16. Кардинал бесконечных множеств. Георг Кантор

Понятие бесконечности, того, что может продолжаться вечно, без остановки, завораживала человека испокон веков. Философы, разумеется, повеселились в этой теме вволю. На протяжении последних нескольких столетий математики, в частности, широко использовали бесконечность; точнее говоря, они использовали множество различных интерпретаций бесконечности во множестве различных контекстов. Бесконечность – это не просто очень большое число. Строго говоря, это вообще не число, потому что бесконечность больше любого конкретного числа. Если бы бесконечность была числом, это означало бы, что она должна быть больше самой себя. Аристотель рассматривал бесконечность как процесс, продолжающийся неопределенно долго: до какого бы числа вы ни добрались, вы всегда сможете найти большее число. Философы называют это потенциальной бесконечностью.

Некоторые индийские религии, и среди них джайнизм, буквально очарованы большими числами. Согласно джайнскому математическому тексту «Сурья-праджняпти», некий индийский математик-визионер заявил около 400 г. до н. э., что существует множество размеров бесконечности. Звучит как мистическая чепуха, не правда ли? Если бесконечность – это самое большое, что только может существовать, то как одна бесконечность может быть больше другой? Но ближе к концу XIX в. немецкий математик Георг Кантор разработал Mengenlehre – теорию множеств – и воспользовался ею, чтобы объявить: бесконечность может быть актуальной, а не просто Аристотелевым процессом потенциальности, и вследствие этого одни бесконечности могут быть больше, чем другие.

В то время многие математики также посчитали эту идею мистической чепухой. Кантору пришлось вести бесконечные баталии с критиками, многие из которых использовали язык, который в сегодняшнем мире, вероятно, стал бы поводом для судебных исков. Он страдал от депрессии, которая еще больше усиливалась, вероятно, от тех издевок, которым он постоянно подвергался. Сегодня, однако, большинство математиков считают, что Кантор был прав. В самом деле, различие между самой маленькой бесконечностью и любой бесконечностью побольше является фундаментальным во многих областях прикладной математики, в первую очередь в теории вероятностей. А теория множеств стала логическим основанием для математики в целом. Гильберт, один из крупнейших математиков среди тех, кто рано понял обоснованность идей Кантора, сказал: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором».

Мать Кантора, Мария Анна (урожденная Бём), была талантливым музыкантом, а его дед Франц Бём служил солистом Русского императорского оркестра. Георг вырос в музыкальной семье и стал неплохим скрипачом. Его отец, тоже Георг, занимался оптовой торговлей в Санкт-Петербурге, а позже участвовал в работе городской биржи. Его мать была католичкой, но отец – протестантом, и Георг тоже был воспитан в этой вере. Гувернер начал водить его в начальную школу, но холодные петербуржские зимы плохо сказывались на здоровье отца, и в 1856 г. семья переехала в Германию, в Висбаден, а позже во Франкфурт. Хотя всю оставшуюся жизнь Кантор провел в Германии, ближе к концу он писал, что «никогда не чувствовал себя непринужденно» там и тосковал по России своего детства.

Кантор учился в реальном училище в Дармштадте и жил там же в пансионе. В 1860 г. он окончил училище; его характеризовали как очень способного учащегося, подчеркивая успехи юноши в математике, особенно в тригонометрии. Отец хотел, чтобы Кантор стал инженером, и поэтому отправил его в Высшую коммерческую школу в том же Дармштадте. Но Георг-младший хотел изучать математику и донимал отца, пока тот не сдался. В 1862 г. Георг начал изучать математику в Политехническом институте в Цюрихе. В 1863 г., когда отец умер и оставил ему значительное наследство, Георг перевелся в Берлинский университет. Там он посещал лекции Кронекера, Кюммера и Вейерштрасса. После лета 1866 г., проведенного в Гёттингене, в 1867 г. он представил диссертацию «О неопределенных уравнениях второй степени» – тема из теории чисел.

