ум: он замечательным образом овладел всем преподаваемым в школе материалом и умел применять его с уверенностью и изобретательностью».

В 1880 г. Гильберт начал обучение в Университете Кёнигсберга со специализацией в математике. Он проходил курсы также в Гейдельберге у Лазаря Фукса; вернувшись в Кёнигсберг, учился у Генриха Вебера, Фердинанда фон Линдемана и Адольфа Гурвица. Гильберт близко подружился с Гурвицем и с одним из товарищей-студентов Германом Минковским. С Минковским он переписывался до конца жизни. Научным руководителем Гильберта стал Линдеман, который вскоре прославился доказательством того, что число π не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Он предложил Гильберту поработать над теорией инвариантов, то есть двинуться по дороге, которую проложил Буль и расширили Кэли, Силвестр и Пауль Гордан. Все они использовали вычислительные методы, и ловкость Гильберта в этих ужасных расчетах производила сильное впечатление на его друга Минковского, который писал: «Я наслаждался всеми теми процессами, через которые приходилось проходить несчастным инвариантам». В 1885 г. Гильберт получил свою докторскую степень, прочитав публичную лекцию по физике и философии.

В то время ведущим авторитетом в теории инвариантов был Гордан, а главный нерешенный вопрос состоял в том, чтобы доказать, для любого числа переменных и любой степени уравнения, существование конечного базиса. То есть конечного числа инвариантов, таких, что все остальные инварианты представляют собой их линейную комбинацию. Запишите базис – и по существу вы получите все возможные инварианты. Для квадратного уравнения с двумя переменными базис состоит из одного-единственного инварианта, и это дискриминант. Конечность базиса была доказана во многих случаях, и всегда при этом вычислялись все инварианты, а затем из них извлекался базис. Этим методом Гордан в свое время доказал наиболее общую известную теорему такого рода.

Все изменилось – вся теория инвариантов буквально встала с ног на голову – в 1888 г., когда Гильберт опубликовал короткую статью, в которой доказывал, что конечный базис всегда существует, вообще не вычисляя никаких инвариантов. Фактически он доказал, что любой подходящий набор алгебраических выражений всегда имеет конечный базис – и неважно, состоит он из инвариантов или нет. Гордан, надо сказать, не ожидал подобного ответа, и, когда Гильберт представил свою работу в Mathematische Annalen, Гордан ее отверг. «Это не математика, – сказал он. – Это теология». Гильберт пожаловался на отказ редактору Клейну и не захотел что-либо менять в статье – разве что возникнут какие-то «конкретные и неоспоримые возражения против моих рассуждений». Клейн согласился опубликовать статью в первоначальном виде. Подозреваю, что он понял доказательство лучше, чем Гордан, который оказался не в своей тарелке, когда способность к вычислениям вдруг сменилась понятийным мышлением.

Несколькими годами позже Гильберт расширил свои результаты и представил в журнал новую статью. Клейн принял ее, охарактеризовав как «важнейшую работу по общей алгебре, которую Annalen когда-либо публиковали». Что же касается Гильберта, то он теперь сделал все, что намеревался сделать в этой области. «Я определенно оставлю область инвариантов», – написал он Минковскому. И оставил.

Доведя до совершенства теорию инвариантов – эта область исследований, по существу, заглохла после того, как с ней поработал Гильберт, и оживилась лишь много лет спустя в еще более общем контексте, причем тогда возродился интерес одновременно и к вычислениям, и к понятиям, – Гильберт нашел для себя новую область приложения сил. В 1893 г. он начал новый проект – «Отчет о числах» (Zahlbericht). Дело в том, что Немецкое математическое общество предложило ему исследовать крупную область теории чисел – ту область, где рассматриваются алгебраические числа, то есть комплексные числа, удовлетворяющие полиномиальному уравнению с рациональными (или, что эквивалентно, целыми) коэффициентами. Примером алгебраического числа может служить удовлетворяющий уравнению x²–2 = 0; еще один пример – мнимое число i, удовлетворяющее уравнению x² + 1 = 0. Как отмечено в главе 16, комплексные числа, которые не являются алгебраическими, называют трансцендентными; примеры таких чисел включают числа π и e, хотя это свойство трудно доказать, и долгое время вопрос оставался открытым. Трансцендентность e доказал Шарль Эрмит в 1873 г., а с трансцендентностью π разобрался Линдеман в 1882 г.