После этого он начал работать учителем в школе для девочек, но работу над хабилитацией не оставил. После получения места в Университете Галле Георг представил диссертацию по теории чисел и получил степень доктора хабилис. Эдуард Хайне, видный математик в Галле, предложил Кантору сменить поле исследований и заняться знаменитой нерешенной задачей о рядах Фурье: доказать, что представление функции в этом виде единственно. Решить задачу пытались Дирихле, Рудольф Липшиц, Риман и сам Хайне, но никому из них это не удалось. Кантор решил задачу меньше чем за год. Он продолжал работать над тригонометрическими рядами еще некоторое время, и исследования привели его в области, которые мы сегодня рассматриваем как прототип теории множеств. Причина в том, что многие свойства рядов Фурье зависят от особенностей представляемой функции, например структуры множества точек, в которых эта функция имеет разрывы. Кантор не смог добиться прогресса в этих областях, не столкнувшись со сложными вопросами о бесконечных множествах действительных чисел.

Исследования в области оснований математики были на подъеме, и после столетий отношения к действительным числам как к бесконечным десятичным дробям математики начинали задумываться о том, что это все означает. К примеру, невозможно записать бесконечное десятичное представление числа π. Мы можем лишь установить правила, по которым его нужно искать. В 1872 г. в одной из статей о тригонометрических рядах Кантор ввел новый метод определения действительного числа как предела сходящейся последовательности рациональных чисел. В том же году Дедекинд опубликовал знаменитую статью, в которой определил действительное число в терминах «сечения», разделяющего рациональные числа на два непересекающихся подмножества, таких, что все элементы одного подмножества меньше любого из элементов другого подмножества. В ней он цитировал статью Кантора. Оба этих подхода – сходящаяся последовательность рациональных чисел и сечение Дедекинда – стандартны в базовых курсах математики и при построении множества действительных чисел из рациональных.

К 1873 г. Кантор углубился в исследования, результаты которых показали его как значительную фигуру в области теории множеств и трансфинитных (его собственный термин для бесконечных) чисел. Теория множеств с тех пор стала существенной частью любого математического курса, поскольку предоставляет удобный и гибкий язык для описания предмета. Если не углубляться в формальности, множество – это любой набор объектов: числа, треугольники, Римановы поверхности, перестановки и вообще что угодно. Множества можно комбинировать разными способами. К примеру, объединение двух множеств – это то, что получится, если соединить эти два множества в одно, а их пересечение – все то, что они имеют общего. Используя множества, мы можем определить такие базовые концепции, как функции и отношения. Мы можем построить такие системы чисел, как целые, рациональные, действительные и комплексные числа, из более простых составляющих, если привлечем к делу пустое множество, которое вообще не имеет элементов.

Трансфинитные числа – это способ расширить понятие «сколько элементов» на бесконечные множества. Кантор натолкнулся на эту идею в 1873 г., когда доказал, что рациональные числа счетны; то есть их можно поставить в однозначное соответствие с натуральными числами 1, 2, 3,… (Я объясню стоящие за этим идеи и терминологию чуть позже.) Если бы на свете существовал только один размер бесконечности, этот результат был бы очевиден, но он вскоре обнаружил доказательство того, что действительные числа несчетны. Об этом он опубликовал статью в 1874 г. – год, очень важный для Кантора в личном плане, поскольку именно тогда он женился на Вали Гутман; в этом браке у них родилось шестеро детей.

В поисках бесконечности еще большей, чем бесконечность действительных чисел, Кантор подумал о множестве всех точек в единичном квадрате. Ведь должен же квадрат с его двумя измерениями иметь больше точек, чем действительная прямая? Кантор высказал свое мнение в письме к Дедекинду:

Вскоре, однако, он обнаружил, что ответ вовсе не так очевиден, как ему казалось. («Доказательство кажется ненужным» для математика – как красная тряпка для быка, и он должен был бы понимать, чем это чревато.) В 1877 г. Кантор доказал, что на самом деле такое соответствие существует. «Я вижу это и не верю своим глазам!» – писал он. Но, когда он представил статью об этом в престижный «Журнал чистой и прикладной математики» (Journal für die reine und angewandte Mathematik), Леопольда Кронекера – блестящего, но ультраконсервативного математика и корифея того времени – его доводы не убедили, и лишь благодаря вмешательству Дедекинда статья была принята и опубликована. Кантор, в какой-то мере оправданно, никогда больше не подавал статьи в этот журнал. Вместо этого в период между 1879 и 1884 гг. он, вероятно под влиянием Феликса Клейна, отправлял основную массу своих работ по теории множеств и трансфинитным числам в журнал «Математические анналы» (Mathematische Annalen).

Прежде чем продолжить рассказ о Канторе, нам необходимо понять революционную природу его идей, а также разобраться, в первом приближении, что они собой представляют. Боюсь, что, изложив их в терминологии того времени, я только запутал бы вас, поэтому воспользуюсь послезнанием и перескажу несколько основных его идей современным языком.

В трактате «Беседы, касающиеся двух новых отраслей науки» Галилей поднял фундаментальный вопрос – несколько парадоксально – о бесконечности. Книга написана в форме беседы между Сальвиати, Симплицио и Сагредо. Сальвиати всегда побеждает в споре, Симплицио не имеет никаких шансов на победу, а задача Сагредо – поддерживать беседу. Сальвиати замечает, что можно соотнести счетные (натуральные) числа с квадратами так, чтобы каждое число соответствовало единственному квадрату, а каждый квадрат – единственному числу. Для этого достаточно поставить в соответствие каждому числу его квадрат:

В случае конечных чисел если два множества объектов могут быть соотнесены между собой таким образом, то в каждом из них должно содержаться одно и то же число элементов. Если у каждого из сидящих за столом есть свои нож и вилка, причем только один нож и одна вилка, то число вилок равно числу ножей и то и другое равно числу людей за столом. Таким образом, несмотря на то, что квадраты разделены значительными расстояниями и образуют довольно «разреженное» подмножество всех чисел, представляется, что квадратов существует ровно столько же, сколько и чисел. Сальвиати заключает: «Мы можем сделать вывод, что совокупность всех чисел бесконечна и атрибуты “равно”, “больше” и “меньше” не применимы к бесконечным, но только к конечным величинам».

Кантор понял, что на самом деле ситуация здесь не настолько печальна. Он использовал такого рода сопоставление (которое он называл взаимно однозначным соответствием), чтобы определить характеристику «равное число элементов» для множеств, будь они конечными или бесконечными. Это можно сделать – что само по себе достаточно интересно, – даже не зная, сколько в этих множествах на самом деле элементов. Мы сами только что проделали это с ножами и вилками. Так что с логической точки зрения «равное число элементов» предшествует просто «числу элементов». В этом нет ничего удивительного: так, мы можем увидеть, что два человека одинаковы по росту, даже если не знаем, какого они конкретно роста.

Чтобы ввести конкретные числа, достаточно выделить некое стандартное множество и сказать, что любое другое множество, элементы которого могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с элементами стандартного множества, имеют с ним одинаковую мощность. Очевидный выбор стандартного образца для бесконечного множества – множество натуральных чисел, определяющее трансфинитное кардинальное множество, мощность которого Кантор назвал «алеф-нуль». Здесь алеф – первая буква еврейского алфавита, а нуль – это нуль. В символьном виде это можно записать как ℵ₀. По определению, любое множество, взаимно однозначно соответствующее множеству натуральных чисел, имеет мощность ℵ₀. Сальвиати доказал, что множество квадратов тоже имеет мощность ℵ₀.

Это утверждение кажется парадоксальным – ведь существуют, очевидно, и числа, не являющиеся квадратами; мало того, «большинство» чисел не является квадратами. Мы можем разрешить этот парадокс, условившись о том, что удаление некоторого числа элементов из бесконечного множества не уменьшает его мощности. Там, где речь идет о мощности множеств, целое не обязано быть больше своей части. Однако нам нет нужды следовать за Сальвиати и отвергать саму идею сравнения: мы получим разумные результаты, если будем считать, что целое больше или равно части. В конце концов, весь смысл бесконечности как понятия состоит в том, что она не всегда ведет себя как конечные числа. Главный вопрос здесь – как далеко мы можем зайти и какие проблемы сможем решить.