Основную роль алгебраические числа играют в теории чисел. Эйлер неявно использовал некоторые их свойства, к примеру при доказательстве Великой теоремы Ферма для кубов, но систематическое их изучение начал Гаусс. Пытаясь обобщить свой закон квадратичной взаимности на степени выше двойки, он открыл красивое расширение его на четвертые степени, основанное на алгебраических числах вида a + ib, где a и b – целые. Эта система «Гауссовых целых чисел» обладает многими особыми свойствами, в частности, имеет собственный аналог простых чисел и к нему собственную теорему о единственности разложения. Кроме того, Гаусс использовал алгебраические числа, имеющие отношение к корням единицы, при построении правильного семнадцатиугольника.

В главе 6, в связи с Великой теоремой Ферма, мы говорили о том, как использовал алгебраические числа Куммер и какое он предложил понятие идеальных чисел. Дедекинд упростил эту идею, переформулировав ее в терминах особых множеств алгебраических чисел, которые он назвал идеалами. После Куммера теория алгебраических чисел рванула вперед с помощью и при содействии теории уравнений Галуа и так же активно развивающейся абстрактной алгебры (глава 20). Фразу «алгебраическая теория чисел» можно интерпретировать двояко: это может быть и алгебраический подход к теории чисел, и теория алгебраических чисел. Теперь же оба значения сходились к одному и тому же, и именно в этом Немецкое математическое общество просило Гильберта разобраться. Он, что характерно, пошел намного дальше. Он задался вопросом, которым испокон веков задаются математики, столкнувшиеся с большим массивом интересных, но неорганизованных результатов: «Да, конечно, но о чем это на самом деле?» Поиск ответов на этот вопрос позволил ему сформулировать и доказать множество новых теорем.

Все время работы над «Отчетом о числах» Гильберт вел обширную переписку на эту тему с Минковским – иногда даже слишком обширную, так что временами Гильберт чувствовал настоящее отчаяние; ему начинало казаться, что работа никогда не будет закончена в виде, который удовлетворил бы его взыскательного друга. Однако в конечном итоге отчет был опубликован. В нем были сформулированы и доказаны общие аналоги квадратичной взаимности, образовавшие основу того, что мы сегодня называем теорией полей классов – это до сих пор активно развивающаяся, хотя и весьма сложная технически понятийная основа для теории алгебраических чисел. В предисловии к «Отчетам» говорится:

Возможно, сегодня мы не станем заходить так далеко, но в то время такое заявление было вполне оправданным.

Гильберт, как правило, работал 5–10 лет в одной области, решал в ней крупные задачи, доводил все до совершенства, а затем уходил на новые «угодья», иногда совершенно забывая, что когда-то изучал эту тему. Однажды он заметил, что занимается математикой потому, что в ней, если что-то забудешь, всегда можно вывести это заново. Математик до мозга костей, теперь он «покончил» с алгебраической теорией чисел. И двинулся дальше. Его студенты, которых он из года в год бомбардировал лекциями об алгебраических числах, были поражены, когда выяснилось, что в следующем году темой лекций Гильберта будут начала геометрии. Гильберт возвращался к Евклиду.

Как всегда, у Гильберта были на то свои резоны, и опять же ключевой вопрос можно было сформулировать так: «Да, конечно, но о чем это на самом деле?» На этот вопрос Евклид дал бы ответ «о пространстве»; именно поэтому он все свои теоремы иллюстрировал геометрическими чертежами. Гильберта, однако, гораздо больше интересовала логическая структура аксиом геометрии и как из них проистекают теоремы, часто далеко не очевидные. Его также не устраивал у Евклида список аксиом, поскольку использование чертежей привело Евклида к некоторым допущениям, которые он не сформулировал явно.

Простой пример – утверждение «прямая, проходящая через точку, которая лежит внутри окружности, обязательно с этой окружностью пересекается». На чертеже это выглядит очевидно, но такое утверждение не является логическим следствием Евклидовых аксиом. Гильберт понял, что аксиомы Евклида неполны, и решил исправить оплошность. Евклид определял точку как «то, что не имеет частей», а прямую – как линию, которая «лежит равномерно по отношению к точкам на ней». Гильберт считал эти утверждения лишенными смысла. Главное, заявлял он, – это как ведут себя эти понятия, а не какой-то мысленный образ того, что они собой представляют. «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках», – говорил Гильберт коллегам. В частности, рисунки были вне игры.