Следующим крупным открытием Кантора стало то, что множество рациональных чисел (для простоты ограничимся только положительными) тоже имеет мощность ℵ₀. Их можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами так:

Чтобы получить верхнюю строку, мы упорядочиваем рациональные числа не в числовой последовательности, а иначе. Определим сложность рационального числа как сумму его числителя и знаменателя. Будем рассматривать только те рациональные числа, у которых числитель и знаменатель не имеют общих множителей, чтобы не включить одно и то же число дважды. К примеру, 2/3 и 4/6 – это одно и то же рациональное число; возьмем из них только первое. Для начала разделим рациональные числа на классы в порядке возрастания сложности. Каждый такой класс конечен. Затем упорядочим, в пределах каждого класса, дроби по возрастанию числителя. Таким образом, класс сложности 5 упорядочится так:

Легко доказать, что любое положительное рациональное число будет включено в один из классов один, и только один раз. Натуральным числом, которое будет поставлено ему в соответствие, станет номер этого числа в окончательном упорядоченном списке.

До настоящего момента нам могло казаться, что ℵ₀ – это всего лишь хитроумный символ для обозначения бесконечности и что все бесконечности одинаковы. Однако следующее открытие взрывает такое предположение. Множество действительных чисел невозможно поставить во взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел.

Первое доказательство Кантора 1874 г. было нацелено на одну из проблем теории чисел – существование трансцендентных чисел. Алгебраическое число – это число, удовлетворяющее некоторому полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами; к примеру, это число являющееся решением уравнения x²–2 = 0. Если число не является алгебраическим, его называют трансцендентным. К примеру, не известно было никакого подобного уравнения, которому удовлетворяли бы числа e и π, и предполагалось, что они трансцендентны; эта гипотеза оказалась верной. Лиувиль доказал существование трансцендентного числа в 1844 г., но пример, который он при этом использовал, был совершенно искусственным. Кантор доказал, что «большинство» действительных чисел трансцендентны; для этого он показал, что множество алгебраических чисел имеет мощность ℵ₀, но мощность множества действительных чисел больше, чем ℵ₀. В его доказательстве принимается допущение о том, что множество действительных чисел счетно и возможно построение последовательности вложенных интервалов, исключающих каждое действительное число по очереди. Пересечение этих интервалов (можно доказать, что оно не пустое) должно содержать некоторое действительное число, но, каким бы это число ни было, мы его уже исключили.

В 1891 г. он нашел более простое доказательство – знаменитый диагональный метод. Предположим (чтобы затем прийти к противоречию), что действительные числа (для простоты – между 0 и 1) счетны. Тогда можно поставить им во взаимнооднозначное соответствие счетные, то есть натуральные, числа. В десятичной нотации любое соответствие такого рода принимает вид

Согласно нашему предположению, любое действительное число найдется где-то в этом списке. А теперь мы построим такое число, которого в этом списке нет. Определим последовательные десятичные знаки, x₁, x₂, x₃… действительного числа x следующим образом:

Будем продолжать этот процесс до бесконечности, приравнивая x_n либо к 0, либо к 1, так что x_n всегда отличается от n-го десятичного знака действительного числа, соответствующего n.

По построению x отличается от любого числа в нашем списке. От первого числа оно отличается в первом знаке, от второго – во втором; в общем, это число отличается от n-го числа в n-м десятичном знаке, а значит, отличается от n-го числа, каким бы оно ни было. Однако мы предполагали, что список существует и что любое действительное число в нем имеется. Это противоречие; получается, что такого списка не существует, следовательно, множество действительных чисел несчетно.

Аналогично строится и другое открытие Кантора, в которое он сам поверил с трудом: что плоскость имеет ту же мощность, что и действительная прямая. Точка на плоскости имеет координаты (x, y), где x и y – действительные числа. Ограничимся, для простоты, единичным квадратом; тогда x и y в десятичной записи выглядят так:

Поставим этой паре в соответствие точку на прямой, в координатах которой десятичные знаки x и y стоят попеременно, вот так:

Поскольку мы можем, глядя на это число, восстановить x и y, отобрав только последовательные цифры на четных или нечетных позициях, такой метод позволяет нам получить взаимно однозначное соответствие между единичным квадратом и единичным отрезком действительной прямой. Несложно расширить этот вывод на всю плоскость и всю числовую прямую. (Необходимо позаботиться о некоторых формальностях, которые я опустил, чтобы разобраться с неоднозначностью десятичного представления числа.)

Был один вопрос, который Кантор никак не мог разрешить ни так, ни этак. Существует ли трансфинитное множество, мощность которого лежала бы строго между ℵ₀ и мощностью множества действительных чисел? Кантор считал, что нет; он не смог отыскать такое множество, хотя пробовал на эту роль немало правдоподобных кандидатов. Это предположение получило известность как гипотеза о континууме, или континуум-гипотеза. За дальнейшим ее развитием мы проследим в главе 22.

На протяжении десяти лет после 1874 г. Кантор все свои усилия сосредоточил на теории множеств; он открыл значение взаимно однозначных соответствий в основании числовой системы и расширил принципы счета на трансфинитные числа. Его работа была настолько оригинальна, что многие современники Кантора были не в состоянии принять ее или поверить в ее значимость. Его математическую карьеру подпортил Кронекер, которому революционные идеи Кантора показались негодными с философской точки зрения. «Целые числа создал Господь Бог, все остальное – дело рук человеческих», – говорил Кронекер.

Кантор, можно сказать, подставился в философском плане, когда недвусмысленно заявил, что теория множеств имеет дело с актуальной бесконечностью, а не с потенциальной бесконечностью Аристотеля. Это некоторое преувеличение, поскольку актуальна эта бесконечность только в концептуальном смысле. В математике, как правило, можно перейти от описания, в котором речь идет, казалось бы, об актуальной бесконечности, к другому описанию, в котором бесконечность уже выглядит чисто потенциальной. Однако переход этот часто кажется надуманным: Кантор был прав, когда говорил, что естественный способ думать о его работе – это рассматривать бесконечность как единое целое, а не как процесс, который хотя и конечен на любом этапе, может продолжаться бесконечно. Непримиримым противником такой позиции был философ Людвиг Витгенштейн. Особенно резко он высказывался о диагональном методе и даже после смерти Кантора продолжал жаловаться на «пагубные подходы теории множеств». Но основная причина, по которой он продолжал громогласно жаловаться, состояла в том, что математики все больше и больше вставали на сторону Кантора и никто из них не обращал внимания на Витгенштейна. Это, наверно, было особенно обидно, потому что самого Витгенштейна очень интересовала философия математики, но, с другой стороны, математики не слишком любят философов, которые упорно твердят, что они, математики, все делают неправильно. Теория множеств работала, а математики в большинстве своем весьма прагматичны, даже в фундаментальных вопросах.

Кантор был религиозен и стремился примирить математику со своей верой. Природа бесконечного в те времена все еще была очень прочно увязана с религией, поскольку христианский Бог считался бесконечным и утверждалось, что Он есть единственная и неповторимая реальная бесконечность. Замечание Кронекера о целых числах вовсе не было метафорой. И тут появляется Кантор и заявляет, что в математике тоже есть актуальные бесконечности… Ну вы можете представить себе, что после этого должно было произойти. Однако Кантор дал достойный ответ, заявив: «Трансфинитная разновидность ровно в той же мере соответствует намерениям Создателя… как и конечные числа». Это был умный довод, поскольку отрицать его означало бы утверждать, что Бог имеет какие-то ограничения, что уже смахивало на ересь. Кантор даже написал об этом папе Льву XIII и направил ему несколько математических статей. Бог знает, что папа об этом подумал.