Разумеется, этот проект Гильберта был тесно связан с более глубоким вопросом, который к тому моменту уже был понятен ученым, – вопросу неевклидовых геометрий и аксиомы о параллельных (глава 11). Гильберт пытался установить базовые принципы аксиоматического рассмотрения математических тем. Среди этих тем были непротиворечивость (отсутствие логических противоречий) и независимость (чтобы никакая аксиома не была следствием из других аксиом). Также весьма желательны были полнота (не упустить ничего важного) и простота (по возможности). Евклидова геометрия была пробным камнем. С непротиворечивостью все было просто: Евклидову геометрию можно смоделировать при помощи алгебры, применяя ее к координатам (x, y) на плоскости. То есть можно начать с обычных чисел и построить на их основе математическую систему, которая будет подчиняться всем Евклидовым аксиомам. Из этого следует, что эти аксиомы не могут противоречить друг другу, поскольку тогда доказательство от противного покажет нам, что построенной модели не существует. У этого рассуждения, однако, имеется один потенциальный недостаток, и Гильберт с самого начала понимал это. При этом предполагалось, что стандартная числовая система непротиворечива сама по себе; что арифметика состоятельна – именно это математики имеют в виду, когда говорят «существует». Каким бы очевидным это ни казалось, никто и никогда в реальности этого не доказывал. Позже Гильберт попытался устранить этот пробел, но сам об этом пожалел.

Результатом этой работы стала лаконичная и элегантная книга «Основания геометрии», опубликованная в 1899 г. В ней Евклидова геометрия выводилась из 21 явно сформулированной аксиомы. Три года спустя Элиаким Мур и Роберт Мур (не родственники) доказали, что одну из этих аксиом можно вывести из остальных, так что на самом деле достаточно 20 аксиом. Гильберт начал с шести простейших понятий: это объекты «точка», «прямая», «плоскость» и отношения «между», «лежит на» и «конгруэнтный». Восемь аксиом разбирают отношения инцидентности между точками и прямыми, такие как «любые две различные точки лежат на одной прямой». Четыре аксиомы (которые Евклид, пользуясь чертежами, принял по умолчанию, без явной формулировки) говорят о порядке точек на прямой. Еще шесть разбирают вопросы конгруэнтности (отрезков прямых и треугольников; слово «конгруэнтный» по существу означает «такой же по форме и размеру»). Далее идет Евклидова аксиома о параллельных, в необходимости включения которой уже не сомневался ни один компетентный математик. Наконец, были еще две тонкие аксиомы о непрерывности, согласно которым точки на прямой соответствуют действительным числам (а не, скажем, рациональным, ведь тогда прямые, очевидно пересекающиеся на чертеже, могут позабыть сделать это в рациональной точке).

Главную ценность книга Гильберта представляла не как учебник – Евклид к тому времени успел основательно выйти из моды, – а как стимул, вызвавший лихорадочную активность в деле исследования логического фундамента математики. Американские математики, в частности, были особенно заметны на переднем плане этой волны, из которой чуть позже родился своеобразный логико-математический гибрид – метаматематика. В каком-то смысле это математика в приложении к самой себе – или, точнее говоря, к собственной логической структуре. Математическое доказательство может рассматриваться не просто как процесс, раскрывающий новые математические закономерности, но как самостоятельный математический объект. В самом деле, именно этот аспект – глубокая самоотносимость – инициировал процесс разрушения Гильбертовой мечты. В ноябре того же года, можно сказать, рванула настоящая бомба – вышла статья молодого логика по имени Курт Гёдель (глава 22). В ней содержались доказательства двух ошеломляющих теорем. Во-первых, если математика непротиворечива, то доказать это невозможно. Во-вторых, в математике существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Математика изначально неполна, ее логическая непротиворечивость не может быть установлена, а некоторые задачи по-настоящему невозможно решить.

Говорят, Гильберт был «очень сердит», когда впервые узнал о работе Гёделя.

Рассказ о влиянии Гильберта на науку не может быть полным без упоминания о Гильбертовых проблемах – списке из 23 крупных открытых вопросов и областей математики, представленном им на Втором Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г. Этот перечень подготовил почву для значительной доли математических исследований XX в. Среди названных Гильбертом задач – доказательство непротиворечивости математики, довольно неопределенный запрос на аксиоматический разбор физики, вопросы о трансцендентных числах, гипотеза Римана, самый общий закон взаимности для любого числового поля, алгоритм проверки существования решений диофантовых уравнений и разные технические вопросы геометрии, алгебры и математического анализа. Десять из 23 вопросов полностью решены, три остаются нерешенными, несколько вопросов сформулированы слишком расплывчато, чтобы можно было понять хотя бы, как должно выглядеть их решение, и два вопроса не имеют решения в принципе.

Конечно, математика после Гильберта состояла не только из тех, кто пытался решить его 23 проблемы, но следует признать, что следующие полвека такие люди оказывали существенное, и в основном положительное, влияние на развитие математики. Для человека, который хотел бы выдвинуться и произвести впечатление на коллег-математиков, решение одной из Гильбертовых проблем было одним из лучших способов сделать это.

С возрастом интерес Гильберта к математической физике заметно усилился, как часто бывает у математиков: многие начинают свою карьеру с теоретической математики и с течением времени постепенно дрейфуют к лагерю прикладников. К 1909 г. он работал над интегральными уравнениями, в результате чего возникло понятие Гильбертова пространства – одно из фундаментальных понятий квантовой механики. Кроме того, в статье 1915 г., опубликованной за пять дней до выступления Эйнштейна, он вплотную подошел к открытию Эйнштейновых уравнений общей теории относительности и заявил вариационный принцип, из которого, собственно, и следует уравнение Эйнштейна. Однако само уравнение он не записал.

Обычно Гильберт был доброжелателен в общении и не жалел похвалы за хорошо сделанное дело; однако он мог быть безжалостен, когда кто-то высказывал бессмысленные банальности или пытался лгать ему. На семинарах, если студенту не давался какой-то момент, который, как казалось самому Гильберту, не должен был вызывать затруднений, он говорил: «Но это же совсем просто!» – и находчивый студент, не задерживаясь, переходил к следующему вопросу. В 1920-е гг. Гильберт организовал Математический клуб, который собирался еженедельно и был открыт для всех. В его клубе выступали многие известные математики, которым Гильберт советовал представлять слушателям «только самые изюминки». Если выступающий углублялся в сложные расчеты, Гильберт обычно прерывал его словами: «Мы здесь не затем, чтобы проверять все эти значки».

Со временем, однако, он стал менее терпимым. Александр Островский рассказывал, что однажды, когда кто-то из гостей прочел прекрасную лекцию о действительно важном и красивом исследовании, Гильберт кисло задал ему всего один вопрос: «Ну и зачем все это?» Когда блестящий американец Норберт Винер, пустивший в оборот термин «кибернетика», выступал в клубе, после лекции все, как было принято, отправились ужинать. Гильберт начал рассказывать о прежних гостях клуба и сказал, что качество выступлений раз от разу снижается. В наше время, сказал он, люди по-настоящему обдумывали и содержание лекции, и представление ее, но нынче молодые люди, как правило, выступают слабо. «В последнее время особенно, – сказал он. – Но сегодня был исключительный случай…»

Винер приготовился выслушать комплимент.

«Сегодняшняя лекция была хуже, чем когда-либо!»

В 1933 г. нацисты избавились от евреев в гёттингенском академическом сообществе; все они были уволены. Одним из этих ученых был Герман Вейль, один из крупных физиков-математиков, ставший преемником Гильберта после его отставки в 1930 г. Среди них были также Эмми Нётер (глава 20), специалист по теории чисел Эдмунд Ландау и Пауль Бернайс, соавтор Гильберта по математической логике. К 1943 г. буквально все сотрудники факультета математики были заменены людьми, более приемлемыми для нацистской администрации, и факультет являл собой лишь бледную тень прежнего великолепия. В том году Гильберт умер.

Он видел приближение беды. Несколькими годами ранее министр образования Бернхард Руст спросил Гильберта, не пострадал ли Гёттингенский институт математики от изгнания евреев. Вопрос был глупый – ведь до этого большинство в институте составляли евреи и немцы, женатые на еврейках. Гильберт ответил прямо и откровенно:

– Пострадал? Его больше нет, разве не так?