Математики понимали, что делает Кантор. Гильберт признавал значимость его работы и хвалил ее. Но с возрастом Кантор почувствовал, что теория множеств не произвела того эффекта, на который он надеялся. В 1899 г. у него случился приступ депрессии. Он вскоре оправился, но потерял веру в себя. Он написал Йосте Миттаг-Леффлеру: «Не знаю, когда я вернусь к продолжению научной работы. В настоящее время я абсолютно ничего не могу с ней делать». Пытаясь бороться с депрессией, он отправился на отдых в горы Гарц и попытался примириться со своим академическим противником Кронекером. Кронекер отреагировал на это положительно, но отношения между ними так и остались натянутыми.

Математика держала Кантора в напряжении: он страдал, что не может доказать свою континуум-гипотезу. В какой-то момент он думал, что сумел ее опровергнуть, но быстро нашел ошибку в рассуждениях; затем ему показалось, что он сумел-таки доказать ее, но и в этом доказательстве обнаружилась ошибка. В этот момент Миттаг-Леффлер попросил Кантора отозвать статью из журнала Acta Mathematica, хотя дело уже дошло до верстки, – и не потому, что статья была неверна, а потому, что она «опередила время лет на сто». Кантор отреагировал на это с юмором, но внутренне был очень обижен. Он перестал писать Миттаг-Леффлеру, перестал интересоваться его журналом – и вообще практически оставил теорию множеств.

Его депрессия проявлялась, как правило, двояким образом. С одной стороны, он начинал усиленно интересоваться философскими следствиями из теории множеств. Другим ее проявлением была убежденность Кантора в том, что все работы Шекспира на самом деле были написаны Фрэнсисом Бэконом. Эта навязчивая идея заставила его серьезно изучить литературу Елизаветинского времени, и к 1896 г. он начал публиковать брошюры о своей любимой теории. Затем за короткий промежуток времени умерли мать Кантора, его младший брат и младший сын. В нем все сильнее проявлялись признаки душевного расстройства, и в 1911 г., когда Университет Св. Андрея в Шотландии пригласил Кантора в качестве почетного гостя на празднование 500-летия университета, он большую часть времени посвятил рассуждениям о Бэконе и Шекспире. Депрессия стала его постоянным спутником. Некоторое время в связи с этим он провел в лечебнице, и в 1918 г. умер в санатории от сердечного приступа.

Ирония судьбы заключается в том, что Миттаг-Леффлер был, по существу, прав, когда говорил Кантору, что тот на столетие опередил свое время, хотя, возможно, прав не в том смысле, который сам имел в виду. Несмотря на то что идеи Кантора постепенно завоевывали признание, самого значительного влияния теории множеств на математику пришлось ждать до 1950-х или 1960-х гг., когда наблюдался расцвет абстрактного подхода к математике, продвигавшегося группой ученых, называвших себя Никола Бурбаки. Влияние Бурбаки на математическое образование с тех пор (к счастью) спало, но убеждение входивших в группу математиков в том, что математические понятия должны определяться точно и как можно более обобщенно, держится до сих пор. А базисом для точности и общности является позиция, которую обеспечивают любимые множества Георга Кантора. Сегодня любая область математики, хоть теоретической, хоть прикладной, прочно опирается на формальные положения теории множеств. Не только философски, но и практически. Без языка множеств математики сегодня не смогли бы даже обозначить, о чем, собственно, идет речь.

Так что вот приговор потомков: да, к теории множеств и трансфинитным числам действительно есть философские вопросы, но они ничем не лучше и не хуже аналогичных философских вопросов к целым числам, которые так любил Кронекер. Они тоже дело рук человеческих, а дело рук человеческих редко бывает лишено недостатков. По иронии судьбы мы сегодня определяем целые числа при помощи… теории множеств. И рассматриваем Кантора как одного из истинных чудаков и оригиналов математики. Если бы он не придумал теорию множеств, со временем это сделал бы кто-то другой, но прошел бы, вполне возможно, не один десяток лет, прежде чем нашелся бы еще один человек с таким же редким сочетанием мощи, глубины и интуиции.